借助数形结合 走进数学深度学习

☉陆红梅

数形结合不仅是一种最基本的数学思想方法，也是教师常用的教学策略——把直观形象的事物呈现在学生眼前，由此引发学生进行数学观察、思考，进而得出抽象的数学知识。当然，在小学生的数学学习中，也只有将直观与抽象紧密结合起来，才能让他们对于数学知识的学习具有深度。基于此，笔者从数学思想方法的基本内涵、实践价值与方法思考三个方面进行相关阐述。

一、数形结合的基本思想内涵

就数学的本质而言，数形结合指的就是把直观形象与抽象数量进行一一对应，它不仅有具体生动的形象，还有一定的数量变化与空间形式。当然，在对于形象事物的观察时能够抽象出数学的本质东西来，还需要学习者有一定的数感能力与空间意识。因而，在小学生的数学学习中，教师要能紧紧依托可供数学观察的形象来引发学生的数学活动，这样才能让数学学习过程化难为易、化繁为简。

数形结合思想的内涵体现在以下两个层面：一是以数表形，即用数字来表示事物的数量，或是用数量的增减变化来表达事物的多少；二是借形表数，即用形象化的事物来表示数量或数量之间的关系。从低年级起，小学生学习数学就常常用到数形结合思想方法，例如，学习《认识10以内的数》《20以内加减法》等知识时，就用到以数表形或借形表数的方法。

二、数形结合思想在小学数学教学中的实践价值

（一）强化学生对数学知识的理解

众所周知，唯有让学生进行多感官体验式学习，其才有可能实现深度学习。在数学知识的学习过程中，教师就要依据教学内容，联系学生的生活实际，引发学生对学习问题的思考，促进学生自主提出数学问题、分析问题，乃至解决问题，让他们经历一个完整的、系统化的数学探究过程。在这样的数学探究活动中，学生对这些客观事物进行观察与思考，继而发现数学知识，也让数与形有机结合起来，使他们数学思维能力与创新意识得到渐进式生长。

现行的部编版小学数学教材也是以数与形的方式进行编排的，更多地契合了小学生喜爱感性事物的心理特征，遵循了这个阶段学生的认知发展规律。例如，关于行程类应用题教材的编排中，不仅有具体的文字语言叙述，还伴随着线段图的思考填空。这样的编排就能引发学生将应用题中的数量关系用直观形象的线段来进行合理建构。在教学完这样的习题之后，学生不仅能够掌握画线段图的方法，还能获得一定的操作体验，数学学习也自然就有了深度。

在借助于数形结合思想方法来解决数学问题的过程中，教师还要能够促进学生掌握一定的解题路径，这样才能让解题方法真正在学生的头脑中形成建构。例如，在教学《梯形的面积计算》这一课内容时，教师就要有序开展活动，形成一定的步骤：1.数学猜想，得出计算方法；2.动手操作，用两个完全一样的梯形拼成平行四边形；3.数学观察，分析拼成的平行四边形与梯形之间的数量关系；4.探讨梯形面积计算方法，加以实践应用。在此过程中，教师引领学生借助于数形结合的思想，将计算方法与推导的过程一一对应起来，让学生在自己的头脑中形成清晰的认知：将S梯形＝（a＋b）×h÷2这一公式与其推导的两个完全一样的梯形拼成平行四边形的相关示意图建构起来。这样，也就让学生的头脑中留下了“两个完全一样的梯形拼成平行四边形，每个梯形面积是这个平行四边形面积的一半”这一具体形象，同时也让学生能够将字母符号公式进行简要表达。

（二）助推学生的数学思维能力发展

数学思维就是指人用数学的方法来思考问题，也是人脑对数学问题的反应。数学思维的品质往往体现在灵活性、准确性、逻辑性等几个层面。倘若一个人具有了良好的思维品质，那么他就能在解决数学问题的过程中表现出超乎常人的速度，不光是解决问题的方法选择比较灵活，解决问题的过程也合乎逻辑，得出的结论也是比较精准的。当然，良好的数学思维品质培养，需要借助于“数形结合”的方法来实现，需要学生从直觉思维走向创造性思维发展。

借助于数形结合，学生可以通过图形来找到数量间的多种关系，进而能根据相关的数量建立运算关系，从而能够对数学知识问题进行有效解决。长此利用数形结合这一思想方法，学生的直觉思维可以得到长远的发展，抽象思维也能够以此为基点不断进行生长。在数学思维品质的培养过程中，学生的数学学习经验与数学知识积累也是成正比递增的。通过数形结合思想的运用，学生还可以从多个方向与多个层面来分析问题，打破常规思维的局限性，进而走向创新。

例如，在教学运算规律的相关知识时，教师就可以放手让学生通过数学算式的计算与观察，引导他们发现数学算式中的共同特征，并能用创新思维来表示出运算规律：有的孩子用图形来表示加法交换律与结合律，有的孩子用字母来表示加法交换律与结合律……这也是学生在形象思维方面的创新，他们尝试着运用字母、符号、图形与实物等对数学规律的存在形式进行建构。通过研究也发现，表象是具象思维的基本形式，而表象的载体也就涵括在图形与符号两种形式之中。

在面对抽象的数学问题时，教师就要引领学生学会用建构表象的方式来表达数学规律与形式，促进学生通过猜想来获得数学初步结论，继而开展操作与观察活动，进行合理验证，并加以应用，让学生获得数学学习的直接性经验。与此同时，学生在建构知识的过程中将相关的数与形有机结合起来，让抽象的逻辑推理与数量之间的关系更加具象化，从而对获得的知识形成深刻记忆。

三、数形结合在小学数学教学中的实践原则

（一）对等性

在数学中，数字与图形之间具有着紧密的联系，两者所表达的意义往往存在着对等的关系，并且在特定的条件下可以相互替代或转换。因而，笔者认为，在数形结合的实践应用中应遵循对等性原则。具体而言，在对图形类数学问题的解题分析时，学生要将其面积或周长的计算方法与数量之间建构好联系，并保持好对等关系。

例如，在利用平行四边形的面积计算公式求面积时，学生就要找准底边和与其对应的高，并与公式中的符号或文字进行对等起来，依据模型来进行解题。当然，在面临一些复杂的数学问题时，教师也应启发学生通过图形来表达问题中的数量，并从图形中直观发现数量间的运算关系，进而得出解题的具体方法。例如，解决这样一个问题：“将一个平行四边形通过割补法转化为一个边长为4分米的正方形，求原来平行四边形的面积。”笔者就设计了如下教学环节：1.首先，画出转化后的正方形；2.接着，假设补出的部分（三角形），并还原；3.观察还原后的平行四边形；4.得出观察结论，如平行四边形的面积与转化后的正方形面积不变、正方形的边长与原来平行四边形的底相等、正方形的边长与原来平行四边形的高相等；5.将图形与数量之间建立对应关系，平行四边形的底是4分米长，平行四边形的高也是4分米长，最终得出计算方法。

当然，在数学学习过程中，学生只有真正找到图形的基本要素与数量之间的对等关系，才能将数学问题的解决过程与方法之间达成契合，不断提升数学思维能力。

（二）互换性

互换性是指在数形结合的过程中，既可以用数来代替图形，也可以用图形来表示数。笔者发现，数与形也是各有优势的，“数”彰显其独特的抽象性，“形”具有学生所受的直观性。通过代数可以让复杂的问题简单化、理性化，可以形成逻辑关系；通过图形，可以让抽象的形式直观化、具体化，清晰可见、一目了然。因而，在数学教学活动中，教师要能依据不同的教学内容，灵活运用好数形结合思想方法，做到“数”中有“形”，“形”中有“数”［2］。例如，在教学低年级比较大小时，教师就可以用图形的多少来让学生建构起数量的大小；在教学长方形的周长时，教师就可以用数量关系来让学生建构起长方形周长的大小，等等。

简而言之，在数学问题的解决中，教师要积极贯彻互换性原则，或用“数”来表示“形”，或用“形”来呈现“数”，真正让“数”与“形”相互配合起来。学生经历这样的数学学习活动，才能在数学学习中获得灵活的数学思维。

四、数形结合在小学数学教学中的实践应用

（一）借助数形结合，促进数学知识的理解

在数学教学过程中，数学概念的形成与基本算理的理解是学习数学的基础，也是解决数学问题的重要前提。对于低年级学生来说，最为重要的数学学习，就是获得数学概念的通透理解与基本算理的明晰，由此展开数学应用活动，提升数学综合能力。在这一学段中，就需要常常借助于数形结合思想，让学生在有趣的数学活动中获得感性的数学知识。到了小学高年级，数学问题中的数量关系变得相对复杂，教师仅仅依靠简单的讲解就想让学生对数学概念与算理理解得十分通透，是不可能的。此时，也更加需要将“数”与“形”有效结合起来，借助于直观的图形把数量间的运算关系表达清楚；反之，也需要以“数”的形式来简洁表示出复杂的数学问题。为了实现这样的数学教学目标，教师就要充分利用学生“由感性思维向理性思维发展”的这一规律来构建生活化数学学习模式，促进学生对数学知识的深度理解。

例如，在教学《图形的变换方式》时，很多学生在画图操作时会将格数数错。究其原因，就是学生未能将“数”与“形”真正对应起来。为了帮助学生深刻理解平移、对称与旋转这三种图形的变换方式，教师就要借助于生活中的实物图形进行操作，让学生从直观观察中看到数量的变化，引发学生将“数”与“形”有效对应起来。如：将一个直角三角板围绕它的直角顶点旋转90°，请画出旋转后的图形。笔者让学生用直角三角板自主操作，进行数学观察，发现旋转后三角形与旋转前的位置变化关系与数量持恒情况，让学生将旋转后三角形与旋转前三角形边的长度对应起来，旋转后的边与旋转前的边对应起来，同时将“数”与“形”有效结合，强化了学生对图形变换方式的真正理解。

（二）借助数形结合，促进数学模型的建构

在小学数学知识的学习过程中，并非都是让学生建立计算性、规律性的模型知识结构，往往还有一些集具象与抽象为一体的概念，需要学生在头脑中形成合理的建构。［3］当然，同时让学生将抽象与具象集一体化的知识记忆深刻，还是具有一定困难的。因为学生的具象思维与抽象思维并非完全融合在一起的。例如，在借助于图形掌握了运算知识后，学生往往就只会记住算理，形成了知识建构。此时，他们也就习惯于用抽象的算理来解决问题，不会再去借助直观思维解决问题。

例如，在教学长度单位时，教师就要促进学生具象性地认识到：大拇指指甲的长度大约1厘米、1个粉笔盒的底边长约1分米……在教学面积单位长度时，教师就要促进学生记忆住：1平方厘米有一个手指头的大小、1平方分米大约有1个巴掌大小……唯有学生对这些单位性概念深刻记忆，他们才能对长度、面积等概念形成知识建构。通过调查发现，小学阶段的学生往往会对长度、面积与体积知识混淆，原因就在于他们对基本单位没有形成有效的建构。

在信息教育时代，数形结合思想方法的运用，并非仅仅靠教师与学生的动手操作就能完全实现，往往还要借助信息化技术手段。例如，在教学较为复杂的图形面积计算中，教师就可以利用信息技术将面积相等的部分图形用动画的方式，直观呈现，这样才能让学生更为深刻透彻地理解。

综上所述，在小学数学教学活动过程中，数形结合思想的运用是无时不在、无处不在的，教师要充分利用好数形结合思想，创新数学教学新路径，遵循小学生的思维发展规律，开展有效的数学探究活动，引领他们走进深度学习，不断发展其数学思维能力。