在初中几何教学中运用基本图形法的实践——以“角平分线的应用”教学为例

文| 王玉凤，王国伟

几何是初中数学教学中的重点内容，对学生数学思维的培养具有重要影响，但是这部分知识的学习对学生而言具有较大难度。而如何降低学生的学习难度，帮助学生准确理解几何教学中的复杂图形是当前教师所要思考的一个问题。本文围绕“角平分线的应用”这一内容展开系统分析，旨在帮助学生理解基本图形在几何内容中的应用，优化解题思路，在多种策略的发展下，深化学生对这一知识点的理解和领悟，为提高学生数学成绩做铺垫。

一、趣味引入，初步感知

（一）问题导入，探究新知

教师播放视频，让学生分析蜘蛛结网现象，依据这一视频引申角平分线图，让学生思考相关的数学问题：

问题1：蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处，如果猎物出现在OA 或者OB 处，这个时候蜘蛛可以选择哪一条路线？

问题2：判断OA、OB 的路线长度关系。

图1

学生根据具体的图示，结合蜘蛛结网和角平分线图片展开分析，依据已有的知识经验回答教师所提出的问题。

教师提示：点到直线距离垂线段的长最短，判断蜘蛛选择的路线为：第一条：P 到A；第二条：P 到B。

随后根据学生的分析进一步提问。

教师：两条线段的长度是否一样？通过什么方式可以更好地判定？

教师提示：通过折纸的形式。

学生：先将∠AOB 对折，然后再经过P 点折出一个直角三角形。

教师：通过折纸大家可以得出什么结论？

学生：蜘蛛选择的这两条线路长度一样。

随后教师总结角平分线上的点的性质。

教师以预设的问题设置，让学生应用推理的方式掌握角平分线的有关性质。

（设计意图：本环节通过动态视频演示，在直观图片的综合对比下，引导学生深入思考，让学生了解点到直线的距离知识，进一步判定角平分线上点到角两边距离相等的定理，在实践的基础上观察分析点到角两边距离的关系，以此满足学生的求知欲望，为后期知识的系统学习打下坚实的基础。）

（二）启发引导

在学习了点到直线的相关知识后，教师引导学生综合分析基本图形的形状，帮助学生探究新的知识。

教师：常见的基本图形有哪些？

学生1：平行四边形、长方形、梯形、椭圆形、菱形、扇形。

教师：这些基本图形有哪些特征？

学生回答。

（设计意图：本环节旨在帮助学生探究基本图形的形状以及主要的特征，促使学生内化几何元素，强化对所学基本图形的知识理解，以此为新知识的学习夯实基础。同时，师生之间的问答互动不仅可以融洽师生关系，拉近师生距离，营造轻松愉悦的数学学习氛围，而且可以促使数学教师更直观地掌握学生当前的知识吸收情况，并对其掌握的情况做出详细分析，制订具有针对性的教学计划，提高学生的学习能力。）

二、任务驱动，加深知识理解

例题1.如图2 所示，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点P1，请分析∠P1与∠A之间的数量关系。

图2

教师：请简要陈述你的解题思路。

教师给予适当提示（依据角平分线性质，结合三角形内角和公式可以得出答案），邀请学生展示自己的解题过程。

学生展示后，教师评价，及时给予学生鼓励。

教师：现在请大家分析下面的例题。

例题2.根据图3 分析在△ABC 中，∠ABC 的外角平行线与∠ACB 的外角平行线相交于点P2，请分析∠P2与∠A 之间的数量关系。

图3

教师：前期大家针对例题的解答速度很快，而且准确率很高，现在请看遂宁考题，让我们一起共同解答经典例题。这种考题在试卷中很常见，现在请大家根据自身的知识经验，综合分析这道例题的解答步骤，随后我们邀请一位学生上讲台投影展示。

例题3.如图4，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M 和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（）

图4

①AD 是∠BAC 的平分线 ②∠ADC=60° ③点D 在AB 的中垂线上 ④S△DAC∶S△ABC=1∶3

A.1B.2C.3D.4

（设计意图：本环节据实际例题组织学生现场讨论分析，随后渗透历年经典考题让学生综合分析，帮助学生掌握更多高效的解题方法，培养学生的逆向思维，掌握解题规律。）

三、布置任务，小组合作探究

教师：接下来我要给大家一个新的身份——福尔摩斯，请大家充当小福尔摩斯，分析下面的例题中所隐含的基本图形，并总结这些基本图形对最终的结论有何影响。

例题4.在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC交于点O，∠ACB 的平分线与AB 交于点P，BO 与CQ 相交于点Q，若∠A=30°，求证：QP=QO。

学生1：从角平分线上的点往角两边做垂线段，垂线段相等，有全等。

学生2：根据图形可以截取一条线段与已知线段相等，从而构建一个全等三角形。

教师：通过刚才大家的陈述，我们可以得出在解答几何题时，应用基本图形能帮助我们掌握解题技巧，而针对同一个基本图形的不同添线方式可以提高解题效率。现在请大家根据自己的理解，将这道题目进行改编，换一个条件，看是否能够通过基本图形进行解决呢？

在提出问题之后，教师给学生留出时间，让其思考分析，最后根据多媒体的优势将正确的解题步骤投放在大屏幕上，让学生对比自己在思考过程中的思路是否正确。

（设计意图：在学生掌握角之间关系的内容之后，教师通过线段之间的关系分析，引导学生理解角平分线构造两个三角形全等的方式，掌握证明线段相等的基本方法。本环节有助于培养学生一题多解的学习思路，拉近师生关系，让学生养成主动思考、深入分析的良好学习习惯。）

四、课堂练习，发散学生思维

教师依据前期学生针对基本图形概念、特征等内容的深入分析，在不同例题的解题经验下，以“龟兔赛跑”的方式给学生分配角色，然后将班级学生划分为两个小组。根据教师前期准备的例题，让学生深入分析，掌握角平分线的相关知识。

教师：前面的内容大家整体的表现非常不错，现在我们以乌龟和兔子比赛的方式解决下列例题，看哪一个小组用时最短，解题思路更清晰，最终抵达终点的小组我们将给予相应的奖励，例题如下：

1.如图5，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，交BA 延长线于D.求证AC∶BC=AD∶BD.

图5

图6

在整个比赛环节，每一个小组的学习热情非常高涨，特别是“乌龟”小组，在划分小组之后，这一组并没有直接开始答题，而是率先选择了一名小组长，在小组长的带领下，根据我所给出的例题进行分工，以同桌两人为一小组解答一道例题。我发现这个小组的解题速度非常高效，相对于“兔子”小组用时最短。随后，我看到“兔子”组也非常活跃。在近距离了解了每一小组的解题过程之后，我发现“兔子”小组的解题思路非常清晰，正确率非常高。但是最后还是分工明确的“乌龟”小组取得了胜利。

随后小组的发言，重点讨论小组分工、互相帮助的重要性，以此增强学生团队合作意识。在“龟兔赛跑”游戏结束之后，我发现大家意犹未尽，于是我又渗透了新的题型，组织学生继续练习。

教师：同学们，刚才龟兔赛跑的比赛环节虽然有的小组取得了最终的胜利，有的小组以失败而告终，但是我们不要气馁，大家继续加油，接下来我们以智慧大闯关的方式分析下列例题，与刚才不同的是，这次我们将男生和女生各分为一个小组，看哪组是最终的智慧闯关王。

通过分析互逆命题逆定理的具体案例，让学生分析互逆命题是两个命题之间的关系。即任意一个为原命题，另一个就是它的逆命题。

第一关：判断下列命题的真假。

1.只要两条直线平行，则同位角一定相等。

2.全等三角形的对应角相等。

第二关：判断下列命题的正误。

1.错误的命题是没有逆命题的。

2.一个真命题的逆命题一定是正确的，反之则是错误的。

（设计意图：以趣味性的“龟兔赛跑”方式，赋予学生比赛角色，让其在规定的时间内，分析角平分线的应用内容，深化学生对角平分线性质的理解。同时，以闯关的方式促使学生掌握互逆命题的真假性关系，分析互逆定理的概念，并积累判断一个命题是真命题还是假命题的解题经验。）

五、教学反思

（一）注重基本图形的合理应用

在教学活动中，针对基本图形的运用，教师可以给学生提供更多的学习空间，让其主动尝试，深入分析，帮助学生解决几何学习中的难题，提高学生对基本图形的运用能力。

（二）培养学生的作图能力

教师可以为学生设计更多作图以及识图的训练，在激发学生兴趣的同时，让学生掌握规范作图的步骤，注重规范书写的注意要点。学生通过动手实践分析，可了解基本图形的基本特征，以此形成空间概念，简化学习难度。同时，教师还可以利用网络媒体的技术优势，利用希沃电子白板、翻转课堂等多种方式进行讲解，以此减轻学生的学习压力。

（三）明确教学侧重点

按照《义务教育数学课程标准（2022 年版）》的要求，教师可以给学生设置相应的探究任务，让学生从不同的维度思考例题，明晰解题步骤，抓住核心要点，强化学生对基础概念知识的理解，提高对问题的分析以及解答能力，养成良好的学习习惯。