基于OBE理念的《复变函数》课程混合式教学思考

陈 爽 严 政

长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434022

一、引言

（一）OBE理念

成果导向教育（Outcomes-Based Education，OBE）是以预期学习产出为中心来组织、实施和评价教育的结构模式［1］。它的核心在于从内外需求出发，最终的培养目标是根据学生的需求所决定。此时的“需求”既是起点又是终点，能够最大限度地确保教学目的和结果的一致性。OBE关注4个问题：1.希望学生取得怎样的学习成果？2.为什么要让学生取得这样的学习成果？3.怎样才能最大限度帮助学生取得这些学习成果？4.怎样才能更精确地判断学生是否获得了这些学习成果？［2］通过这4个问题，推动教师在教学目标、内容、方法、评估四个层面上进行更深入探讨，时刻秉持“以生为本”教育理念，提高人才培养质量，努力把国家建设成世界一流的人才中心和创新高地。

（二）混合式教学

混合式教学（Blended Learning）是将传统教学和在线教学的优势结合起来的一种“线上线下”教学方式，不仅需要合理发挥教师的主导、组织和启发作用，同时也需要充分展现出学生作为学习主人公的主体性、积极性和创造性［3］。与传统教学模式相比，混合式教学模式增加了课堂的生动趣味性，提升了教学质量和教学深度。

二、《复变函数》课程现状

《复变函数》课程是我国高等院校数学专业的一门重要课程，它是数学分析中的实函数理论在复数域中的延伸，其研究对象是复变数的函数。它在数学的许多其他分支（如常微分方程、概率论、解析数论等）、力学（如流体力学、空气动力学、理论物理学等）以及工程技术科学中有着广泛的应用［4］。开设该课程的目的在于培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及科学计算能力等，提高学生的数学素养，为后续相关课程的学习奠定坚实的数学基础。

目前，高校的《复变函数》课程建设中主要存在以下问题：

1.《复变函数》课程内容抽象，逻辑性强，有较多的纯理论公式定理等知识点。应用型本科院校的学生多数数学基础水平不高，对复变函数的学习也只局限于表面概念推导和习题演练等环节，不能主动建立一个良好的知识体系，将理论知识与实际生活相联系，教学目标和内容的设定不利于学生的持续发展。2.面对陌生的知识学生容易产生畏难情绪，此时就需要教师良好的引导，但是多数教师仍然采用以“教”为主的传统教学方法，教学模式单一，不能有效激发学生的学习兴趣。教师在教学过程中缺少培养应用型人才的意识，不注重与其他学科课程的渗透交流，导致学生所学知识过于单薄表面化。3.考核方式过于单一，结果性评价在整个课程评价中占较大比重，通常以试卷的方式对全部学生进行笼统评价，不利于学生的个性化发展。同时评价的内容大多局限于学生所获得的知识技能，忽视了学生的情感态度、价值观和能力等方面的收获。

根据目前《复变函数》课程现状，以及新时代下对人才培养质量、结构、竞争力等方面的新要求。在“互联网+教育”的背景下，基于成果导向教育（OBE）理念，围绕学生在课程毕业时应达到的能力水平，本文对《复变函数》的传统教学形式进行改革与探索，目的在于提升该课程的教学效果，加快培养高素质创新人才和复合人才，为实现我国系列强国目标提供高水准的知识储备和人才支撑。

三、基于OBE理念的《复变函数》混合式教学思路

（一）设定科学合理的教学目标和教学内容

最终学习成果既是OBE教育理念的起点，也是其终点，从“内外需求”出发确定人才培养目标，正确处理各种需求之间的功利追求与理性价值，注重学生知识、能力、境界等多层面的培养。从人才培养目标到课程教学目标，由上至下，每一级目标都要为上一级目标夯实基础。以OBE教育理念为指导，从知识、育人、发展三方面出发制定《复变函数》课程的三维目标如下：1.掌握复变函数的基础知识、基本概念和原理，并能对相关概念进行阐述、区分和判断。理解一些重要性质和定理的结论及证明思路，能将其运用到实际计算中来解决问题，提升专业知识素质。2.了解《复变函数》课程的相关历史背景及国内外最新发展状况，体会其在近（现）代数学及社会生活中的地位和价值。学习相关的数学史、数学家和数学小故事，具备一定的数学文化素养，继承优秀的中国传统文化和人类文明成果。3.树立终身学习的理念和持续发展的意识，不断通过自我反思主动进行学习。培养学生良好的数学抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识，为学生后续课程及持续发展奠定坚实的能力基础。

根据培养目标整合教学内容，分清重难主次。对于复变函数论中的复数概念、四则运算、极限、连续等教学内容在之前的中学和数学分析课程中均有接触，因此简单介绍即可。教学重点应放在解析函数、柯西定理与积分公式、留数、共形映射之中。其中的幂级数、洛朗级数、留数定理等在理论和实际中都有着广泛的应用，在讲解过程中需增强应用意识，增加学科之间的相互交融以及数学史、数学文化的插入，推动学生素质的全方位发展。例如在讲授复数的辐角和模长时，可以引入生活中常用的相机。为什么数码相机比普通的相机和手机拍出来的照片真实度更高呢？原来是因为数码相机反映的是每一张平面照片的每一个具体点的位置，包括模长和辐角。而其他相机仅仅只反映每个点的模长，因此数码相机拍出来的照片是具有立体感的，从视觉上看也就更具有真实性。在讲授留数这个知识点时，可以介绍留数计算在数学分析及数学滤波器中的应用。在讲授共形映射这个知识点时，可以引入苏联数学家茹柯夫斯基，他通过熟练运用茹科夫斯基变换——机翼理论中最基本的一种共形映射，求解了空气动力学相关问题，从而解决了飞机机翼的结构问题，为战斗机设计了机翼。从与学生息息相关的生活实例入手，使学生感受到复变函数的实用性，提高学生的学习兴趣，由“要我学”转变为“我要学”。

（二）反向设计教学过程

OBE教育理念的重点在于充分发挥学生学习的主动性，混合式教学模式注重培养学生的自主探究能力［5］。二者核心目标一致，即以成果为导向，以学生为中心，注重学生能力的培养。为了充分发挥这两种教学理念的优点，现将教学过程分为以下几个环节：

1.学生借助学习平台进行课前探索

教师利用学习平台（如中国大学MOOC、长江雨课堂、学习通等）创建一个网络教室，将学习任务、导学问题、学习资源等信息发布给全班学生。本环节帮助学生明确自己的学习目标，借助网络平台进行探究式学习。教师通过视频，小故事、案例应用等介绍相关概念、原理、法则的起源、形成、创造过程等，激发学生学习的好奇心和兴趣。例如柯西被称为复变函数论的创始人，他系统发现了复周线积分的概念等，教师可以简单介绍柯西生平的有趣事件，讲解扩充复平面变为球面的方式，让学生感受到复数的美感。有效导入可以让学生的后续学习事半功倍，同时也锻炼了学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，培养了他们数学抽象、逻辑推理和创新意识。

2.师生借助线下课堂进行协作交流

充分发挥传统课堂的教学优势，注重教学手段的多样性。复变函数论中的许多概念和定理均与高等数学有相似之处，因此在教学过程中可以采用类比和转化的教学手段。例如复数与实数类比、无限与有限类比。其中一些计算和定理证明通过板书可以有相对完整清晰的梳理和比较，学生的思维活动和注意力也更加集中。在教学中利用绘图软件如Mathematica、Matlab等对几何图形进行演示，使其更具有直观性，方便学生理解其内涵与本质。师生进行面对面的沟通与交流，教师可以更加清楚地知晓学生对本节课知识和重难点的掌握情况，及时调控整个教学进程。学生在整堂课中不仅能获得知识与技能的提高，还能收获教师情感态度与价值观的陶冶。

3.学生借助学习平台进行课后巩固

学生学习新知识后，必须通过进一步巩固才能内化为自己的知识。如何让学生主动积极的对所学知识进行有效巩固是教师和学生都需要思考的事情。一方面，教师可以将教学中的难点、重点等录制成微课视频，学生针对自己的实际情况进行观看思考，教学过程中使用的文本、PPT等学习资源也可供学生反复使用，有利于知识的强化巩固和再创造。另一方面教师利用学习平台发布拓展性学习任务及课后习题作业，学生根据问题进行在线讨论和练习，教师获得不同学生的线上反馈并对存在的疑问及时接收和记录，进行集中答疑和分层教学，使得人人都能接受有意义的数学教育，不同的人在数学上获得不同的发展。

（三）完善教学评价体系

基于OBE理念的《复变函数》课程需要建立全过程的综合考评体系，以形成性评价作为考核结果，其中形成性评价可划分为过程性评价和总结性评价。考核重点在于学生是否达到了某些预期的能力，注重学生的个人进步和所获成果，而非对学生进行横纵比较。

在过程性评价方面，结合线上线下混合式教学模式，利用网络学习平台辅助进行评价。例如钉钉、雨课堂、腾讯会议等学习软件上均有在线签到、举手作答、讨论测试、作业提交等数据统计功能，教师通过学生的学习情况及时调整自己的教学进程、内容和手段，充分发掘每位同学的学习潜力。学生对自己的学习过程进行反思和总结，针对个人的薄弱方面对症下药，寻找适合自己的学习方式，不断调节和完善，充分发挥学习的自主性，获得成就感和自信心。

在终结性评价方面，传统的考核方式以闭卷考试为主，侧重考查学生对基础知识、基本概念、定理、公式等的识记能力和计算能力，因此在考试之前学生往往会陷入死记硬背的机械式学习，不能将所学知识与实际生活相联系，无法获得能力的提升和知识的迁移。基于此我们可以采用半开卷的考核方式，基础理论方面采用闭卷的形式，试题类型分为主观题和客观题，其中客观题占比60%，检验学生对相关知识点的灵活运用情况。主观题占比40%，检验学生独立分析解决问题的能力。综合实践部分采用开卷的形式，学生可以通过报刊书籍、网络等各方渠道获取资料，组织开卷考试或者撰写小论文。例如在学期中期或者学期期末时，教师给定学生一些讨论专题，如复变函数与数学分析的异同，复变函数的零点与极点的判定方法，Matlab如何应用于复变函数的学习等等，要求学生撰写一篇复变函数小论文。学生自行组成4～6人的小组，分工合作，进行相关资料的收集、处理和撰写，基于教师给定话题的基础上进一步拓展延伸，题目自拟。最后论文成绩作为本课程考核的一部分计入考试总成绩。通过对所学知识的总结和简单应用，加深了学生对所学知识的更深层次理解和掌握，有助于培养学生的逻辑思考能力、发散思维能力以及人际交往能力等。

综上所述，基于OBE理念的《复变函数》课程混合式教学思考必须重视教学目标、教学内容、教学过程以及教学评价的改革。在教学过程中教师采用混合式教学方式，充分运用现代信息技术和现代教育技术，大大提高课程的教学效率，提升学生的自我反思、自我调控能力。OBE教学理念设计注重学生的专业需求以及社会对各类人才的需要，以学生为中心，充分发挥学生学习的自主性。学生考核增加形成性评价所占比重，多元化、多角度、多方法地对不同学生进行全面评价，尊重学生的个体差异性以及最近发展区，有的放矢地对学生展开差别教育，激发学生的学习潜能。总之复变函数教学改革之路道阻且长，教育工作者需要不断结合实际情况对教学内容、教学方法等进行研讨探究，培养学生对复变函数学习的积极性和认同感，让学生感受到复变函数的无限魅力和实用价值，从而获得最佳发展。