如何求解复合函数零点的个数问题

徐影

复合函数是指由两个或两个以上的简单基本函 数构成的函数，如 y = g[ f （x）] .复合函数零点个数问题 的难度通常较大，对同学们的数学抽象、数学运算、逻 辑推理能力有较高的要求.这类问题主要考查简单基 本函数的单调性、图象，以及复合函数的单调性.

对于复合函数 y = g[ f （x）] ，一般将 f （x） 视为内层 函数，将 g（x） 视为外层函数.求解复合函数零点的个数 问题，首先要用换元法，将内层函数换元，如令 f （x）= t ；再画出外层函数 y = g（t） 的图象，借助图象来 研究方程 g（t）= 0 的根 t 的取值或范围；然后利用分类 讨论思想，讨论当 t 取不同值时，直线 y = t 与内层函 数 y = f （x） 图象的交点情况，就能求出复合函数零点的 个数.

例1

解：

一般地，若函数 y = f （x） 在定义域 I 上有 n 个零点 ? 方程 f （x）= 0 在 x ∈ I 上有 n 个解 ? 函数 y = f （x） 的 图象与 x 轴在 x ∈ I 上有 n 个交点.解答复合函数零点 问题，首先要依据题意确定复合函数的内、外层函数 分别是什么；然后利用换元法，令内层函数 f （x）= t ；再 解方程 g（t）= 0 ，得到 t 的值；接著在同一个直角坐标 系中画出函数 y = f （x） 与函数 y = t 的图象，研究两个 图象的交点情况，即可确定复合函数零点的个数.

例2

解：

先换元，并令 g（t）= 0 ，即可将问题转化为求一元 二次方程的解的个数问题；然后构造函数，将问题转 化为直线 y = t 与函数 y = f （x） 图象的交点个数问题； 再画出函数的图象，利用方程的判别式、求根公式、韦 达定理，确定根的取值和个数即可解题.

例3

解：

对于形如 y = f [ f （x）]+ h 的嵌套函数，需先构造函 数 y - f [ f （x）]、y = -h ；然后用 t 去替换内层函数 f （x） ， 将问题转化为求函数 y = f （t） 与直线 y = k 的交点的个 数，通过研究函数图象中交点的个数，从而确定 t 的取 值范围.

例4

解：

解答此题，需进行两次换元.先利用换元法“解 套”，即令内层函数 f （kx）+ 1 = t ，将问题转化为求 g（t）= f （t）+ 1 = 0 的解的个数问题；然后利用图象，研究 内层函数 y = f （kx）+ 1的图象与直线 y = t 交点的个数.

总之，求解复合函数零点个数问题时，需注意： （1）灵活运用换元法，通过换元来“解套”，从而降低问 题的难度；（2）灵活运用方程思想，将问题转化为方程 的解的个数问题；（3）灵活运用数形结合思想，通过研 究函数的图象，求得函数零点的个数；（4）进行合理的 分类讨论，做到不重不漏任何情况，确保得到正确的 答案.

（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）