同构在函数问题中的应用*

徐建新

⦿福建省德化第一中学 福建教育学院数学教育研究所

在解决函数问题时，通过同构变形可将不等式(或等式)两边构造成具有相同结构的代数式，找出母函数并确定母函数的单调性，然后利用函数单调性求解不等式(或等式)，这就是同构思想.

基本思路为：将原不等式等价变形为f(g(x))

类型1：根据y=f(x)的单调性，将f(g(x))

类型2：根据g(x)与h(x)的大小关系，得到y=f(x)的单调性.

本文中结合具体案例，介绍几类在函数问题中常见的同构方法.

1 双变量同构

含有地位相同的两个变量的不等式(或等式)通过变形后，不等式(或等式)两边结构具有一致性，可以构造函数.

例1(2020·新课标Ⅰ卷理数·12)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

解：由22b+log2b=22b+log2(2b)-1，得2a+log2a<22b+log2(2b).构造函数f(x)=2x+log2x，则原不等式等价于f(a)

点评：当条件中出现两个变量时，可以通过移项、两边同时除以某个式子等变形手段，将相同的自变量放在同一边，使不等式的两边具有相同的结构，从而找到母函数.

2 “指对”同构

在解决同时涉及ex与lnx的相关“指对”混合等式或不等式问题时，可以灵活运用恒等式a=eln a(a>0)，a=ln ea进行同构，常有如下两种方法：

(1)指对“分家”：将指数形式和对数形式分开，再利用同构变形寻找母函数.

(2)内部同构：以指数函数的指数位置，以及对数函数的真数位置为内函数，再利用复合函数的单调性求解.

例3(2022届泉州市第二次质量检测第8题)已知函数f(x)=ax-ex，∀x∈(1，+∞)，f(x)

A.(-∞，1) B.(-∞，1]

C.(-∞,e) D.(-∞,e]

分析：利用x=eln x，得ex=e·eln x=eln x+1，将不等式的右边变成含有指数式的式子；也可以利用x=ln ex，得ax=aln ex，将不等式的左边变成含有对数式的式子.

解法1：因为alnx+a-ex=a(lnx+1)-eln x+1，所以f(x)

由切线不等式x-1≥lnx，得1

解法2：将不等式ax-ex

aln ex-ex

故选：D.

例4(2022届T8联考第8题)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1+b

A.ab>e B.b>ea+1

C.ab

解法1：原不等式等价于aea+1

两边同时除以e，得

aea

构造f(x)=xex，则②式转化为

f(a)

由f′(x)=(x+1)ex，得f(x)在(0，+∞)上单调递增.又aea+10，得lnb-1>0.所以③式化为aea+1.故选：B.

解法2：原不等式等价于

(a+1)ea+1-ea+1

构造函数f(x)=xex-ex，则④式转化为

f(a+1)

又a+1>1，lnb>1，且f′(x)=x·ex，则f(x)在(1，+∞)上单调递增，于是⑤式等价于a+1ea+1.故选：B.

点评：“指对”混合时，参变分离的难度比较大，而运用“指对”同构可以化难为易，但该方法对式子等价变形能力的要求较高.变形时，内部同构(相同的自变量或“自变量团”放在同一边)，外部同构(母函数)自然而然显现.“指对”同构常与切线不等式综合运用，因此要熟记几个常见的切线不等式及其变形式.

以下是四个常用的切线不等式(如图1，图2)：

(1)ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)；

(2)lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立)；

(3)ex≥ex(当且仅当x=1时等号成立)；

图1

3 朗博同构

由切线不等式ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)，得xex=eln x+x≥x+lnx+1(当且仅当lnx+x=0时等号成立)，即xex≥x+lnx+1.

例5若函数f(x)=x(e2x-a)-lnx-1无零点，则整数a的最大值是( ).

A.3 B.2 C.1 D.0

解：由切线不等式，得f(x)=eln x+2x-ax-lnx-1≥(lnx+2x+1)-ax-lnx-1=(2-a)x.

因此，f(x)无零点时整数a的最大值是1.故选：C.

例6(2020年新高考Ⅰ卷第21题节选)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范围.

解法1：不等式aex-1-lnx+lna≥1，等价于eln a+x-1-lnx+lna-1≥0.

移项，得eln a+x-1+lna-1≥lnx.

两边同时加x，得

eln a+x-1+lna+x-1≥x+lnx=eln x+lnx.⑥

构造g(t)=et+t，则g(t)在R上是增函数，且⑥式转化为g(lna+x-1)≥g(lnx).所以lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1在(0,+∞)上恒成立.

设h(x)=lnx-x+1，则由lnx≤x-1，得h(x)的最大值为0，从而lna≥0，解得a≥1.

故a的取值范围为[1，+∞).

解法2：不等式aex-1-lnx+lna≥1，等价于eln a+x-1-lnx+lna-1≥0.

又eln a+x-1≥lna+x，所以要使f(x)≥1恒成立，则2lna≥(lnx-x+1)max.

设g(x)=lnx-x+1，则可知g(x)max=g(1)=0.所以2lna≥0，解得a≥1.

故a的取值范围为[1，+∞).

点评：解法1在不等式eln a+x-1+lna-1≥lnx的两边同时加“x”，使左边出现与指数幂相同的“自变量团”，右边变形成eln a+x-1+lna+x-1≥eln x+lnx，运用的是“指对”同构.解法2在不等式eln a+x-1-lnx+lna-1≥0中运用朗博同构，更直接迅速.

4 差一同构

指数幂和对数的真数相差1时，可用“差一同构”.下面仍以例6为例，利用“差一同构”进行分析.

构造函数g(x)=ex-x-1.由切线不等式，可知ex≥x+1(当且仅当x=0时，等号成立).所以，g(x-1)=ex-1-x≥0，g(lnx)=x-lnx-1≥0(当且仅当x=1时，等号成立)，两式相加，得ex-1-lnx-1≥0(当且仅当x=1时，等号成立).

当a≥1时，lna≥0.所以aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1恒成立.

当0

综上，可知f(x)≥1时，a≥1.

以上由母函数g(x)=ex-x-1同构出函数g(x-1)和g(lnx)，结合切线不等式得到两个取等号条件一样的不等式，从而轻松破解该题.同样地，由g(x)=ex-x-1≥0，也可以构造g[ln(x+1)]=x-ln(x+1)≥0，两式相加，得ex-ln(x+1)-1≥0(以上三个不等式都是当且仅当x=0时，等号成立).因此，取等号条件是差一同构的关键.

总之，通过上述多种同构方法的归类剖析可知，处理此类问题切入点虽有不同，但目标一致，关键在于灵活运用恒等式xex=ex+ln x等，对题设的等式或不等式进行适当的变形，使之左右两边结构相同，进而寻找母函数.该类问题又常与切线不等式综合运用，解法多样，变形难度较大.因此，要学会利用同构变形，在掌握思想与方法的过程中不断形成知识体系，提升数学品质，提高思维能力.