PCK理论指导下的“向量的概念”教学研究

胡 瑶 何方国

（黄冈师范学院 湖北黄冈 438000）

一、数学概念的教学现状

数学学科是在建构大量数学概念的过程中，逐步总结和概括其知识体系的。在这个过程中，不仅仅是知识方面的成就，还经历了许多思考和操作的过程。因此，数学概念不仅包含了大量的内容性知识，而且浓缩了大量的命题、论证、判别等思维形式。由此可见，掌握数学概念是理解和应用其他数学知识的重要前提，即理解数学概念，了解概念之间的结构关系是理解数学的基础。

向量既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，也是人们用来描述和刻画现实世界的工具之一。平面向量在中学数学中地位在不断地增长，教师应该越来越多地具备在向量学习中来锻炼学生的思维意识，以促进他们对数学的理解。

向量概念的课程一般安排在高一年级，学生已经具备了一定的抽象概括能力，但是在思维辨析方面还比较薄弱，而且在向量概念教学过程中，教师在课堂引入环节过于简略，教学活动很少涉及向量的背景知识，因此导致学生觉得向量的概念过于抽象，在建立平面向量的知识网络结构图上存在困难。本文将向量概念作为数学概念案例，在PCK视角下，对其进行教学设计。

二、基于PCK的数学概念课的教学设计思路

1.PCK的框架结构

学科教学知识（PCK）是教师独特学科内容领域和教育学的混合或融合，由Shulman在20世纪80年代提出。Shulman的PCK概念包括两个主要元素，即教师如何表示学科知识和他们对学生在学习内容中的特定主题时所面临的困难的了解。当一个教师超越了对学科内容的理解，能够根据学生的先入之见和遇到的困难，重新组织学科内容，并以适合学生不同兴趣和能力的形式呈现时，他就可以说是在用他的PCK进行教学。Smith和Neale也同意类似的观点，因为他们也相信具有良好PCK的教师知道他们的学生在特定主题中的典型错误。因此，他们能够使用合适的策略和有效的阐述来准备他们的课程，从而促使导致学生对概念有充分的理解。Cochran等人进一步表示，“PCK关注教师将他们的主题知识（他们对他们所教的内容的了解）与他们的教学知识（他们对教学的了解）联系起来的方式，以及主题知识如何成为教学推理过程的一部分”。

Cochran等人认为，舒尔曼的PCK概念是分区的和静态的。他们认为教师的教学知识应该是动态的、不断发展和成长的。基于这种建构主义的观点；他们将自己的改进版命名为PCK教学内容知识（PCKg），意思是具有动态性质的教学专业知识。PCKg整合了四种类型的教师知识，即学科知识、教育学知识、学生知识和环境知识。

根据以上研究成果，本文将PCK分为以下几个方面：数学学科知识、教学策略知识、学生的知识、情境知识和技术知识。这五个部分组成了PCK理论，它们辩证统一地存在，各司其职，共同促进了教师PCK理论的形成，加速了教师专业化发展的进程。

（1）PCK视角下的“向量的概念”内容解析

本文以PCK理论为基础，从以下五个方面对“向量的概念”这一节进行深度的内容解析。

学科知识，为了在教学中全面贯彻PCK理论，教师首先要有准确的数学学科知识。以概念教学为例的数学学科知识，就是指教师不仅要了解每个概念的内在含义和拓展延伸，还要了解它在整个教材中的地位，并且能从生活中找到例子，让数学为生活服务。例如，在“向量的概念”这节课中，教师必须保证数学概念的科学性、严密性。向量的定义是“在数学中，把既有大小，又有方向的量叫作向量。”教师要正确地将这一概念教给学生，就要强调这其中的关键词“大小”“方向”。然而，在具体的向量的概念的教学课堂上，学生特别容易混淆数量和向量，这要求通过回顾物理学中多个矢量概念的特性来发现平面向量的概念，并引导学生感受其现实背景。并且，平面向量中融入了许多物理知识，使数学学科与物理学科建立起了联系，因此教师在向量的概念教学中可以将物理学科的相关知识引进来，这对于学生而言，可以形成完整的知识网络。

教学策略知识，顾名思义，学科教学知识必然包含教学知识。如果教师对PCK理论没有足够的教学法知识，即使他有丰富而准确的学科知识，他也不能以恰当的方式教学生。因此，教师应对“向量概念”的学科知识、课程知识和学生知识等方面进行深入分析，并以教育学、心理学为理论指导，结合自己特有的学科教学知识来进行教学设计，以实现教学难点的突破。

学生知识，“以人为本”是我们教育工作者一直以来所不断追求的理念目标，PCK理论同样将学生看作是教学的主体。教学的出发点和落脚点都是使学生能够全面发展，从而可以“把课还给学生”，“每个人都能得到好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展”。从概念课教学来看，教师在课前要预测学生掌握哪些内容，具备哪些能力，以及学生在学习过程中会遇到哪些困难。

情境知识，对于处于形式运算阶段的中学生来说，数学概念抽象模糊，数学概念的符号表达更是晦涩难懂，因此很难引起学习兴趣，也就没有了学习动力。针对这一问题，数学教师在引出数学概念之前需要先创设情境，将复杂的概念知识简单化。教师在创设情境时要注意以下几点，首先要牢记课堂教学目标，其次学生需要理解哪些概念，最后这些概念怎么拓展延伸，这个概念又体验哪些数学思想、方法等。

技术知识，教育技术是人才培养技术及其创新整合的技术，核心是教学设计技术和课程开发技术。PCK理论中的技术知识强调教师要掌握丰富的教育技术，只有这样，才有能力指导教学和对教学资源进行开发和创新。例如，在“向量的概念”这节课中，教师可以利用几何画板等技术来辅助教学。

（2）PCK视角下的“向量的概念”教学设计思路

本研究以PCK为理论基础，为了将PCK融入教学设计中，同时为了体现数学核心素养，特将整个教学环节用知识线、素养线、策略线、兴趣线与总结线这五个线索串联起来，并贯穿于教学的全过程，借此对“向量的概念”的教学内容进行合理的分析。

三、基于 PCK 视角的“向量的概念”教学设计

基于以学生为本、让学生参与课堂教学的新课程教学理念，以“培养自主建构概念意识，提高自主完善概念和反思能力”为素养主线对研究对象进行分析，结合PCK视角对“向量概念”学科主题进行研究从5种知识成分（总结知识、兴趣知识、策略知识、课程知识、学生知识）进行分析，并整合研究内容编制教学设计。

1.问题情境，引入概念

五一假期，李明（化名）收到好朋友发来的一条微信消息：“兄弟，五一快乐啊，我在一个离武汉直线距离700千米的地方旅游，猜猜我在哪玩啊”

教师引导学生得出离武汉直线距离700千米的城市有两个，所以并不能得出具体在哪个城市。

设计意图：此处教师抛出生活中常见的问题来引入新课，简单有趣的问题让每个学生都能积极思考，使课堂氛围变得活泼生动，体现了PCK理论中的情境知识。这个问题虽然简单，但引出向量的两个要素：大小、方向。为后续的学习埋下了伏笔。

2.数学抽象，形成概念

问题1：高中物理的第一节课我们就学习了位移这个概念，它和路程有什么区别吗？

问题2：给出下列量：

（1）面积；（2）加速度；（3）路程；（4）密度；（5）功；（6）温度；（7）角度.

用你所学的知识请你将它们分成两类，并指出它们有什么不同。

设计意图：激活学生已掌握的概念知识，进行新旧概念同化。并且引导学生对向量和数量进行对比，从而突出向量的两大要素为：大小和方向。让学生自己通过类比得到向量的概念，体现了将课堂还给学生的理念。这种有选择性地提问技巧充分体现了教师 PCK 理论中的教学策略知识。

3.类比推理，理解概念

问题3：对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线来表示，那向量既有大小又有方向，我们如何形象直观地表示出来呢？

问题4：认识概念之后，为了进一步研究的方便，通常要表示它。

请同学们按下列要求画出力的图示，并想想如何形象地表示向量。

（1）4N的重力

（2）1N的浮力

设计意图：通过类比实数和二次函数等几何表示，引导学生对向量的几何表示进行思考，再通过一道简单的物理题，形象直观地体现了向量的几何表示，接着引出数学符号表达，自然得出向量的字母表示。教师在教学中融入物理学科的知识，有助于学生形成完整的知识网络，体现了教师PCK理论中的学科知识和教学策略知识。

问题5：根据PPT中展示的向量模的变化图像，回答以下问题。

（1）你能给它取一个名字吗？

（2）零向量的方向呢？

设计意图：及时引导学生巩固刚刚学习过的单位向量和零向量的概念，体现了教师PCK理论中的学生知识。

问题6：根据PPT中所展示的平行四边形ABCD图形，回答以下问题。

（1）请同学们将PPT上的平行四边形画在草稿纸上，并将四边形中的部分线段画上箭头表示向量，并写出你所表示的向量；

（2）你能发现这些向量有哪些关系？

设计意图：通过引导学生自主添加箭头来构造向量，巩固了学生刚掌握的向量的表示，还让学生积极的参与到课堂中；还将平行向量、等价向量、共线向量概念的形成过程连接起来，使学生参与这些概念的形成过程，使概念在教师指导下，成为学生观察、归纳、概括后的自然产物，这使学生成为课堂主体，体现了教师PCK理论中的学生知识。

问题7：（1）若a∥0，b∥0，那么a∥b吗？

变式1：若a∥c，b∥c，那么a∥b这个结论成立吗？

变式2：a，b是不平行的两个向量，若存在一个向量c使得a∥c，b∥c，则c=？

设计意图：让学生注意把向量平行与几何平行进行区分，同时明确零向量的意义与作用。

本节课的学习中，向量概念、向量的表示方法、相等向量和共线向量等概念是重点，也是难点。从 PCK 理论的角度来看，数学教师只有具备足够的学科知识，对教材中的重要难点有准确的定位，才能设计相关教学环节突破重点，突破难点，并且教师通过几何画板来制作课件也体现了PCK理论中的技术知识。

4.变式训练，巩固概念

为了深化对向量概念符号语言、图形语言的认识，进一步帮助学生理解零向量、共线向量等概念，通过设计变式练习题目，来巩固概念。

问题8：判断下面的说法是否正确。

（1）向量的模的取值范围是（0，+∞）；

（2）若d与e都是单位向量，则|d|=|e|；

（3）若h∥l，则h与l的方向相同；

设计意图：这门课的内容概念多、容易混淆，这四个概念解析题的设置基本涵盖了这门课中所有的新概念和容易出错之处，在解析过程中加强学生对概念的理解和记忆。这一环节提前预测了学生在学习中可能遇到的困难，体现了教师在PCK理论中的学生知识。

问题9：一只信鸽从A点出发向东飞行了200km到达B点，随后改变方向向南偏西60°方向飞行了300 km到达C点，最后又改变方向向北飞行了250 km到达D点.

（1）作出向量；

（2）求||.

设计意图：明确向量用有向线段表示的要素是：起点、方向、大小。

（五）归纳反思，总结提升

问题10：通过本节课的学习，你觉得向量问题是代数问题还是几何问题？

问题11：本节课你学到了哪些有关向量的概念？

设计意图：总结知识利于学生形成系统的知识网络图，优化知识结构，让学生自己总结体现了把课堂还给学生的理念，同时通过平面向量的数和形的表示，让学生体会到向量既是代数研究对象，也是集合研究对象。这一环节也体现了教师 PCK 理论中的学生知识。

本文以PCK为理论基础，从五个方面对向量的概念进行教学设计，证实了教师仅仅依靠教学经验对数学概念课进行教学设计是行不通的。教师需要具有充分的教学理论基础，并将其运用到教学设计中，同时还需要掌握一定的现代教育技术，只有这样才能顺应学生的发展规律，符合学生的认知状态，更好地将独有的学科内容知识转化为便于学生理解的知识形式。