切换拓扑下多自主水下航行器编队一致性控制

张勋, 周立广, 邢文, 姚思博

(哈尔滨工程大学 智能科学与工程学院,黑龙江 哈尔滨 150001)

自主水下航行器(autonomous underwater vehicle,AUV)利用其搭载的各种传感器模块和其他任务模块,在水下资源勘测、水下扫雷、情报搜集等军事和民用领域起着重要的作用。随着执行海洋任务的难度增加,执行任务的环境变得更加复杂,水下航行器体现出了执行任务效率低、工作范围小、系统冗余性差等不可避免的局限性[1]。多水下航行器协同执行任务可以增加系统的冗余性和鲁棒性,降低完成任务的成本,提高工作效率。许多科研人员提出了适用于不同模型的先进编队控制方法,其中更多的是将动力学模型抽象为一阶积分器,实际中,动力学模型抽象为二阶积分器更加真实。CUI等[2]提出了一种基于李雅普诺夫反步法的多自主水下航行器编队协同运动控制方法。Qi等[3]针对在三维空间运动的欠驱动水下航行器,提出了一种分布式编队跟踪控制器。Rout等[4]建立了多艘由于通信故障而导致编队不完善的自主水下航行器的一直控制问题。Chen等[5]设计了一种基于反馈线性化的姿态控制器,使每个水下机器人的姿态收敛到其期望值。Yang等[6]利用一致性理论和速度通拓扑控制多水下航行器编队保持,实现速度和航向一致性。基于有向通信拓扑结构,Xia等[7]考虑了二阶积分器动力学模型的一致性算法,证明了与速度控制增益大于某个界限时,具有向生成树的编队一致性是渐进达成的。任伟等[8]提出了一个二阶积分编队控制协议,为多智能体编队的固定拓扑和变换拓扑的情况提供了充分条件。文献[9]提出了一种采样周期性间歇采样一致性控制协议,将多智能体间的误差控制在一定范围内,降低了控制器的采样时间。文献[10]研究了高阶线性时变编队控制,提出一种通用的编队控制协议,数值仿真表明切换拓扑的群系统可以实现一致。文献[11]研究了一般线性模型的多智能体系统的一致性控制协议以及事件触发一致性,通过在离散的采样时间,实现了多智能体编队的一致性。文献[12]研究了强连通图结构下,二阶多智能体系统的分组一致性。文献[13]在已知拓扑集合下,设计了一阶编队控制协议,解决了已知拓扑集合下的一阶多智能体编队控制问题。文献[14]的有向拓扑图条件为强连通且平衡条件,显然结果不具有一般性。也有学者从通信延迟进行入手,研究水下航行器的控制问题。文献[15]讨论了多AUV系统在时变通信时延弱通信情况影响下的协调控制问题,确定了时变通信时延及其导数的范围,得到多AUV系统存在时变通信时延能够实现协调控制目标需要满足的充分条件。文献[16]讨论了具有通信时延和不确定性的多AUV协调控制问题,文章中考虑了由于水声通信引起的通信时延的问题,通过选取适当的 Lyapunov 候选函数,求得候选函数小于零的条件,应用 LMI 形式获得了使得多AUV系统实现协调控制所满足的充分条件。文献[17]设计不同的控制协议,应用研究通信时延的基本方法,即 Lyapunov 理论和 LMI 方法,对多AUV协调控制进行了分析与研究。

本文在有向切换拓扑和变换编队队形情况下,主要研究通过基于水下航行器反馈线性化为二阶积分器模型设计一致性控制算法对多AUV编队队形进行控制,本文通过在传统一致性控制算法中加入水下航行器之间的相对位置信息,并添加速度阻尼器,形成编队队形控制律,并对多AUV系统进行稳定性的分析。

1 自主水下航行器模型和反馈线性化

本文利用有向图来描述多AUV系统之间的通信拓扑关系。假设编队内有n个成员,定义有向图G=(V,ε,A),表示该编队的通信拓扑图,其中,V={v1,v2,…,vn}表示被定义为AUV单体的顶点,ε⊆V×V,表示顶点之间边的集合,A=(aij),∀i,j∈Γ,Γ=[1 2 …n]为邻接矩阵,满足如果存在边(vi,vj)即成员vj可以收到成员vi的信息,那么,aij=1,否则aij=0。定义入度矩阵D=diag(deg(v1),deg(v2),…,deg(vn)),如果矩阵L满足L=D-A,那么称矩阵L为有向图G=(V,ε,A)的Laplacian矩阵。AUV固定坐标系及运动坐标系如图1所示。

1)S是正定的;

2)当且仅当C和A-BC-1BT都是正定的或者A和C-BTA-1B均是正定的。

由于横摇对平动的影响不大,本文忽略横摇速度。从而得到了运动学和动力学的非线性耦合方程分别为:

(1)

(2)

式中:η=[x0y0z0θφ]T∈R5表示位置状态和欧拉角状态;J(η)为AUV从载体坐标系到地球坐标系下的雅可比矩阵;υ=[u0,v0,w0,q,r]T∈R5表示速度的状态;C(υ) 为科里奥利和向心力矩阵;D(υ)代表非线性阻尼矩阵。

式(2)中:M=MR+MA包括了刚体惯性矩阵和附加惯性矩阵,并且M为非奇异矩阵;τ表示控制输入力和力矩。

文献[19]中的反馈线性化方法,可以将AUV的动力学模型线性化为二阶积分器模型。AUV标准二阶积分形式的反馈线性化动态模型:

(3)

式中:xi∈R5;vi∈R5;ui∈R5。

2 控制器设计

考虑n个经反馈线性化后具有双积分动态的AUV组成的系统,每个AUV可以表示为:

(4)

式中:xi(t)∈R5;vi(t)∈R5,分别表示第i个航行器的位置和速度;ui(t)∈R5是控制输入,i=1,2,…,n。

设计一种分布式多航行器系统,只需知道局部航行器之间的相对位置和速度信息,就可以实现全局的协调一致。控制器设计为:

(5)

式中:τ是航行器个体之间的通信延迟;vd(t)是参考速度,hi∈R5和hj∈R5表示航行器i和j的期望相对位置;k0,k1,k2是控制增益;aij表示位置耦合项的邻接矩阵;bij表示速度耦合项的邻接矩阵。

控制律由速度阻尼项,航行器位置耦合项和速度耦合项组成,当vd(t)=0时,水下航行器形成静态编队;当vd(t)≠0时,整个编队以速度vd(t)前进。为了实现稳定的编队,水下航行器达到相同的速度,为了使其保持一定的队形,要求与相邻的水下航行器保持预先设定的位置。

综上所述,第i个航行器的闭环控制形式可表示为:

(6)

式中表示的水下航行器能否形成期望队形,收敛至期望速度,不仅与多AUV之间通信拓扑相关,还取决于反馈增益系数和时延大小。

对于多AUV系统的任意初始状态,给定协议(6)在一个有限时间的区间内t0∈[0,+∞),使得[20]:

(7)

当t>t0时,有xj(t)-hj=xi(t)-hi,vj(t)=vi(t),i,j=1,2,…,n,则称多AUV系统可以在有限时间里达成一致。

3 控制算法稳定性分析

3.1 模型简化

对于一个时延系统,进行稳定性分析,需要采用泛函微分方程,本文通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函沿着其求导,通过适当的数学处理方法,得出使含时延系统实现一致性的充分条件。

证明:

(8)

(9)

(10)

式(10)经过线性变换表示为:

(11)

令

(12)

(13)

将式(13)简写为:

(14)

3.2 稳定性分析

定义Lyapunov-Krasovskii泛函为:

(15)

对V(t)沿着系统求导得:

εT(t)Qε(t)-εT(t-τ)Qε(t-τ)+

(16)

将系统方程代入式(16)得:

(17)

（5）我当初嫁武大时，曾不听得说有什么阿叔，那里走得来！“是亲不是亲，便要做乔家公。”自是老娘晦气了，鸟撞着许多事！（明·施耐庵《水浒传》第24回）

±2xTy≤xTΣ-1x+yTΣy

(18)

所以:

2εT(t)PFε(t)+εT(t)PFR-1FTPε(t)+

(19)

式(19)可以写成:

τεT(t)PFR-1FTPε(t)+εT(t)Qε(t)-

εT(t-τ)Qε(t-τ)+τεT(t)ETRFε(t-τ)+

τεT(t)ETREε(t)+τεT(t-τ)FTREε(t)+

τεT(t-τ)FTRFε(t-τ)

(20)

令

Λ=(E+F)TP+P(E+F)+

τETRE+Q+τPFR-1FTP

(21)

(22)

令Λ1=(E+F)TP+P(E+F)+τETRE+Q,并由引理1可得:

(23)

4 控制算法仿真结果

本文给出了数值仿真例子来验证编队队形控制算法的有效性,考虑4个AUV组成得多AUV系统,其有向通信拓扑结构如图2所示。

图2 多AUV系统通信拓扑Fig.2 Multi-AUV system communication topology

多AUV编队所示通信拓扑结构的邻接矩阵A为:

对水下航行器编队过程进行仿真分析,一致性控制算法中参数设置为k0=0.4,k1=0.1,k2=0.2,水下航行器的期望速度设为vd=0.5 m/s,常数时延τ=0.5 s,编队队形矩阵h设置为:

将一致性控制算法中位置和速度的通信拓扑在图2中4个通信拓扑状态下进行随机变化,位置和速度的通信拓扑变化时序图如图3所示,多AUV系统编队队形变化如图4所示,多AUV系统的纵倾角和艏向角变化如图5、6所示,多AUV系统的图7所示,纵倾角和艏向角速度如图8所示。随机布放4个水下航行器,多AUV编队在不同位置开始形成编队,并在300 s左右时形成稳定编队队形,保持编队一段时间后,在1 000 s时进行编队队形变换。通过仿真验证了多AUV编队在切换拓扑的情况下可以快速形成稳定的编队,并在编队队形变化时,能够快速改变编队队形,并保持稳定队形,证明了控制算法的稳定性和鲁棒性。

图3 位置和速度切换拓扑时序图Fig.3 Position and speed switching topology timing diagram

图4 多AUV编队队形变换Fig.4 Multi-AUV formation change diagram

图5 切换拓扑下多AUV的纵倾角Fig.5 The inclination angle of multiple AUVs in switching topology

图6 切换拓扑下多AUV的艏向角Fig.6 The heading angle of multiple AUVs in switching topology

图7 切换拓扑下多AUV的速度Fig.7 The velocity of multiple AUVs in switching topology

在图7仿真结果中可以明显看出,AUV1、AUV2、AUV3、AUV4组成的多水下航行器系统,在切换拓扑条件下和编队进行变换时,水下航行器的北向速度,东向速度和纵向速度在动态变化的情况下可以快速达成一致,并保持和变化编队队形。

在图8的仿真结果中可以明显看出,AUV1、AUV2、AUV3、AUV4组成的水下航行器系统,在通信拓扑动态变化的情况下,多AUV系统形成稳定编队后,纵倾角速度和艏向角速度保持稳定,在编队队形变化时仍然可以保持稳定。

图8 切换拓扑下多AUV的角速度Fig.8 The velocity of multiple AUVs in switching topology

5 结论

1)提出的带有速度阻尼器的一致性编队队形控制算法,可在有向切换拓扑条件下实现编队一致性控制。

2)利用Lyapunov-Krasovskii泛函,以及积分不等式和矩阵不等式数学方法证明,得出的使多AUV编队系统可以实现一致的充分条件。

3)通过计算机仿真在有向通信拓扑发生变化和编队队形发生变化环境下,本文控制方法具有有效性和稳定性。

基于本文的研究内容,将考虑研究具有时变时延下以及存在外界干扰下多AUV系统的控制问题。