螺栓松动应变频响模型修正识别方法

庆光蔚，郭勤涛，展 铭，胡静波

（1.南京市特种设备安全监督检验研究院，江苏南京 210016；2.南京航空航天大学机电学院，江苏南京 210019）

1 引言

螺栓连接结构具有拆装方便、承载力强等优点，在机械、航空航天、土木等众多工程领域得到广泛的应用。为了使结构安装可靠，螺栓应处于预紧状态。服役过程中，结构受到振动、冲击以及交变载荷作用，会使得螺栓连接的预紧力下降，发生松动，连接部位发生相对滑移、碰撞等现象，进而导致结构的性能下降。因此需对螺栓连接的紧固状态变化情况予以关注，识别其是否存在松动。

建模和仿真技术在结构动力学分析中已经得到了广泛的应用，利用动力学特性识别结构参数成为了一种行之有效的方法，螺栓连接结构是研究的重要对象之一。文献[1]采用薄层单元描述螺栓连接界面，以模态频率为响应特征识别了薄层单元的参数。文献[2]基于应变及位移信息，识别了某桥梁的结构刚度。

文献[3]使用应变频响的相关函数修正结构模型参数。文献[4]基于马氏平方距离异常值分析方法定量评估了螺栓连接的松动程度。文献[5]总结了螺栓连接结构的监测技术，并结合实例比较了不同监测技术在不同情况下的适用性。

文献[6]分析了螺栓连接的非线性动力学理论，并讨论了基于该理论的螺栓连接状态监测的应用。文献[7]基于互相关函数的幅值向量法，对飞机壁板紧固件的松脱进行了研究。

文献[8]建立了螺栓连接结构的动力学模型，通过试验数据识别了模型的参数。文献[9]采用子结构综合方法，基于测试点的频响函数实现了螺栓连接结构的参数识别。文献[10]采用增量谐波平衡方法计算结构响应，通过缩小计算仿真和试验测试的响应差值识别了螺栓搭接结构的模型参数。文献[11]运用虚拟材料的方法模拟螺栓预紧力，通过对比有限元仿真与试验结果验证了方法的有效性。文献[12]采用组合弹簧建立了含螺栓装配结构的有限元模型，并基于试验频响函数识别了弹簧模型的参数值。

这里针对螺栓连接结构整体动态响应对局部连接状态变化不敏感的问题，以应变的频响函数作为表征螺栓松动的指标，基于代理模型的有限元模型修正思想，采用遗传算法作为搜索方法，定量描述了螺栓连接的松动情况，并结合典型的搭接板螺栓连接结构进行了验证。

2 基于代理模型的模型修正方法

2.1 代理模型

代理模型是用数学函数关系来模拟系统响应和输入参数之间关系的一种快速运算模型，包含试验设计、近似方法以及精度评价。在实际工程领域，代理模型可以用于解决多变量、大规模的工程求解问题。

拉丁超立方抽样[13]（LHS）属于多维分层抽样。设某一试验有m个设计变量，需生成n个设计样本点，其拉丁超立方抽样过程是基于相等概率将每个变量的设计区间分成n份，即整个设计空间是m×n个互不重叠的子区间，然后在每个子区间进行随机等概率不重复抽样。

试验设计产生的样本点经过试验可以得到对应的响应值。为了准确建立设计变量和对应的响应值之间的代理模型、精确描述设计变量和响应值之间的近似关系，还需要选择合适的近似方法。径向基函数模型是一种常用的代理模型近似方法，最初由文献[14]提出。径向基函数模型以样本点xi=(x1，x2，......，xm)，(i=1，2，......，n)为中心，采用基函数的线性叠加来表示系统的响应值，其表达式为：

对于一个实际工程问题，要使用所建的代理模型代替有限元模型来反映输入变量和响应之间的关系，代理模型的精度和泛化能力必须要满足一定的使用要求。这里采用相对均方根误差（RMSE）以及决定系数R2准则来评价代理模型[15]：

式中：y和ys—设计空间各点对应的试验值和代理模型值；yˉ—设计空间上各点的均值。RMSE代表了设计空间各点试验值和代理模型值之间差异占平均幅值的百分比。

R2判断系数表示试验值和代理模型值之间的总体差异程度，其取值范围为（0～1），R2越接近1则代理模型越能反映真实的参数和响应之间的关系。

2.2 模型修正

模型修正的主要目标是缩小仿真分析与试验测试之间的差距，属于动力学反问题，可用式（4）表达[16]：

式中：p—待修正参数；{yE}，{yA(p) }—响应特征量或其加权组合的试验值和仿真值；pl，pu—设计参数p变化的下限和上限。

在模型修正过程中，响应特征可以为位移、加速度、应变、应力等，但需要所选择的响应对待修正的参数变化较为敏感。本文以频响函数作为响应特征用于修正。基于频响函数的修正通过缩小共振频率点、半功率点的频率误差以及响应误差，以达到修正目的。定义实验测试频响函数和有限元计算频响函数之间的残差向量为：

式中：εω(p)、εωl(p)、εωr(p)—分析与实验的共振频率、左右半功率频频率的残差；εh(p)—分析与实验频响函数对应点幅值的残差；ε—总的频响函数的残差向量。

3 薄层单元

薄层单元即单元厚度相比于其余方向的尺寸足够小，但有不为0的连续六面体或五面体等参数单数单元，是描述螺栓连接动力学特性的一种有效途径。采用薄层单元对模型中的结合面进行建模，不仅可以省去传统接触计算方法中接触状态判断过程、避免接触计算不收敛的情况，而且在现有商用有限元软件中也很容易实现。薄层单元的思想最早由Desai提出，并成功应用于岩土结合面的建模[17]。

对于一个薄层单元，假设其尺寸为l×w×h，由虚位移原理可知[1]：

式中：l和w—薄层单元在长度和宽度方向的尺寸；h—薄层单元的厚度。

薄层单元的等参数变换过程，如图1所示。经过等参数变换后，薄层单元的刚度矩阵K可以计算为：

图1 薄层单元的等参数变换过程Fig.1 Isoparametric Transformation Process of Shell Element

式中：ξ、ζ和η—自然坐标系的方向；J—雅克比矩阵。

薄层单元的厚度相比于其余两个方向的尺寸而言很小，如图1所示的局部坐标系中，可以将yz、zx面内的正应变分量εx、εy以及xy面的剪切应变分量γxy忽略。因此，薄层单元的本构关系[17]可表示为：

式中：Cij—弹性系数；εz、σz—z向正应变和正应力；γyz、γzx—yz面的剪切应变及剪切应力；τyz、τzx—zx面的剪切应变及剪切应力。

如假设薄层单元法向和切向相互独立时，式（8）中的非对角线元素均为0[18]。采用薄层单元描述螺栓连接时，重要参数单元厚度常以单元长度方向的尺寸与厚度的比值衡量，即最大长宽比。关于薄层单元长宽比的选择尚未形成统一的选择标准，推荐在（10～1000）之间选取，需要根据结构的尺寸以及被连接件所划分的单元大小来确定。

4 搭接板螺栓松动识别

4.1 模型描述

搭接板结构是工程中广泛使用的螺栓连接结构，尤其在起重机等工程机械结构中。搭接板结构模型由矩形板和阶梯板通过四个M6的螺栓连接，矩形板长为550mm、宽120mm、厚3mm，阶梯板长550mm，宽120mm，厚3mm，并在一端对称分布两个（100×25）的矩形缺口。两板的搭接区域长度为70mm。有限元建模时，如图2所示。矩形板采用六面体单元，螺栓连接采用薄层单元，薄层单元的厚度取为六面体单元长度的1/20。鉴于螺栓连接的作用范围主要集中在螺栓孔周围，将接触区域的薄层单元分为两部分，分别赋予不同的属性值。矩形板和阶梯板的材料属性设为各向同性材料，弹性模量210GPa、泊松比0.3、密度7850kg/m3；薄层单元采用各向异性材料属性，并忽略法向和切向之间的耦合，单元的法向和两个切向弹性参数E1、E2、E3分别设为500GPa、200GPa和200GPa。搭接区域的局部细节，如图3所示。

图2 搭接板有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Lapped Plate

图3 搭接区域局部放大图Fig.3 Partial Enlargement of Lapped Plate

4.2 松动损伤识别过程

将图3搭接板中的螺栓1刚度值减小20%，模拟松动损伤，计算该松动模型模态频率。初始紧固模型与松动模型的前5阶频率变化情况，如表1所示。

表1 搭接板松动前后模型前5阶频率比较Tab.1 Model Frequencies of Initial and Damaged Structure

从表1可见，模态频率是结构整体的特征表现，对连接结构局部的状态变化不敏感，因此不能选作局部松动损伤识别的动力指纹。应变频响函数能够反映结构局部特性，可以作为模型修正的目标函数来识别螺栓的连接状态变化。

在识别过程中，以螺栓1的材料属性作为表征连接状态的待识别参数，以松动结构应变频响的前五阶频率、半功率点频率以及对应的响应幅值作为损伤识别的目标。采用遗传算法搜索使仿真模型和松动模型计算的应变频响误差最小的参数组合。具体识别步骤为：

（1）设定螺栓1的三个材料属性参数的变化范围为初始值的（0.5～1.5）倍，在此范围内对参数进行拉丁超立方抽样；

（2）将抽样的材料参数带入有限元模型计算、提取结构应变频响的前五阶频率、半功率点频率以及对应的响应幅值，并计算与松动损伤结构的误差。对误差进行加权得到目标函数，从而得到材料参数与目标函数的对应关系；

（3）采用径向基函数近似方法对所得到的对应关系进行处理，获得待识别参数和目标函数之间的代理模型关系。在待识别参数的设计空间中重新产生样本点，对代理模型的精度进行检验。针对搭接板模型，所建的代理模型R2=0.998，RMSE=0.01，满足工程使用要求；

（4）采用遗传算法，在设计参数设计空间内搜索目标函数的最小值，即能使仿真模型计算的应变频响与松动模型应变频响误差最小的螺栓1的材料属性参数组合。对比初始模型和识别后模型的材料参数，评价螺栓连接的状态变化。

4.3 松动损伤识别结果

健康紧固状态和松动损伤状态下模型的应变频响曲线，如图4所示。可以明显看出模态频率共振峰值变化较小，但半功率频点及其幅值发生较为明显的变化。

经过遗传算法对构造的目标函数进行优化，得到紧固模型与松动模型中螺栓1处的薄层单元法向和切向的三个刚度参数识别对比结果，如表2所示。

表2 松动损伤识别结果及误差Tab.2 Damage Identification and Error

由表2可知，识别出的模型损伤值与构造的松动模型中对应的参数值误差均在5%以内，绝对平均误差小于2%。识别的螺栓连接参数与紧固模型的参数误差分别为−20.95%、−23.02%和−19.84%，与所构造的20%松动程度接近，可见能够有效定量识别螺栓松动损伤。

5 结论

基于应变频响函数模型修正方法，可实现对含螺栓连接的搭接板结构连接松动状态的损伤识别，研究表明：

（1）基于各向异性假设的薄层单元描述螺栓连接，能够较为准确描述螺栓连接的动力学特性，在螺栓连接结构的有限元建模中可以充分运用。

（2）有限元模型修正方法中的代理模型，具有定量识别损伤程度的能力，使用代理模型能在保证修正精度的同时有效提高损伤识别的效率，可适应大型工程结构复杂模型计算。

（3）应变频响函数作为一种结构局部连接状态的表征参数，相对于模态频率，具有较高的局部损伤识别灵敏度，且能定量评价螺栓连接的松动程度，验证了模型修正方法用于松动识别的有效性，并可推广到实际工程结构其他类型损伤的识别方法研究中。