从画数学到思维化——以发展低年段学生的“几何直观”为例

江苏省常州市武进区实验小学分校 冯丽萍

一、现状

1.教师缺乏“画数学”的培养意识

“掌握测量、识图和画图的技能”是小学阶段数学课程目标之一。而掌握技能需要阶段性和连续性地练习和巩固，光凭课堂上的教学是不够的。苏教版小学数学教材中设计了许多贴近生活的情景图，教师可借助直观的事物或操作帮助学生理解知识。对比“画数学”的画图技能目标，多数教师停留在正确画出几何图形的标准，没有充分挖掘“画图”背后的思维价值。如低年段教材中的示意图，学生在分析数量关系时，从借助表象到形成抽象过程中，教材中也相继呈现从可视化到思维化的解题要求，可教师往往以示范画为主，并没有让每个学生尝试并学会绘制，受课时因素与教学方法的限制，很难有效培养学生画示意图的能力等。

2.学生缺乏“画数学”的运用意识

在小学数学日常教学中，学生对于明确要求的“画图”掌握相对较好，可对于一些抽象知识点的学习存在较大难度，导致理解知识点时经常出现各种各样的偏差。学生没有“我要画”的意识，因而教师常讲常演，学生常练常错，已经形成错误的思维定式。采访发现，有的学生不会用画图准确表达题意，有的学生想不到用画图的方式去解决问题，从而没有路径去有效地开展思维活动。

二、研究意义

（一）多维理解画数学对教师数学课堂教学的意义

1.学科特点

数学教学在几何教学、数的认识与运算、问题解决和认识的深化方面要用到图形。图形的应用，尤其是直接动手画图有助于学生更好地理解题意，准确找出数量关系。图形的使用十分利于学生元认知能力的提升，从而更有效地解决问题。而数学中的“画图”不只是指由抽象向具体的回归，也与抽象分析密切相关，包括我们应如何通过适当的抽象建构出一种新的图形、一种与简单的直观图完全不同的抽象图形。

2.课标指向

课标指出，在数学课程中，应当注重发展学生的几何直观。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。所以，教师应引导学生运用图形直观地表征各种思想方法，经历从“画数学”到“思想化”逐步抽象的过程，借助几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象，进而在探索解决问题的思路中，更好地掌握“数形结合”“假设”等数学思想。

（二）充分认识画数学对儿童几何直观发展的启示

直观想象是数学核心素养之一，对标的关键能力是直观感知、空间观念和几何直观，几何直观的表现水平有以下三点：水平一是能用图形表示数或简单情境中的数量关系；水平二是能用图形表达和分析稍复杂问题情境中的数量关系；水平三是能用图形表达和分析非常规情境中的数量关系。有学者指出：“任何表征都能够表达部分但不是全部的信息，凸显其中的一些方面而隐藏另一些，所以说，单一的表征形式不利于学生对知识的全面理解。”所以，引导学生掌握“画数学”的能力，可以进一步发展学生的几何直观，培养学生的数学思维。

三、教学策略

（一）激发学生“画数学”的内需力

1.画出“看不见”的数学信息，突破难点

小学低年段数学教学中，学生常通过数一数、摆一摆、拨一拨的方式理解数量、数量间的关系和计算算理等，但遇到数量关系较为抽象的问题，学生在解决问题时发现难度较大。如图1（苏教版小学数学一年级上册第106页思考题），从图中可以看到“从前往后数，第5只是小鹿”；而“从后往前数，第8只是小鹿”中部分小动物被大树遮住了，无法通过数一数的方式知道“一共有多少只小动物”，这时教师可以引导学生用简画图表示题中的条件及问题，如图2，用小棒表示其他动物，用圆圈表示小鹿，我们可以清楚地看到小鹿前面和后面的数量，突破题中部分条件“看不见”的难点。

图1

图2

2.画出“易混淆”的数量关系，理清思路

低年段数学的数量关系涉及“一部分数+另一部分数=总数”和“份数×每份数=总数”这两个基本模型及其变式，学生比较容易混淆。如 “一共有21盆花，送给幼儿园一些后还剩7盆，送给幼儿园多少盆？”（苏教版小学数学二年级上册第75页第8题中的第2小题），有学生用除法“21÷7=3（盆）”来解决，原因是学生不能厘清“平均送给”和“送给一些”之间的区别，这时可以尝试用画图来整理题意，如图3，先用大括号表示一共有21盆花，再用虚线框表示送给幼儿园一些，用小棒表示“还剩7盆”，这样就可以明显地看出送走的盆数是总数的其中一部分，要用减法求送走的盆数，而不是把总数平均分，用除法求出平均分的结果，从而厘清“易混淆”的数量关系。

图3

3.画出“难理解”的思考过程，抓住关键

刘晓玫学者研究了我国小学数学几何直观能力规律及水平划分，其中，二至三年级适合较少概念并只与空间想象有关的问题情境，属于水平1——（完全）直观想象阶段。低年段学生对一些单一概念的叠加操作，如“锯木头”“间隔栽树”“来回一趟”“对折2次”等理解不到位，往往把“对折2次”认为是“平均分成2份”，这时教师不仅要通过实物演示帮助学生理解“把一根绳子对折1次就是把它平均分成2份，把一根绳子对折2次就是把它平均分成4份”，还需要引导学生在积累了操作经验的基础上把对折的过程想出来，把对折的结果画下来，如图4所示，从而抓住解决问题的关键。

图4

（二）锻炼学生“画数学”的实践力

1.丰富“画”的经验值

很多学生常用画小棒的方式来表征简单的数学问题，遇到较为抽象或者与生活经验密切相关的实际问题时，学生画图的水平还有待提高。教师要唤醒学生的生活经验，开展实践操作活动丰富学生的直观经验，积极渗透画图技巧。如 “路的两边一共插了16面彩旗，平均每边插多少面彩旗”（苏教版小学数学二年级上册第97页第17题），学生对“路的两边”有一定的常识了解，但理解“16面彩旗”时想成“每边都有16面”，用“16＋16=32（面）”来解决。教师需要引导学生用画图还原插旗的过程，从而更好地理解题意，帮助学生正确分析数量关系。

2.增强“画”的理解力

低年段学生的看图能力相比画图能力更强，在试卷评析时，看图列式的得分率相比解决实际问题高出许多。教师在日常教学中要引导学生认识、理解和善用“大括号、实线框、虚线框、竖线、斜线、一一对应符号、问号”等有特定数学含义的构图要素来表达题中的有效条件和问题，使复杂的数学问题变得简明、形象，促进学生的几何直观。如“先估一估是多少，再数出来”（苏教版小学数学一年级上册第83页第4题），学生在数的时候需要通过“满十个圈一圈”的方法让人一眼看出物体的数量，如图5，这就需要学生充分理解“10个一是1个十”，进而掌握“圈十法”，并运用到计数单位的学习中。

图5

3.完善“画”的整体性

画图过程中，教师还要指导学生完善“画”的整体性，如准确描述题中的有效条件及问题，在图上标出数据和单位，养成数形结合共同表征问题的习惯，还要关注隐蔽条件的表征，如“同样多”“每条边一样长”等。

3.提升学生“画数学”的思维力

1.有序思考

“画数学”其实就是把静态的文字和动态的数据变化用简洁的数学语言表达的过程，它能反映学生的思维状态和水平。低年段学生大都按“从所给条件想起”或者“从所提问题想起”两种有序的思考方式来解决问题，无论是哪一种，都能建立各个数量之间的层级关系。如“把24本书平均分给3个小组，每个小组分得多少本？你还能算出平均每人分得多少本吗”（苏教版小学数学二年级上册第86页第4题），按题目要求先求“每组本数”，再求“每人本数”，通过画图可以帮助学生理清总数和份数分别是多少，如图6所示。

图6

2.构建模型

“画数学”的结果除了理解题意和理清关系，更有助于建构数学模型。如“小英做了11朵花，小华比小英多做3朵，小华做了多少朵”（苏教版小学数学二年级上册第8页例4），根据题意用圆形表示花朵，先画出小英的花朵数量，再通过一一对应，把小英做的朵数加上小华比小英多做的3朵就能求出小华做的朵数，如图7所示，从而得出该类问题的一般模型：较少的量＋相比多出的部分=较多的量。

图7

总之，“画”是学习数学的常用技能之一，教师在教学过程中应引导学生“画”数学，以提升学生的数学思维。