思维导图在高三数学复习教学中的应用与思考

［摘  要］ 将思维导图应用在高三数学复习教学中，能让知识变得更具层次性、逻辑性与整体性. 文章从“基础知识梳理，建构知识网络”“解题思路梳理，形成解法体系”“辅助变式训练，优化问题串链”三方面例谈思维导图的实际应用，并从“注重‘以生为本”“难度循序渐进”“过程因人制宜”“点评足履实地”四方面谈一些思考.

［关键词］ 思维导图；复习教学；变式

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称“新课标”）提出：数学课堂上，教师应尽可能地利用一切教学手段激发学生的学习兴趣，充分调动学生学习的积极性，以启发学生的思维，促进创造性意识的形成. 常规按部就班的复习教学模式，常因缺乏提炼与总结，使得学生对知识的认识处于点线状，难以让学生真正意义上建构完整的认知结构. 而思维导图的应用则让课堂显得更具层次性、逻辑性与整体性.

思维导图的应用

思维导图是东尼·博赞根据人类大脑工作原理而创造出来的一种能有效启发人类思维、锻炼人类智力的思维工具. 它作为具有统筹功能的思维工具，不仅能激发学生思维的深刻性，还能可视化学生的学习思路与认知线路. 将思维导图应用到高三复习教学中，能起到优化学生的思维、激发学生的创新意识、提升学生的数学综合素养等作用.

1. 基础知识梳理，建构知识网络

高三复习，不再是帮助学生寻找、巩固各个章节现有的结构，而是带领学生自主总结、梳理之前接触过的知识、技能、规律与解题技巧等，鼓励学生在自己原有认知结构的基础上，理解性地加工并构建出具有个体色彩的知识结构图.

案例1 “立体几何”的复习.

立体几何涉及的知识面广、量大且杂. 在复习时，教师可引导学生以空間几何体作为核心知识，从简单几何体与点、线、面的位置关系两个角度进行分类. 其中，点、线、面的位置关系存在垂直与平行两个模块；简单几何体存在分类、画法、表面积与体积三个模块. 只要引导学生在大脑中建构出这个“知识树”的主干，那么立体几何的思维导图就基本形成.

学生在整理知识时，可将各个知识纳入该主干网络，迅速检索相匹配的知识线路，达到触类旁通的境界. 这种知识梳理方式不仅能促进学生动手、动脑，还能让学生从整体上把握知识结构与知识之间的联系，最终建构成清晰、完整的立体几何概念网络图（见图1）.

随着立体几何思维导图的诞生，学生对零碎的知识有了一个系统完整的认识，在后续解题时就能用辩证的眼光去分析与处理. 由此可见，思维导图具有梳理知识、完善体系的重要作用.

2. 解题思路梳理，形成解法体系

例题教学在高三复习中占有重要地位，它能有效帮助学生理解并应用所学知识进行解题，促进学生思维的发展. 讲题、解题是高三复习教学亘古不变的主题. 正如爱因斯坦所认为的：若将结论直接呈现在学习者面前，则学习者无法体会探索与发现的乐趣，更无法感知数学思想方法的形成过程，难以清楚地理解实际情况.

鉴于此，在实际教学中，教师应注重结论与知识形成过程的关系，带领学生借助思维导图可视化的特点，充分理解知识建构与问题解决的过程. 同时，将一些难以形容的虚拟信息转化成清晰的导图形式，为学生思考提供依据与方向，学生根据丰富可视的导图展开分析、联想，获得解决问题的方案.

案例2 若△ABC是一个等腰三角形，已知AB=AC，线段BD为腰AC的中线，BD=3，则△ABC的最大面积是多少？

本题是一道经典例题，题干简洁明了，但涉及的知识点与数学思想却很丰富. 本题可以从“数”与“形”两个角度进行分析解决，如从“形”的角度构造阿波罗尼斯圆或直角三角形；从“数”的角度联系二次函数、角表示边以及基本不等式等知识.

解题方法很多，学生在实际应用时，难以从整体出发全面掌握并选取最优解题方法. 若将每种解题方法罗列到一起，用思维导图进行展示则清晰明了，各种解题方法的优势也一目了然.

3. 辅助变式训练，优化问题串链

高三复习内容多、题量大，“题海战术”百害而无一利，那么用什么样的方法能让最少的问题全面覆盖学生的知识与技能呢？实践发现，精选典型例题，通过问题串链的方式进行变式训练是完善学生认知体系、提炼数学思想方法的基本载体.

摒弃“就题论题”的教学方式，对经典例题进行适当的引申、变化、挖掘等，能最大限度地提升每一个问题的教学价值与意义，实现知识的融会贯通. 最常见的是变式教学，它可将一些静态问题延伸为动态内容，但知识本质与核心思想并不会因为问题的变化而发生改变. 一般情况下，复习课型会将变式教学渗透其中，让学生万变不离其宗提炼数学思想方法，感悟知识本质.

变式教学一般从小题热身开始，通过经典例题来拓展变式，学生的思维经历由浅入深的变化过程. 将思维导图应用在变式过程中，不仅能帮助学生链接各个知识点，还能促使学生自主发现知识点间的联系，形成相应的解题技巧，发展逻辑推理能力.

案例3 如图2所示，若F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点K（－1，0）的直线l和抛物线C：y2=4x相交于点A，B，点A关于x轴的对称点恰好为D. 证明：点F必然是直线BD上的一点.

具体证明过程如下：

为帮助学生厘清本题条件与结论之间的关系，在解决本题的基础上，进行适当的引导与点拨，鼓励学生将解析所获得的条件与结论用思维导图的方式整理出来（见图3），并根据变式设计原理，从不同的条件与结论出发，为变式训练的开展提供明确的设计思路.

（1）问题的变式.

变式1 条件“点A关于x轴的对称点恰好为D”（第三条件）与结论互换.

已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点K（－1，0）的直线l与抛物线C相交于点A，B，点B，F的连线与抛物线C相交于点D. 证明：AD与x轴是垂直的关系.

变式2 条件“过点K（－1，0）的直线l与抛物线C相交于点A，B”（第二条件）与结论互换.

已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C相交于点B，D，过点D作x轴的垂线与抛物线C相交于点A. 证明：直线AB必过定点K（－1，0）.

（2）问题的推广.

变式3 已知F是抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，，0的直线l与抛物线C相交于点A，B，点A关于x轴的对称点恰好为D. 证明：点F，0是直线BD上的一点.

变式4 条件“点A关于x轴的对称点恰好为D”（第三条件）和结论互换.

已知F是抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，，0的直线l与抛物线C相交于点A，B，若BF与抛物线相交于点D. 证明：AD与x轴为垂直的关系.

变式5 条件“过点K－，0的直线l与抛物线C相交于点A，B”（第二条件）与结论互换.

已知F是抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于点B，D，过点D作x轴的垂线与抛物线C相交于点A. 证明：直线AB必过定点K－，0.

变式6 更换焦点F为一般点（a，0）（a>0）.

已知过点K（－a，0）（a>0）的直线l與抛物线C：y2=2px（p>0）相交于点A，B，点A关于x轴的对称点为D. 证明：点Q（a，0）必然位于直线BD上.

（3）问题的迁移.

变式7 将问题背景换为椭圆.

变式8 将问题背景换为双曲线.

在思维导图的帮助下，本题的变式拓展条理清晰，难度由浅入深，知识基本上全面覆盖. 学生通过一道例题的研究，就能全面、深刻地理解这一类知识. 这种教学方式与新课标所倡导的“减负增效”“以生为本”等理念相契合.

几点思考

1. 注重“以生为本”

新课标提出：教师应为学生提供充足的时间与空间，让学生亲历观察、实验、猜想、验证与推理等活动过程，充分感知学习是活泼、主动且富有个性的动态过程. 由此可见，让学生动起来是教学的核心，但光“动”还不够，教师还要制造一些机会给学生带来心理、智力与认知上的挑战，只有真正地“震撼”到学生的内心，才能从真正意义上打造出“活而不乱”“动静结合”的课堂.

将思维导图应用到复习教学中，要注意不能急于求成，而要给予学生充足的时间与空间，让学生自主探索、绘制、总结，若将思维导图模式化，就会严重束缚学生的思维，无法将思维导图的作用落到实处.

2. 难度循序渐进

复习课型一般具备容量大、时间紧等特点，思维导图可帮助学生在短时间内认识更多的知识，构建完整的知识结构，因此将思维导图应用到复习课堂上是不错的选择. 在实际应用时，教师应关注学生的基础水平差异、接受能力差异等，在课程安排上应遵循循序渐进、由浅入深，难度呈阶梯状上升的原则，让学生经历思维逐层递进的过程，从而绘制出完整的思维导图，并建构完整的知识结构.

3. 过程因人制宜

新课标一再强调：要为学生营造独立思考、自主探究、合作交流的学习环境，以增强学生的实践与创造力. 在这种理念的驱使下，改变教师“一言堂”的现状势在必行. 在应用思维导图进行教学时，教师可综合了解学生的认知水平、家庭背景、兴趣爱好、心理素质与学习能力等，为建立“组间同质，组内异质”的学习小组奠定基础. 良好的合作小组能有效地将碎片化知识增构建成结构清晰的图式，因人制宜的过程使得每一个学生都获得发展的机会.

4. 点评脚踏实地

新课标强调：数学学习评价不仅要注重学生对基础知识与技能的掌握，还要注重数学核心素养形成与发展的情况；课程评价不仅要注重教学成效，还要注重学习过程. 在课堂中，师生围绕思维导图积极互动与交流，并对导图内容进行点评，点评方式多样化，如生生互评、教师点评等. 点评时要注意引导学生耐心倾听与思考，充分了解设计者的真实想法，从中获得启示. 当然，教师应多角度鼓励与肯定学生的成果，以激发学生的学习信心.

总之，思维导图作为一种脉络清晰、指向明确的信息处理工具，能让知识变得更具层次性、逻辑性与整体性，绘图过程不仅能陶冶学生的情操，还能有效促进学生形成与发展独立思考能力和数学学科核心素养.

作者简介：孙卿卿（1986—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.