框架结构中楼梯抗侧刚度的影响因素及计算方法研究

常 青 程远兵

（华北水利水电大学土木与交通学院，河南 郑州 450045）

0 引言

楼梯作为房屋建筑中必不可少的组成部分，是紧急状况下重要的疏散和逃生通道。由于楼梯间的构造不同于楼层的其他部分，导致其受力复杂，在发生地震时，容易先于主体结构发生破坏［1］。为保证楼梯在紧急状况下起到“安全岛”的作用，做好楼梯间的抗震设计尤为重要。汶川地震之前，在我国的建筑抗震设计中，将楼梯构件看作仅承受竖向荷载的受弯构件，不考虑楼梯对结构抗侧刚度的影响［2］，忽略了楼梯对结构的斜撑作用，导致结构抗震计算不合理［3-4］。大量的震害调查表明，楼梯在地震中损毁严重，主要表现为梯段板断裂、梯梁扭断、框架短柱破坏等［5-6］。目前，通用的设计软件为有限元分析方法，在结构抗震计算中计入了楼梯结构的抗震影响，但是缺乏楼梯抗侧刚度的计算。综上所述，由于框架结构是最常用的结构型式之一，对框架结构楼梯间的抗震性能研究迫在眉睫。

近年来，国内外的研究人员对楼梯的震害特征进行了分析，研究了楼梯间位置、支座布置等因素对整体框架结构刚度的影响。常亚峰等［7］利用ETABS对包括和不包括隔震防倒塌支座的框架结构计算模型进行分析，结果表明设置隔震防倒塌支座可保证楼梯的整体稳定性。Faizan等［8］研究了建筑高度变化、楼梯平面布置及楼梯间的填充墙对建筑的影响。王建强等［9］对有无楼梯的框架结构进行地震反应分析，结果表明楼梯与整体结构共同工作时，楼梯构件的内力显著增大且受力状态复杂。敬艳梅等［10］通过对现浇板式楼梯框架模型进行弹塑性分析，得出模型的失效是从楼梯发展到框架，由下层发展到上层的结论，并针对模型的失效机制特点提出了相应的抗震措施。

为解决楼梯构件抗侧刚度的计算问题，本研究以楼梯间的层高h和开间宽度b为基本参数，将混凝土强度等级、楼梯构件截面尺寸等参数取为固定值，对框架结构楼梯间进行有限元分析。对分析得出的数据进行拟合，回归出框架结构楼梯的抗侧刚度计算公式。

1 有限元模型的建立

1.1 参数选取

ANSYS软件是一个常用的有限元软件，可以灵活地对结构进行分析。其可任意设定荷载工况，实现对结构的整体分析。同时也可以对细部加密网格，得出较为精确的细部结果。

为了避免因单元细分而导致的应力奇异问题，提高整体计算的收敛性，采用整体式建模。在有限元模型里，通过把钢筋“弥散”于整个单元中的方法，将钢筋混凝土材料视作单一材料。

梁、柱选用BEAM188单元，即3D线性有限应变梁，主要用于模拟考虑剪切变形影响的细长到中等粗短的梁结构。该单元有两个节点，每个节点有6、7个自由度，即3个平动自由度Ux、U y、Uz和3个转动自由度Rotx、Roty、Rotz，同时支持约束扭转，通过激活第七个自由度warp使用。该单元非常适合用于分析线性、大角度转动和非线性大应变问题。

板选用SHELL181单元，即有限应变壳，主要用于模拟薄壳至中等厚度壳结构。该单元有4个节点，每个节点有6个自由度，即沿x、y、z方向的平动位移和绕节点x、y、z轴的转动。该单元有强大的非线性功能，并具有截面数据定义、分析、可视化等功能，还能定义复合材料多层壳。

1.2 模型的建立

根据《建筑设计防火规范》（GB 50016—2014）和《高层民用建筑设计防火规范》（GB 50045—95）的有关规定，楼梯平台的宽度不应小于梯段板的宽度，因此本模型楼梯平台的宽度等于梯段板的宽度。楼梯间整体模型只取层高h和开间b这两个参数作为影响因素。其余各个参数，结合实际工程的常见情况，取为固定值，分别为：框架柱截面为400 mm×400 mm；框架梁截面为250 mm×600 mm；楼梯柱截面为250 mm×250 mm；平台梁截面为250 mm×400 mm；楼梯梯段板厚120 mm，踏步宽为280 mm、高为150 mm；休息平台板厚均为100 mm；楼梯井宽为150 mm；楼梯构件混凝土强度等级均为C30。模型参数如图1所示。

图1 楼梯间整体模型参数（单位：mm）

因楼梯间整体模型只取层高h和开间b作为变化参数，所以进深如式（1）所示。

根据式（1），对楼梯间的层高h和开间b进行变化，建立如图2所示的整体模型。

图2 楼梯间整体模型

2 楼梯的抗侧刚度

2.1 楼梯抗侧刚度的确定

具体步骤为：一是采用有限元分析，得出楼梯间整体模型的抗侧刚度(通过对楼梯间顶部施加单位位移的方法)；二是采用有限元分析，得出框架柱的刚度(通过对柱顶部施加单位位移的方法)；三是将步骤一和步骤二得出的结果相减，即为楼梯结构的侧向刚度。

2.2 楼梯抗侧刚度的变化规律

先保持楼梯间开间宽度b不变，变化层高h，分别取层高h为2.7 m、3.0 m、3.3 m、3.6 m、3.9 m、4.2 m、4.5 m、4.8 m；再保持楼梯间层高h不变，变化开间宽度b，分别取开间宽度b为2.7 m、3.0 m、3.3 m、3.6 m、3.9 m、4.2 m、4.5 m，4.8 m。根据相关数据和图1计算出其他参数，逐个建出楼梯间整体的有限元模型。依次对模型进行有限元分析，得到每个模型中的楼梯抗侧刚度如表1所示。

根据表1的结果，绘制出楼梯抗侧刚度与层高的关系如图3所示，绘制出楼梯抗侧刚度与开间宽度的关系如图4所示。

表1 楼梯抗侧刚度的有限元分析结果单位：108 N/m

从图3和图4可以看出，当楼梯间开间宽度b不变时，楼梯的抗侧刚度随楼梯间层高h的增大而减小；当楼梯间层高h不变时，楼梯的抗侧刚度随楼梯间开间b的增大而减小。

图3 楼梯抗侧刚度与楼梯间层高的关系

图4 楼梯抗侧刚度与楼梯间开间宽度的关系

2.3 楼梯抗侧刚度的计算公式

2.3.1 楼梯抗侧刚度随层高h变化的公式。当楼梯间开间宽度b不变时，使用Eureqa软件对有限元分析得到的数据进行拟合，得出楼梯的抗侧刚度随楼梯间层高h变化的计算公式，公式及误差见表2，表中k的单位为108N/m。

表2 楼梯整体抗侧刚度的拟合公式

2.3.2 楼梯抗侧刚度随开间宽度b变化的公式。当楼梯间层高h不变时，使用Eureqa软件对有限元分析得到的数据进行拟合，得出楼梯的抗侧刚度随楼梯间开间宽度b变化的计算公式，公式及误差见表3，表中k的单位为108N/m。

表3 楼梯整体抗侧刚度的拟合公式

2.3.3 楼梯抗侧刚度随层高h和开间宽度b变化的公式。当楼梯间层高h和开间宽度b同时变化时，使用Eureqa软件对有限元分析得到的数据进行拟合，得出楼梯的抗侧刚度随楼梯间层高h和开间宽度b变化的计算公式，公式及误差见表4，表中k的单位为108N/m。

表4 楼梯整体抗侧刚度的拟合公式

3 结语

以框架结构的楼梯间作为研究对象，选取楼梯间的开间、进深和层高等作为影响因素，采用有限元分析的方法，建立了分析模型，变化相关参数，通过对楼梯间施加层间侧移，并对相关数据进行分析，得出如下结论。

①当楼梯间的开间宽度b不变时，减小楼梯间的层高h可以增大楼梯的抗侧刚度。

②当楼梯间的层高h不变时，减小楼梯间的开间宽度b可以增大楼梯的抗侧刚度。

③利用ANSYS软件对楼梯间进行整体建模分析，根据得出的数据，通过Eureqa软件进行拟合，回归出了楼梯抗侧刚度在不同影响因素下的计算公式，可为框架结构中楼梯参与结构整体抗震设计时提供参考。