正多面体型电阻网络问题的解法探讨①

郑通和

(宁夏育才中学,宁夏 银川 750021)

通过对历届全国中学生物理竞赛试题的归类研究,探讨正多面体型电阻网络的解法,以供借鉴。

1 将正四面体型电阻网络在合适方向投影成平面电阻网络

例1(第39届全国中学生物理竞赛预赛):如图1所示,用6条相同的均匀电阻丝搭建一个正四面体框架OABC,D是BC边的中点,从O、D两点分别引出导线(忽略导线电阻和接触电阻),并通以电流I。已知每条电阻丝的电阻为r。在正四面体框架OABC中,AB段电阻丝上的电流为I,O、D之间的电阻为r。

图1

解析：根据电阻网络的对称性,将压扁后的平面电阻网络进行等效转换,具体解法如下。

方法1：运用基尔霍夫方程组

对于填空1,如图1所示,将A点投影至OBC所在平面,将正四面体压扁变成平面电阻网络(图2),且R1=R2=R3=r。

图2

如图3所示,假设回路方向为顺时针方向,电源电动势为E,内阻不计。

图3

方法2：运用Y-Δ电路的等效代换

图4

图5

图6

图7

图8

2 根据正多面体边长相等的特点建模

例2(第13届全国中学生物理竞赛复赛试题):有7个外形完全一样的电阻,已知其中6个的阻值相同,另一个的阻值不同。请按照下面提供的器材和操作限制,将那个阻值不同的电阻找出,并指出它的阻值是偏大还是偏小,同时要求画出所用电路图,并对每步判断的根据予以论证。提供的器材有:(1) 电池;(2) 一个仅能用来判断电流方向的电流表(量程足够),它的零刻度在刻度盘的中央,并且已知当指针向右偏转时电流是由哪个接线柱流入电流表的;(3) 导线若干。操作限制:全部过程中电流表的使用不得超过三次。

图9

第一次使用电流表时将其中4个电阻①②③④,即R1、R2、R3、R4分别接到桥臂对应的AB、AC、BD、DC中。(1) 如电流表指针不偏转,电桥平衡,则异常电阻在⑤⑥⑦中;(2) 如电流表指针发生偏转(图10、图11),电桥不平衡,则异常电阻在①②③④中。

图10

图11

第二次使用电流表是在第一次排查的基础上进行的。(1) 如电流表指针不偏转,将电阻⑤⑥⑦依次替换接入平衡电桥的一个桥臂,使电流表指针发生偏转的电阻为异常电阻;(2) 如电流表指针发生偏转,将①②位置互换,当电流表指针反向偏转时,说明异常电阻是①②中之一,其他5个是正常电阻。用排查出的正常电阻重新组装成平衡电桥,再将①②中之一替换接入平衡电桥的一个桥臂,使电流表指针发生偏转的电阻为异常电阻。

第三次使用电流表,是为了判断异常电阻的阻值是偏大还是偏小,由电桥的电流方向和电桥平衡条件可以做出判断。

3 将立方体空间电阻网络在合适方向投影成平面电阻网络

图12

解析：根据电路的对称性,采用Y-Δ电路的等效代换和等效电压源法(又叫戴维宁定理),[1]将压扁后的平面电阻网络进行等效转换为简单的混联电路,结合串、并联电路的电压和电流特点、叠加原理、电桥平衡条件、基尔霍夫方程组等选择解决问题的方法。

对于填空1,每边导线电阻相等,设所有电阻阻值均为R。根据电路结构的对称性,e、f两点电位相等,g、h两点电位相等,均可合为一点。将空间立体的正方体电路网络压扁成平面电路网络,等效电路简化为图13。

图13

由于电路中含有两个电源,根据电流叠加原理,将图13拆分为图14和图15。

图14

图15

图16

图17

图18

4 结语

利用戴维宁定理、叠加定理、Y-Δ电路的等效代换等方法,应用基尔霍夫方程组、串联和并联电路的特点、电桥平衡条件等知识,引导学生对电阻网络进行分解与组合,将多面体与平面进行相互转换,提供了关于复杂的正多面体电阻网络问题的巧妙解法。[2]