以必要性分析之矛，攻含参恒成立之盾

福建省南安第一中学 (362300) 卢 阳

河南省郑州市春华学校 (450046) 付思琦

含参恒成立问题因综合性强，解法灵活而备受命题者青睐.笔者在教学过程中了解到学生对于参数分类依据的寻找不胜其烦，需要有较强的思维与观察能力.解题时，常从已知条件中推出一些结论，这些结论就是题目的必要条件，若能再论证充分性的成立，则问题得以解决.我们将这个方法称为必要性探路.本文以2022年高考题为例，赏析利用必要性解题的魅力.

2022年高考Ⅱ卷与全国Ⅰ卷出现了两道相同背景的含参恒成立问题，对学生造成了较大困扰.两题背景如下：

第一类：若函数f(x,m)≥0(m为参数)在区间[a,b]上恒成立，且f(a)=0或f(b)=0，则f′(a)≥0或f′(b)≤0.

另外，将f(x,m)≥0改为f(x,m)≤0时，可类比上述等价转化，不再赘述.

下面用反证法对第一类背景进行证明：

其他情况证明类似，请读者自行证明.上述过程用到了函数极限的局部保号性，具体可见参考文献[1].并且只给出了求参数范围的必要条件，解题时还需要对充分性进行说明.

一、利用必要性求参数范围

例1 (2022年Ⅱ卷22题第2问)f(x)=xeax-ex,当x>0时，f(x)<-1,求a的取值范围.

分析：令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,于是g(x)≤g(0)=0对∀x≥0恒成立.又g′(x)=eax+axeax-ex，且g′(0)=0，g″(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex=a(2eax+axeax)-ex，则g″(0)=2a-1，于是必要条件为2a-1≤0.

②当a≤0时，g′(x)=eax+axeax-ex<1+0-1=0,得到g(x)在(0，+∞)上为减函数，所以g(x)

例2 (2022年Ⅰ卷22题第2问)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x,若f(x)在区间(-1,0)，(0，+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围.

图1

解：①当a≥0时，当x∈(-1,0]时，f′(x)>0成立，所以f(x)在x∈(-1,0]单调递增，且f(x)=0，故x∈(-1,0]时，f(x)无零点，舍去；

(ⅰ)当x>0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，h′(0)=1+a<0，h(1)=e>0，故∃x0∈(0,1)，使得h(x0)=0，当x∈(0,x0)时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；又f(0)=0，且当x→+∞时,f(x)→+∞，此时在(0,+∞)上有一个零点；

综上所述，a<-1.

评析：两题的关键都在于对参数进行分类讨论.例1利用端点函数值的特殊情况，再结合必要性探路，便可快速得到分类依据，是前面所说的第二类背景；例2难度较大，需要对函数图像进行大致猜测，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力，突破口依旧是利用“f(0)=0”的特殊性和必要性探路，属于第一类背景的变式.

除了求参数范围外，高考和联赛还时常考查求参数的取值.这类问题依旧面临着分类依据不易找，讨论情况繁而多，解题过程杂而长的特点.如能合理利用必要性缩小讨论范围甚至直接求出参数值，那就能“化繁为简”.

二、利用必要性求参数值

例3 (2022福建预赛题)如果对任意x,y，不等式4x2+y2+1≥kx(y+1)恒成立，求最大常数k.

解：下面证明4x2+y2+1≥3x(y+1)对任意整数x,y均成立.

综上，k最大为3.

评析：此题直接去求k的范围，无论是直接讨论还是分离参数，都显得无从下手.若能枚举一些特殊值代入不等式中，可得到一些必要条件，从而猜出k的最大值为3，进而把参数范围的问题转化为不含参数的证明题，难度大大降低.

解：下面证明a=-π符合题意.令g(x)=xsinx+cosx+πx-π2+1,g′(x)=xcosx+π,g″(x)=cosx-xsinx.

综上，a=-π符合题意.

评析：此题主要考查运用导数判断函数的单调性，零点存在定理等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解等能力.若对a进行分类，需要讨论①a≥0，②-π