ICME-14视域下中学数学实验的实践思考——以“折纸与黄金矩形”为例

安恺凯 (江苏省天一中学 214101)

沈丹丹 (江苏省无锡市东北塘中学 214101)

1 引言

第14届国际数学教育大会(简称ICME-14)于2021年7月在上海举行，是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议.ICME-14在设有常规的专题研究报告(简称TSG)外，还特别增设了13场中国数学教育特色主题报告(简称TA)，成为本届的亮点之一.江苏教育科学研究院的董林伟教授在此特色报告8(TA8)中，以“数学实验：中国中小学生数学学习方式的变革”为主题，向全球数学教育学者展示江苏数学教育者在数学实验领域的实践经验和研究成果.本文围绕ICME-14的部分重要议题与文献，结合笔者在江苏省天一中学举办的第十一届“全国聚焦课堂活动”中开设的“折纸与黄金矩形”的具体课例，从中学一线教师的角度谈谈对数学实验教学整体实践过程的若干思考.

2 课题来源

ICME-14中的专题研究报告41(TSG41)聚焦数学教科书及资源的研究与开发，关注不同国家的数学课堂有哪些教学资源，它们在数学教学、学习和评估中扮演着怎样的角色，这些资源的使用和实施对学生的学习有什么影响[1].

在当下中国中学生的数学学习中，学习资源大多为教材与练习册，缺少做数学实验的必要工具资源，教材中单纯的数学实验数量又较少且缺乏系统性[2].鉴于以上情况，江苏省中小学教学研究室结合数学教学的实际，精心设计编写了《义务教育教科书 数学实验手册》(以下简称《手册》)，其中包含了丰富的数学实验和一系列实验素材.《手册》一方面较好地扮演了将教材简单、概括的内容直观化、具体化、可操作化，便于教师课堂使用的工具角色；另一方面也扮演着帮助学生理解数学、验证数学、发现数学的“伙伴”角色.本节课的课题“折纸与黄金矩形”便选自《手册(九年级全一册)》中的实验10，包含三个子实验，分别为用矩形纸条、正方形纸片、黄金矩形纸片折出黄金矩形.

3 实验工具

数学实验最先是从高校开始研究的，在高校中通常指依托编程类软件(如Matlab等)，结合数学知识解决实际问题的建模活动.这导致部分教师对中学数学实验存在错误理解，认为中学数学实验也需要依据先进设备或专业软件才能展开.

TA8中指出：“数学实验是一种符合中小学生认知特点和水平的学习策略.通过数学实验，无论是使用物质材料还是技术软件，学生都能参与到动手操作、实验探索、实际应用等数学活动中.”[3]中学数学实验的工具应具备易操作属性，如纸片类物质材料或Excel类技术软件.本课需要的实验材料即为矩形纸条、正方形纸片、黄金矩形纸片若干(来自《手册(九年级全一册)》的附录4)、铅笔、直尺以及剪刀.

4 实验过程

4.1 实验1：用矩形纸条折出黄金矩形

ICME-14中的专题研究报告27(TSG27)聚焦数学史在数学教育中的角色，并指出：“数学是人类智力事业，有着悠久的历史和生动的现状.学习数学不仅包括将数学活动作为‘打磨过的产品’(polished productions)，还包括理解(隐含的)动机、有意义的行为和数学家的反思过程.因此数学教学应提供学生‘做数学’的机会”.[4]

笔者对本节课的引入恰与TSG27中的观点不谋而合.笔者在丰富的人类文明中撷取与课题相关的素材，让课堂从悠久的历史中走来.

·教学片段1

图1 图2

师：首先请同学们用矩形纸条来折出黄金矩形.我们不妨假设矩形纸条的宽度为2，同学们觉得折出黄金矩形的关键点是什么？

师：如何折出？

师：非常好！现在请动手实验，将脑中的思维转化为现实的作品.

由于在之前《实数》章节的学习中学生积累了在数轴上作出长为无理数的线段的基本活动经验，故让学生自主探究、合作交流，多个小组能够独立完成本实验.知识的连贯性及适当的思维引导有效降低了课堂的起点，促使学生能够快速融入课堂.

折法1按图3～图6操作，折出的矩形CDHG为黄金矩形.

图3 图4

图5 图6

折法2前两步与折法1相同，再按图7～图9操作，折出的矩形BCIH为黄金矩形.

图7 图8

图9

思考1数学实验应具备操作性.

实验1体现了数学实验课所应具备的操作性，即学生在动手操作的活动过程中，能在实物直观基础上获得对黄金矩形的数学理解，有效地将数学知识内化为认知结果.

思考2数学实验应具备开放性.

4.2 实验2：用正方形纸片折出黄金矩形

ICME-14中的专题研究报告16(TSG16)聚焦于数学教育中的推理、论证和证明，其中表明国际上普遍认可推理和证明在学生各学段和各方向中的重要性.推理、论证和证明是数学活动的核心，在学习过程中起着至关重要的作用[5].

许多研究数学实验的文章都将“操作实验”与“推理论证”摆在相互对立的位置，笔者认为这种观点是错误的.正如TSG16中所指出的，“推理论证”是数学活动的必不可少的核心环节，“推理论证”与“操作实验”两者之间应是相辅相成的关系，实验2的设计致力于体现这一关系.

·教学片段2

师：在实验2中，请同学们尝试利用正方形纸片来折出黄金矩形.

生：由于实验1中折法2在先折出正方形ABCD的基础上，再在正方形ABCD内部折出了黄金矩形BCIH，故实验2如法炮制即可.

师：很好，观察力非常敏锐！还有其他折法吗？

学生疑惑，没有思路，课堂陷入短暂的沉默，原因主要有两点：一是学生思维难以跳出实验1中折法2所带来的惯性思维影响，二是《手册》对实验2预设的折法(折法3)本身具有一定的隐蔽性.事实上，《手册》对折法3的处理方式是直接展示，要求学生按图折叠并说明折得的四边形为黄金矩形；但笔者以为这样的设计将数学实验变为了纯粹的机械操作，是一种虚假实验，不符合数学实验课变“被动接受”为“主动探究”的本质追求.关注到学生的思维障碍，笔者借鉴了中考中常见的类比探究性问题的设置方式，合理设置相似问题引导学生类比思考.

师：看来同学们对实验1中的折法2情有独钟，那我们就回到折法2中去寻找实验灵感，请思考如下问题.

问题请在实验1中由折法2折得的黄金矩形BCIH中连接CH,CE，则∠BCH和∠ECH之间是否存在等量关系？若存在，请证明.

证明如图10，作HM⊥CE于点M，不妨设正方形ABCD的边长为2.

图10

学生基于上述问题与实验2中的相似成分展开联想探究，将前者中的数学对象已知特性迁移到后者上，从而类比生成折法3.

折法3按图11～图14操作，折出的矩形BCIH为黄金矩形.

图11 图12 图13

图14 图15

思考3数学实验应具备实证性.

历经实验2，学生的思维从“实验几何”向“论证几何”过渡，对几何图形的认知能力、演绎推理能力得到进一步提高，真切感受到动手的数学实验与严密的推理论证是研究数学问题的两种缺一不可的、相辅相成的重要方式.实验2充分体现了数学实验课所应具有的实证性，即学生能通过对实验结果进行严密的数学论证，使物化的实验能形象地反映数学的原理和观念.

4.3 实验3：用黄金矩形纸片(矩形ABCD为黄金矩形)折出黄金矩形

较于实验2，实验3的操作难度有所回落，如图16，只需在黄金矩形ABCD中折去正方形ABEF，从而留下的矩形CDEF即为黄金矩形.由于实验1中折法1的铺垫，学生普遍能迅速完成本次实验.故笔者在设计实验3时，重点不再停留在实验的操作面或实证面上，而是突出学生实验结果中蕴含的探究价值.通过在学生亲手制得的实验作品中设置探究活动，引导其从具体背景中抽象出一般规律与结构，积累从具体到抽象的活动经验，提高学生数学抽象层面的思维品质.

探究1类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，请尝试在图16中继续折出更多的黄金矩形，判断这些黄金矩形是否相似.

图16 图17

(参考答案：仿照实验3的操作步骤，图17中的矩形CGHF、矩形FHMN、矩形HMQP等都为黄金矩形且都相似.)

探究3在图17中，EF将矩形ABCD分成的两部分的面积之比也成黄金比，类比黄金分割点的定义，我们把这样的直线称为黄金分割线，请仔细观察图形，图17中矩形ABCD是否还有其他的黄金分割线.(参考答案：直线AN)

三个探究活动也为课堂容量提供了弹性空间，同时能激发起学生持久的学习兴趣和探索欲望.

思考4数学实验应具有探究性.

教师除了关注到实验本身的操作价值，也应关注到实验成果中蕴含的可持续的探究价值.基于学生的实验成果，设置适度的困难并展开探究，有利于学生深化对知识再认识的同时，进一步发展高阶创新思维，培育数学抽象素养.

思考5数学实验应具备文化性.

数学实验是理想的融入数学文化的有效载体.纵观整个实验过程，学生在创造数学认知的同时，体会到黄金矩形中蕴藏着的丰富的美学价值和悠久的文化价值.正如TSG27中所倡导的，数学实验通过“做数学”将悠久的数学文化和生动的教学现状相互融合.

5 结束语

新课标提出：“改变单一讲授式教学方式，注重开展启发式、探究式、参与式、互动式等……综合性教学活动.”[6]数学实验为教学创新提供了全新平台，有效丰富了教学方式.作为一线数学教育工作者，即要仰望星空，从全球数学教育的先进理念和最新进展中获得启示，不断优化课堂的顶层设计，亦要脚踏实地，在实践中发挥好数学实验的窗口作用，驱动思维创新，发展核心素养.