Banach空间中关于m-增生算子零点的一种新的粘性隐式迭代算法

潘灵荣,王元恒

(1.浙江开放大学温岭学院,浙江 温岭 317500;2.浙江师范大学数学与计算机科学学院,浙江 金华 321004)

1.引言

变分不等式理论在基础科学和应用科学研究中起到了重要的作用,例如在最优化、最优控制、力学和微分方程等领域受到了许多学者的关注,见文[1-8].

令H是实Hilbert空间且具有内积〈·,·〉,E是H中的非空闭凸子集,设A:为非线性算子.经典的变分不等式问题即找到x∗∈E满足

设A1,A2:是两个非线性算子,CENG[8]引入一个迭代算法,找到了一个非扩张映射的不动点集与变分不等式问题(1.2)的解集的公共元.

(x∗,y∗)∈E×E满足上式,易知式(1.1)是式(1.2)的特殊情况.

2019年,蔡钢[9]考虑了更一般的变分不等式问题(1.3),运用超梯度方法和粘性隐式迭代算法,找到关于一个非扩张映射的不动点集与两个逆强单调算子的变分不等式问题的解集的公共元.

(x∗,y∗)∈E×E满足上式,其中0≤a<1,λ1,λ2是正实数.显然,式(1.1)和式(1.2)是式(1.3)的特殊情况.

近年来,关于运用隐中点规则进行粘性迭代算法的收敛性分析的研究成果较多,如ZHANG[10]在自反的一致凸Banach空间中构造了非扩张映射与m-增生算子的粘性隐式中点法则,如下

在适当的控制条件下,证明了迭代序列的强收敛性.

在Hilbert空间中,KE和MA[11]研究了广义的粘性隐规则算法逼近于非扩张映射的不动点,构造迭代序列如下:

当参量满足一定的条件时,证明了序列的强收敛定理.

受以上工作的启发,我们研究了新的广义粘性隐式算法并证明了由该算法生成的序列强收敛到m-增生算子零点和变分不等式问题(1.3)的解集的公共元.

2.预备知识

设X是实Banach空间,X∗是X的对偶空间,C是X中的非空闭凸子集.令J:2X∗是赋范对偶映射,定义为J(x)={f ∈x∗:〈x,f〉=‖x‖·‖f‖=‖x‖2},∀x ∈X.这里〈·,·〉表示X与X∗之间的广义对偶配对.

对∀ϵ ∈(0,2],ξ,η ∈X,空间X的凸性模δX(ϵ)定义如下：

如果δX(ϵ)>0,那么称X是一致凸的.

空间X的光滑模ρX定义如下：

设D(A)={z ∈C:Az/=∅}和R(A)={Az:z ∈D(A)}分别是算子A ⊂C ×C上的定义域和值域.如果存在j(x −y)∈J(x −y),使得〈Ax −Ay,j(x −y)〉≥0,∀x,y ∈C,那么称算子A是增生的.

如果对α>0和j(x −y)∈J(x −y),有〈Ax −Ay,j(x −y)〉≥α‖Ax −Ay‖2,∀x,y ∈C,那么称算子A是α-逆强增生的.若R(I+rA)=C对所有的r >0成立,那么称增生算子A是m-增生的,这里记A的零点集为A−1(0)={z ∈D(A):0∈Az}.设Jr=(I+rA)−1(r >0)为A的预解式,若A是m-增生的,则Jr是非扩张的且F(Jr)=A−1(0).

设D是C中的一个子集,定义映射Q:对∀x ∈C和t ≥0,Qx+t(x −Qx)∈C,有Q(Qx+t(x −Qx))=Qx,则称Q是太阳的.如果对所有的x ∈D,有Qx=x,则称映射Q是一个收缩.一个太阳非扩张收缩既是太阳收缩的,也是非扩张的.

映射T:称为严格压缩的,若存在常数ρ ∈(0,1),满足

为了得到本文的结果,还需要以下引理.

引理2.1[12]设X是实Banach空间,C是X中的非空闭凸集,如果算子A:是α-逆强增生的,那么有

其中ξ,η ∈C,λ>0,如果,那么称I −λA是非扩张的.

引理2.2[13]X是光滑Banach空间,假设Q:是收缩的且J是X的赋范对偶映射,那么下列陈述是等价的

(a)Q是太阳和非扩张的;

(b)‖Qξ −Qη‖2≤〈ξ −η,J(Qξ −Qη)〉,∀ξ,η ∈X;

(c)〈ξ −Qξ,J(η −Qξ)〉≤0,∀ξ ∈X,η ∈C.

引理2.3[14]设l >0,若X是一致凸实光滑Banach空间,那么存在一连续严格增的凸函数g:[0,2l]R,g(0)=0,使得对所有的x,y ∈Bl,有

引理2.6[17]C是Banach空间X的非空闭凸子集,T:是具有不动点的非扩张映射.若X有弱序列连续对偶映射,则映射I −T在零处半闭(即当I是恒等映射,如果xn ⇀x,‖xn −Txn‖→0,那么x=Tx).

引理2.7[18]X是一致光滑Banach空间,C是X的非空闭凸子集.T:是非扩张映射且F(T)≠∅.f:是压缩映射.那么定义为xt=tf(xt)+(1−t)Txt,t ∈(0,1)的序列xt强收敛到F(T) 中一点.若定义映射Q:ΠC F(T)为Q(f)=,f ∈ΠC,则Q(f)满足下列变分不等式

引理2.8[19]X是Banach空间,C是X中的非空闭凸子集,且A1,A2:是两个非线性算子.QC是太阳非扩张收缩.对∀λ1,λ2>0,a ∈[0,1),下列结果是等价的:

3.主要结果

定理3.1令X是一致凸和一致光滑的Banach空间,C是X中的非空闭凸子集,假设QC:是太阳非扩张收缩的,Ai:是di-逆强增生算子,这里i=1,2.f:是严格压缩映射,其参数ρ ∈(0,1),A是X中的m-增生算子,满足Ω=F(G)∩A−1(0)≠∅,这里G的定义见引理2.8,定义序列{xn}如下：

那么序列{xn}强收敛到p ∈Ω,也是下列变分不等式的解

证设p ∈Ω,由引理2.8知,u=QC(p −λ1A1p),p=QC(I −λ2A2)(ap+(1−a)u).根据序列{xn}的定义有

移项整理得‖zn −p‖≤‖xn −p‖.进一步有

由于Jr是非扩张的,可知

根据数学归纳法可得

所以{xn}有界.

移项整理得

这里M1=supn≥0(‖xn‖+‖zn‖).

定义序列{wn}为xn+1=βnxn+(1−βn)wn,n ≥0.

如果rn ≤rn+1,由引理2.5有

另一方面,根据(3.4)式和(3.5)式,得

结合(3.6)式、(3.7)式和{wn}的定义,我们有

由条件(i)-(v)知

由(3.1)式,(3.2)式和引理2.1知

将(3.9)式代入(3.10)式,得到

结合(3.3)式和(3.11)式,进一步可知

由引理2.2和2.3,发现

再次由引理2.2和2.3,可得

整理后可知

由于0

由(3.1)式、(3.3)式和(3.16)式,可得

移项整理得

由(3.8)式,(3.12)式,(3.13)式,条件(i),条件(ii)和g的性质,可知

由(3.17)式和(3.18)式,得到

根据序列{xn}的定义,有

由条件(i),(ii)和(3.8)式,得到

移项整理,可知

由(3.8)式,(3.17)式和(3.20)式,得到

由(3.8)式,(3.20)式和(3.21)式,得

结合(3.21)式和(3.22)式,可知

由引理2.5,得到

根据(3.23)式,得到

同理,可知

由(3.21)式和(3.24)式,得

因为X是一致光滑Banach空间且序列{xn}是有界的,所以存在xn的子序列弱收敛到ω,由引理2.8可知G是非扩张的,从(3.19)式和引理2.6,可知ω ∈F(G).再由(3.25)式和引理2.6,可知ω ∈A−1(0).因此ω ∈Ω.根据引理2.7,得到〈(I −f)p,j(p −ω)〉≤0,∀ω ∈Ω.由于j是弱序列连续对偶映射,有26)

根据定理3.1,可得到下述结果.

定理3.2令X是一致凸和一致光滑的Banach空间,C是X中的非空闭凸子集,假设QC:是太阳非扩张收缩的,Ai:是di-逆强增生算子,这里i=1,2.f:是严格压缩映射,其参数ρ ∈(0,1),A是X中的m-增生算子,满足Ω=F(G)∩A−1(0)≠∅,这里G的定义见引理2.8,定义序列{xn}如下：

那么序列{xn}强收敛到p ∈Ω,也是下列变分不等式的解〈(I −f)p,j(p −q)〉≤0,∀q ∈Ω.

4.应用于均衡问题

设D是Hilbert空间H的非空闭凸子集,ϕ:D×D →R为二元函数,这里R是实数集,均衡问题是指找到x ∈D,使得ϕ(x,y)≥0,对于∀y ∈D.

为了解决以上的均衡问题,设函数ϕ满足下列条件:

对于r >0和x ∈H,定义Tr:H →D为Tr={v ∈D:,这里ϕ满足上述条件(A1)-(A4).记均衡问题的界集为EP,单值映射Tr为固定非扩张映射,且EP(ϕ)=F(Tr),其中EP(ϕ)是闭凸集.我们得到下面的结果.

定理4.1设D是Hilbert空间H的非空闭凸子集,Ai:是di-逆强单调映射,这里i=1,2.f:是严格压缩映射,其参数ρ ∈(0,1),令A是X中的m-增生算子,ϕ:R满足条件(A1)-(A4),假设Ω=F(G)∩F(Tr)∩A−1(0)≠∅,这里G的定义见引理2.8,定义序列{xn}如下

那么序列{xn}强收敛到p ∈Ω,也是下列变分不等式的解