一道2022年高中数学联赛最值试题的解法探究

山东省宁阳县复圣中学 (271400) 张志刚

一、题目呈现

本题在无显性等量条件下，探求三角函数的最值问题，重点考查数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养，具有较好的选拔功能.

二、题目解答

课程后的考试平均分高于课程前，分别为（18.8±1.7）分、（12.2±2.1）分，差异具有统计意义（t=-7.177 5，P＜0.001）（见表3）。所有学生均认为该课程强度合适（100%）、对临床实践有帮助（100%）。

时取等号，所以f的最小值是20.

三、变式与推广

1 置换变量

由于本题中变量x,y的地位相同，故交换二者的位置不影响结论的成立，即有.

2 置换三角函数

将解析式中的两个三角函数互换，则有：

3 常值推广

将解析式中两分式分子中的常数“9”和“1”一般化，便得如下一般性结论：

证明：

四、强化练习

2.(2021年清华大学强基计划测试第10题)已知函数

设f(x)的最大值为M，最小值为m，则( ).

参考答案：1.D2.BC3.π