构造函数法在高中数学解题中的应用

赵文庆 陆万顺

摘   要：基于2021-2022年8套高考数学全国卷，从考查知识、试题特点和命题导向三个方面对试卷中应用到构造函数法的试题进行统计分析.

基于高考在高中教学中的导向作用，提出在函数教学时应加强对函数概念本质的理解，注重构造思想的渗透.

关键词：构造函数法；数学解题；高考数学

中图分类号：G632         文献标识码：A         文章编号：1008-0333（2023）07-0041-04

1 问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）指出：“函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，是贯穿高中数学课程的主线.”然而，函数具有的高度抽象性和形式化等特点，增加了学生对函数本质理解的困难，使得学生难以把握变量之间的关系以及建立适当的函数模型来解决现实世界中的实际问题.

在中学数学中，构造法因其独特的思维方式而备受关注，是一种常用的解题方法.所谓构造法是指依据常规思维或解题方法解决某些问题存在困难时，能够从题设条件以及结论的性质和特征等新角度出发，把握题设条件和结论之间的内在联系，以头脑中已有的数学知识为支架，构造出满足题设条件或结论并且能够展现出原问题隐含关系的新的数学对象，并借助其他数学工具快速解决问题的方法.构造法伴随着数学的产生而产生，中国的《九章算术》和西方的《几何原本》中含有大量构造思想，在数学发展的起始阶段，存在着大量的直观经验，而这些经验都是需要加以总结和提高的，也就是在此时，构造方法体现出了极强的应用价值，所以无论东方还是西方，构造法都有着极其深远的影响.

2 试卷分析

主要采用文本分析的方法对2021-2022两年的高考数学全国卷（包括2021年全国理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷以及2022年全国理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷共8套试卷，下文称全国卷）进行定量统计和定性分析，明晰构造函数法在高考试卷中相关试题的分值及分值占比，呈现试题的特点以及命题导向，根据研究的实际呈现结果为构造函数法的教学提出合理可行的建议.

2.1 试卷总体分析

由表1和表2可知，与函数有关的试题在考查函数相关知识点的同时，更侧重于构造思想方法的渗透.从考查总分来看，全国卷对构造函数法的考查总分稳定在10-20之间，选填题和解答题都有涉及考查，以中等及以上难度的题目为主.

从考查知识来看：试题考查的知识覆盖必修和选修函数这一主题的各个章节，包括：函数的概念和性质（单调性、最值、奇偶性、周期性等）以及一元函数导数与单调性、极值、最值的关系等；此外，由于函数在高中数学解题中的工具性，在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的几何性质及最值问题、随机变量的分布列及期望、锥体与球的综合问题、等差数列的证明、不等式的范围等相关问题的解决过程中，也可能需要构造相应的函数作为解决问题的工具.

从试题类型来看：对选填题的统计表明，8套试卷中共考查了10道选填题，大多位于选填题的中间或压轴位置，着重考查函数的单调性、奇偶性等性质或是以构造出的函数作为工具解决圆锥曲线、锥体与球等相关问题，对于解答题的统计表明，8套试卷中共考查了8道解答题，一般出现在压轴题或次压轴题的位置，主要在导数相关知识的考查中体现构造法的思想解决方程根的问题、证明不等式、极值问题、函数零点问题、参数取值范围问题. 此外，在新高考试卷中出现了通过构造合适的函数来证明随机变量的期望、等差數列的证明.由此可以看出，高考试卷在选填题和解答题上都侧重对函数性质的考察，解答题还注重导数与函数的单调性、最值的关系.考查知识明确，考查题型稳定，考查难度偏难，偶有难度减小现象，试题对函数内容的考查逐渐深入，注重学科知识的融合性.

2.2 试题特点分析

2.2.1 重视基础知识的考查

全国卷作为使用范围最广的高考试卷，重点考查基础知识、基本经验、基本技能和基本方法.试题在教材的基础上推陈出新，对教材进行了激活，体现了命题源于教材又高于教材的特点.通过对基础知识的重新变式或拓展，赋予时代特色，体现全国卷的设计理念，例如2022年新高考Ⅰ卷22题第（2）问对等差数列的证明，体现了数列的本质是一种特殊的函数，侧重对学生基本知识的考查.

2.2.2 重视创新能力的考查

《深化新时代教育评价改革总体方案》提出：构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题的开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象. 例如2021年新高考Ⅱ卷第14题，根据函数性质构造符合题目要求的函数解析式，着重考查学生的思维灵活性，试题形式为开放性试题，有利于数学学科核心素养和关键能力的考查，发挥了高考数学试卷的选拔功能.

2.3 命题导向分析

以试题的统计数据为基础，联系试题特点，继续对命题导向进行分析探讨，具体如下.

2.3.1 考查知识综合化

结合表1和表2可以看出，对构造函数这一方法考查总分占比稳定.全国卷中对单一知识点进行考查的试题明显减少，重视知识综合.随着文理不分科的实行，试题考查有着综合化的趋势，重视函数与不等式、函数与方程、函数的性质与导数的关系等知识在试题中的融合考查；强调基础内容和主干知识，关注知识间的联系；素养考查上，侧重以题目中已知元素作为原件进行构造，侧重创新思维能力的培养以及逻辑思维能力的发散.

2.3.2 考查题型多样化

《中国高考评价体系》明确指出“四层”为高考的考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，“四翼”为高考的考查要求，即从基础性、综合性、应用性、创新性的角度对素质教育的目标进行评价. 试题的答案不再是唯一的，开放性试题和结构不良试题登上高考试卷舞台，要求学生具备灵活运用知识的能力.如2021年新高考Ⅱ卷14题，开放性试题为学生提供了更多展示空间、发散思维、综合解答问题和探究创新的可能.开放性试题是考查学生核心素养和数学能力的重要方式，也是综合性和创新性的集中体现.

3 构造函数法的应用评析

函数在高考试卷中占有重要地位，运用一些传统方法解决问题遇到困难时，可以转变解题思路，通过构造适当形式的函数模型达到解决问题的目标.

3.1 构造函数比较大小

例1   （2022年新高考Ⅰ卷7）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（      ）.A.a

C.c

比较大小问题经常用到幂函数、指数函数、对数函数等几类常见的基本初等函数，综合应用指数运算、幂运算、对数运算，通过构造相关函数，利用对应函数的图象和性质，形象直观地处理相关的比较大小问题，可以很好地考查函数与方程思想、抽象概括、推理论证、运算求解能力，以及数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.本题主要考查函数的单调性、比较大小等知识，破解此类问题的关键：一是细审题，如本题，题眼“a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9”，能发现它们的共性；二是巧构造，即会构造函数，并判断其单调性，注意活用导数法或初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.

3.2 构造函数证明不等式

例2   （2021年新高考Ⅰ卷22）已知函数f（x）=x（1-lnx）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1a+1b

用构造函数法证明不等式，如何构造函数以及构造什么形式的函数是一个难点，并且满足所构造的函数必须是单调函数.本题作为2021年新高考Ⅰ卷压轴大题，以对数函数为载体，综合考查利用导数研究函数的单调性及构造函数证明不等式.以函数作为工具解决不等式问题时，需要深刻地认识各类初等函数的具体特征，即一般的基本初等函数y=f（x）及其反函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值、图象变换等），第（2）问中的不等式证明，对学生的逻辑思维能力和运算求解能力和创新能力进行了深层次的考查，需要注意培养学生理性思维和数学探索等素养.

3.3 构造函数求值或参数范围

例3   （2021年全国甲卷21）已知a>0且a≠1，函数f（x）=xaax（x>0）.

（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；

（2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

本题作为压轴大题，主要考查导数在研究函数单调性以及方程根的问题中的应用，第（2）问中首先将曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点转化为方程lnxx=lnaa有两个不同的解，然后构造函数g（x）=lnxx，通过求导得到g（x）的单调性，进而有g（x）max=1e.又g（1）=0，从而得到0

3.4 根据题设条件构造具体函数

例4   （2021年新高考Ⅱ卷14）写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx=.

（1）f（x1x2）=f（x1）f（x2）；

（2）当x∈0，+∞时，f ′（x）>0；

（3）f ′（x）是奇函数.

本题要求学生从已有条件出发，列举出一个满足条件的函数.看似是一个“举例问题”，但其本质上仍是一个构造问题，构造出一个函数f（x）符合题目中的要求、性质等信息.由于答案开放，所以在逻辑思维的灵活性方面起到了很好地考查作用，同时也为不同层次、不同水平的学生提供充分发挥自己数学能力的空间.

通过以上对构造函数法例题的分析可以看到，构造法确实是一种解决函数问题的好途径，当使用常规思维方法无法解决问题时，合理构造函数模型，利用函数的图象，通过数形结合，以形辅数，直观简单明了地解决问题，启迪学生数学思维，开拓学生解题思路，同时也提高了学生分析问题、解决问题的能力，起到事半功倍、出奇制胜的效果.

4 研究启示

4.1 加强对函数概念本质的理解

学生学习数学概念的过程，就是学生掌握数学本质的过程.张奠宙先生认为数学本质是“数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的体验.”从概念上看，函数是一类特殊的映射，其本质是两个非空实数集之间的对应关系，那么学生除了要理解“对应”的思想，还要准确地认识集合、定义域、值域等， “函数思想”就是以此为基础建立的，通过解决相关的问题，学生在原有的认知基础上，提出质疑，认真反思，逐步加强对函数概念的理解，学生清晰地认识了对应思想后，才能更好地理解函数的本质特征，在解题过程中把握函数思想，提高学生的数学学科核心素养.

4.2 注重构造思想的渗透

构造法的应用很多，针对不同的数学问题可以采用不同的构造方法，但并不是所有的问题都能够通过构造适当的数学模型得以有效解决.在平常的数学教学活动中，教师应注意循序渐进地对学生进行构造思想的渗透，在潜移默化中增加对学生构造思想的体验.运用构造法解决问题有助于学生构建数学知识结构，在建构过程中，通过对已有的数学知识经验进行整合重组，构造一个新的数学对象，形成新的数学认知结构.运用构造思想解决问题是一个综合了抽象思维、形象思维、逻辑思维等多种思维成分的复杂思维过程，这一过程同时也是培养创造性思维的过程.

参考文献：

［1］ 苏洪雨，章建跃，郭慧清.数学学科核心素养视野下的高中函数概念教学“再创造”［J］.数学通报，2020，59（08）：25-31+35.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 陈旗.构造法在高中数学中的应用探究［D］.西安：西北大学，2016.

［责任编辑：李   璟］

收稿日期：2022-12-05

作者简介：趙文庆（1998-），女，内蒙古赤峰人，从事数学教学研究；

陆万顺（1981-），男，宁夏彭阳人，硕士，副教授，从事数学教学研究.

基金项目：宁夏自然科学基金项目（项目编号：2022AAC03329）;宁夏高等学校科学研究项目（项目编号：NXG2022098）