非交换拟鞅的原子分解

李春燕，姚长征

（新乡学院数学与统计学院，河南 新乡 453003）

20 世纪70 年代，人们开始研究非交换鞅。 其中，第一个非交换鞅不等式是由I. Cuculescu［1］得到的非交换鞅的弱(1,1)型不等式。 在以后的20 多年里，非交换鞅的研究一直停滞不前， 这是因为在经典的鞅空间理论研究过程中，一些常用的方法（如停时和极大函数方法）在非交换的情形下是不能直接应用的，这使得经典的鞅结果在向非交换情形拓展时变得举步维艰。因此，人们需要引进新的工具和方法。 1997 年，G. Pisier 等［2］得了重大突破， 证明了非交换鞅的Burkholder-Gundy不等式和Fefferman 对偶定理等非交换结果。 以后，非交换鞅的研究进入快速发展阶段，研究成果不断涌现。

原子分解是研究经典鞅论和调和分析的重要工具。 T. N. Bekjan 等［3］对非交换鞅Hardy 空间H1和h1进行了原子分解。 Z. Q. Chen［4］得到了非交换小指标鞅空间上的原子分解。 这些成果对非交换鞅的发展起到了至关重要的作用， 为人们研究非交换拟鞅空间的原子分解提供了思路和方法。在本文中，我们定义了非交换拟鞅的条件Hardy 空间,证明了当0

1 定义及符号

设(Mn)n≥1是von Neumann 代数M中的一列递增的子σ代数流，且满足Mn的并在M中是弱*-稠密的，ε nε(0=0)是关于Mn的条件期望。

定义1：若对任意的n≥1,xn∈L1(Mn),则称序列x=(xn)n≥1是适应的。 若x n∈L1(Mn−1),则称序列x=(xn)n≥1是可料的。 若εn(xn+1)=xn(n≥1),称L1(M)中的序列x=(xn)n≥1为关于(Mn)n≥1的鞅。

此外，设0

若||x||p<∞,则称x是L p(M)有界的鞅。

定义2： 设0

定义3： 设0

定义4：设0

定义5：设0

2 非交换拟鞅的原子分解

引理1：设0

由文献［5］可知，对于任意的j≥1,存在等距的右Mj-模映射对于任意的y∈L2(M),z∈L2(M),有u j(y)∗u j(z)=εj(y∗z)⊗e1,1。因此，有

其中bn,i=un−1(d n(ai))。

引理2［2］:设0

定理1：设0

证明：假设x=(xn)n≥1是M中的有界拟鞅，s c,n(x)是可逆的，否则可构造一列逼近s c,n(x)的可逆算子。

在以下证明过程中，把sc,n(x)简记为s n(x)。 设m≥2,令

注意到

由引理2 可知

利用拟鞅定义和式（1）可得

又注意到

则由式（2）和式（3）可得