正四棱锥创设，创新情境应用——基于一道教材习题的探究

陈瑞霞

中国核工业集团公司二○二厂中学

立体几何中的边、角、面积或体积等要素的取值范围或最值问题，一直是高考中立体几何部分知识考查的一个热点与创新点，融入立体几何中的“动”与“静”的对立与统一，“数”与“形”的综合与转化，数学知识、数学能力与核心素养等方面的考查得以全面兼顾，倍受关注．此类问题经常通过对高中数学教材中的例(习)题进行重新加工，借助问题背景包装，空间几何体建立，条件或结论的变换等多种方式，创新应用，看似平常，实则蕴含很多值得好好品味的东西．

图1

1 源于教材

习题(人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过的《数学(必修第二册A版)》第八章“立体几何初步”中复习参考题8第169页第4题)如图1，一块边长为10 cm的正方形铁皮上有四块阴影．将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V(单位：cm3)表示为x(单位：cm)的函数．

俗话说得好：铁打的营盘流水的兵．高考中考查不变的是数学知识、数学思想方法与数学技巧等，变化的是问题情境的呈现方式以及问题的结构形式，以及设问的视角等．这就要求我们立足并深耕高中数学教材中的知识与例(习)题，学会突破常规，陈题巧改编，“旧瓶”装“新酒”．

2 链接高考

在强调高考命题改革与创新的背景下，通过对高中数学教材中的例(习)题进行改编、组合、深入、创新等手段来赋予课本例(习)题新的面貌、新的生命，已经成为高考数学命题的一种新趋势、新风尚．

分析：该高考真题以课本例(习)题中的正四棱锥为背景，以及把该正四棱锥的体积表示为某个变量的函数，合理添加四棱锥的外接球这个创新场景，在原课本例(习)题的基础上，增加难度与广度，综合考查空间几何体之间的位置关系、体积以及导数法或均值不等式等，实现问题的变式、拓展与创新．

图2

设PM=h，AM=a，则(h-3)2+a2=9，且l2=h2+a2∈[9，27].

故选择答案：C．

点评：具体设参时，可以以正四棱锥的高为变量，以正四棱锥的侧棱长为变量，或以正四棱锥的侧长与高所对应的角为变量，都可以合理构建对应的函数关系式，进而利用导数法或均值不等式法来确定对应的最值问题，实现问题的突破与解决．

答案：C．

3 场景创新

图3

分析：以不同的方式显现正四棱锥，通过底面正方形边长的设置，结合正四棱锥的高的求解来确定其参数的取值范围，进而确定边长AB的取值范围；结合正四棱锥的体积的表达式的构建，利用函数的设置与导数来确定其最值，进而得以确定此时边长AB的值．

由400-40x>0，解得x<10，所以边长AB的取值范围为(0，20).

设函数f(x)=100x4-10x5(0

所以当00，函数f(x)单调递增；当8

所以当x=8时，f(x)取得极大值也为最大值，此时AB=16 (cm).

故填答案：(0，20)；16．

点评：通过不同形式的正四棱锥的构建来创设问题场景，结合正四棱锥的体积与对应变量的关系，利用导数法或均值不等式法等来确定对应的最值，以不同的方式、相同的考点巧妙设置．

图4

例3[2023届河北省唐山市高三(上)摸底数学试卷]如图4，一块边长为8的正方形铁片上有四块全等的阴影部分．将空白部分剪掉，对余下阴影部分按下面工序加工成一个正四棱锥：将四块阴影部分分别沿虚线折叠，以其中等腰直角三角形组成棱锥的底面，余下为棱锥的侧面．则所得正四棱锥的外接球表面积是( ).

分析：以不同的方式显现正四棱锥，利用正四棱锥的确定以及与之对应的外接球的联系，进而求解对应正四棱锥的外接球的表面积，从另一个视角来探究与应用．

图5

解析：依题意可得如图5所示的正四棱锥P-ABCD.设点O为正方形ABCD的中心.

连接PO，则PO⊥平面ABCD.

因为OA⊂平面ABCD,所以PO⊥OA.

故选择答案：C．

点评：通过不同形式的正四棱锥的构建来创设问题场景，结合正四棱锥与其外接球的结构特征来构建两者之间的关系，为相关参数的确定与求解提供条件，从问题场景的设置与空间几何体的联系等视角来创新与应用．

近几年新高考数学中立体几何试题的命制，呈现越来越灵活多变，形式越来越新颖多样，但万变不离其宗，大多数高考试题都可以在教材中追根溯源，寻觅其影踪，找到其原型．因而，在高考复习备考过程中，全面回归教材，注意对课本中典型例(习)题的练习与变式训练，理解其内涵，规范其步骤，把握其实质，掌握其规律，真正做到胸有成竹，“胸中有本”．Z