修正的Picard算子在Orlicz空间中的指数加权逼近

姜胜楠吴嘎日迪

(1.内蒙古师范大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010022;2.内蒙古自治区应用数学中心,内蒙古 呼和浩特 010022)

1.引言及预备知识

对于f:R→R,Picard算子为

文[1]中对Picard算子进行了修正,其修正的Picard算子为

其中f是使积分有限的函数,且有

其中a>0,n ≥na,na=[4a2]+1.

对于φa(x)=e2ax,x ∈R,n ≥na时有

其中对∀k ≥0,ek(x)=xk.

当a →0时,由于

文[2]研究了修正的Picard算子在带指数权Lp空间中的逼近问题,并得出相应的逼近结果如下

本文用M(u)和N(v)表示互余的N函数,关于N函数的定义及性质详情可见文[3]中的论述.定义Orlicz空间中的范数

由文[3]知,Orlicz范数还可定义为

文中C为常数,不同处C可能不同.

在此之前,文[6]研究了正线性算子在无限区间的Lp加权逼近问题,文[7-8]分别介绍和研究了广义Picard算子的相关定义及一些性质,[9]研究了光滑Picard奇异积分算子的基本收敛率问题,文[10]给出了基于两个参数的卷积型奇异积分算子的收敛性结果,但在Orlicz空间中Picard算子指数加权逼近的问题尚未有人研究.本文在指数加权Orlicz空间中利用Minkowski不等式,Hlder不等式,凸函数的Jensen不等式以及Orlicz空间中连续模的性质给出该算子的加权逼近正定理,并通过Korovkin定理得到了相关的收敛性质.由于Orlicz空间比Lp空间大,它是Lp空间的拓展,尤其是由不满足∆2条件的N函数生成的Orlicz空间是Lp空间的实质性的拓展和提升,考虑到Orlicz空间的拓扑结构比Lp空间复杂得多,故在Orlicz空间内研究逼近问题能够体现一定的分析技巧、一定的推理难度和理论意义.

2.若干引理

引理4表示带有权函数w(t)且在R上定义的加权Orlicz空间,在内的Korovkin型定理如下:

令w(t)为在实轴上的正连续函数并满足

用wmin,wmax分别表示w(t)在有限区间上的最小值和最大值.

又根据上述Korovkin型定理条件,可选定A1使得

所以能得到如下不等式:

又由条件可知当n →∞时,有

且在[−A,A]上连续,对给定的∀ε′ >0,∃δ >0,使得

由条件知当n充分大时,有

引理5证毕.

3.主要结论

其中γ由引理3中所说.

证对c ∈R,由引理3有

定理2证毕.

定理3若,a>0,则

证由引理5知只需证明

当n →∞时,j=1的情况显然成立.

当j=2时,根据引理1-2并结合文[2]中定理5.2,有

当n →∞时,j=2的情况成立,结合引理5即可以完成定理3的证明.

定理4令,x是f的加权Lebesgue点,则

综上所述,定理4得证.