借题发挥 以点带面——“两线合一得等腰”教学实录与评析

广东省广州市真光中学(510380) 苏国东

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,这个结论简称为“三线合一”,是等腰三角形的重要性质;反之,三角形一边上的中线、高和其对角的平分线中,任意两条相互重合,则可得出此为等腰三角形.学生往往记住了“三线合一”的字面含义,但对其与其逆命题容易产生混淆,或对其逆命题产生理所当然的想法,缺乏严谨的思辨过程.在一次“全等三角形”中考复习课上,学生就遇到了此问题,教师顺理成章地引导学生开展了探索证明,取得了意想不到的效果.

1 教学实录

1.1 问题缘起

问题1如图1, 在ΔABC中,∠BAD= ∠CAD,AD ⊥ BC, 求证:AB=AC.

图1

此题按教学预设是作为本课复习全等三角形判定方法的一道基础题.但当笔者呈现题目,让学生动笔作答时,大部分学生却不约而同地说到:“用三线合一就可以证明”.

有个别学生指出:“这节课是复习全等三角形,所以要用全等三角形的判定来证明.”

教师先是感到诧异,但细想,在八年级上学期学习等腰三角形时,确实有学生对此产生过混淆,没想到在中考复习阶段,大部分学生都仍未辨别清楚,此处有必要补上缺漏.

师: 能详细说说这题怎样用三线合一吗?

生1: 因为AD是ΔABC的角平分线和高,根据三线合一可得ΔABC是等腰三角形,所以AB=AC.

师;但这里只有两线呀?

生1: 两线合一就必然三合一,任意两线合一都可以证出等腰.

师: 按这么说,三线合一是等腰三角形的判定?

生1: 也可以由等腰三角形推出三线合一.

师: 你还记得在八年级学习这个内容时,是怎样表述的吗?

生1: 不太记得.

另一位学生举手回答.

生2: 我刚翻阅了八年级上册教材,三线合一指的是已知等腰三角形,则有顶角平分线、底边上的中线和高相互重合,是等腰三角形的性质,而非判定,教材上给出的等腰三角形的判定应该是“等角对等边”.

生1: 噢! 我想起来了.

师: 三线合一这个性质非常实用,在字面上也易于记忆,但却容易与其逆命题混淆.

生3: 我记得当时学习三线合一时, 是通过证明左右两个三角形全等而得到的.问题1 虽然逆过来了, 不是三线合一, 但由已知条件和公共边AD, 可用ASA证明ΔABD∽= ΔACD,从而得到AB=AC.

师: 正确.我们在下一节课正准备要复习等腰三角形,为了让大家对三线合一这个问题有更全面的理解,这节课我们就紧接着问题1 进行一系列的探究.

1.2 分类探索

师: 三线合一逆过来,即“如果三角形一边上的高、中线及其对角的平分线相互重合, 那么这个三角形是等腰三角形”.按照刚刚生1 的说法,只需两线合一即可得等腰三角形,我们一起来探究其是否正确.两线合一有哪几种情况? 又该如何证明呢?

生4: 第一种即问题1 的“角平分线和高合一”,生3 通过全等已证明正确.第二种是“中线和高合一”,第三种是“角平分线和中线合一”,应该同样用全等就可以证明吧.

师: 我们先看看第二种情况.

问题2如图1,在ΔABC中,AD⊥BC,BD=DC,求证:AB=AC.

生4: 根据已知条件和公共边AD, 用SAS即可证明ΔABD∽= ΔACD,所以AB=AC.

生5: 不需要全等,因为AD⊥BC,BD=DC,所以AD是BC的垂直平分线,故AB=AC.

师: 非常好,第一位同学能类比第一种情况来证明,第二位同学想到利用垂直平分线的性质,更为简洁.再看第三种情况.

问题3如图1,在ΔABC中,∠BAD=∠CAD,BD=DC,求证:AB=AC.

生6: 同样根据已知条件和公共边AD,满足两边一角相等,所以ΔABD∽= ΔACD,AB=AC.

生7: 不对,三个条件的排列是SSA,证不出全等.

师: 有时类比思想很重要,但要具体情况具体分析,此处不能证出全等.那这种两线合一的情况是否仍成立呢?

1.3 一题多证

生8: 老师,现有的图形和条件不能直接证出,应该要构造辅助线.

师: 说说你的想法?

生8: 根据中线这一条件,可以尝试用倍长中线的方法.如图2,延长AD至点E,使得DE=AD.因为BD=DC,易证ΔABD∽= ΔECD, 所以∠BAD= ∠CED,AB=CE.因为∠BAD=∠CAD,所以∠CED=∠CAD,AC=CE=AB.

图2

生9: 辅助线也可以通过旋转的方式构造.因为BD=DC, 可将ΔABD绕点D逆时针旋转180°得到ΔECD.

师: 非常好, 联想到中线常用的辅助线.还有其他方法吗?

生10: 由中线联想到中点, 由中点可以联想到构造中位线.如图3, 延长BA至点E, 使得AE=BA, 连接EC.因为BD=DC, 所以AD为ΔEBC的中位线,AD//EC,所以∠BAD= ∠AEC,∠CAD= ∠ACE.因为∠BAD= ∠CAD,所以∠AEC= ∠ACE,AE=AC.因为AB=AE,所以AB=AC.

图3

师: 很好,同样利用了“倍长”的思想.

生11: 还有不同的构造中位线的方法.如图4,记AC的中点为点E,连接DE.因为BD=DC,所以DE为ΔABC的中位线,DE//AB,,∠BAD= ∠ADE.因为∠BAD=∠CAD,所以∠ADE=∠CAD,AE=DE.所以,AB=AC.

图4

生12: 也可以根据AE=DE=EC,得出ΔABC是直角三角形,所以AD是BC的垂直平分线,故AB=AC.

生13: 还可以根据DE=EC得到∠EDC=∠C,因为DE//AB,∠EDC=∠B,所以∠B=∠C,AB=AC.

师: 太棒了! 能调用不同的知识方法解决问题.

生14: 我还发现了,这是“平行+角平分线=等腰”的题型!

师: 是的,“两平出等腰”正是证明两线合一的方法之一!图4 是其在内部的情形,图3 是其在外部的情形.

生15: 老师,上面的方法都是从中点的角度考虑的,我想到了从角平分线的角度入手.

师: 很好,说说你的想法?

生15: 联想到构造角平分线常用的辅助线, 如图5,作DE⊥AB于点E, 作DF⊥AC于点F.因为∠BAD=∠CAD,所以DE=DF.因为BD=DC,根据HL可证明RtΔBDE∽= RtΔCDF.所以∠B=∠C,AB=AC.

图5

生16: 此处不证明全等也行.我联想到中线可以平分三角形的面积,即SΔABD=SΔACD.因为DE,DF分别为两三角形的高,DE=DF,所以AB=AC.

师: 非常好! 用到了等面积法.还有吗?

生17: 我还想到构造辅助圆解题, 这样图形中的边和角就转化为圆中的弦和圆周角了.如图6, 作ΔABC的外接圆, 延长AD交外接圆于点E.因为∠BAD= ∠CAD,所以=BE=CE.因为BD=DC, 根据SSS得ΔBDE∽= ΔCDE,∠BEA= ∠CEA所以=,AB=AC.

图6

生18: 后面可以不用证明全等,在得到BE=CE后,因为BD=DC,所以DE是BC的垂直平分线,故AB=AC.

师: 非常精彩! 结合了圆的性质来解题,这样看问题又有了新的高度.至此,我们通过严格的证明得知“等腰三角形三线合一”的结论反过来依然成立,即“两线合一得等腰”.

2 教学评析

2.1 借题发挥,培养学生的发散思维

三线合一虽是八年级上学期的学习内容,但学生初学新知时多少会积存疑惑与漏洞,在后续的学习中逐渐暴露.本课作为中考复习课,精准捕捉学生学习薄弱点,聚焦学生认知冲突的细微问题,通过小专题的教学形式,以小见大,查漏补缺,完善学生的知识架构.学生在初中三年学到的各种新知识和新方法,又为旧知的解决提供了新观点和新方向.本节课学生在不能直接证明全等的情况下,围绕已知条件探寻不同的解题路径,得到了构造辅助线、辅助圆等多种解题方法,促使思维不断地向纵横发散.

2.2 以点带面,深化整合知识与技能

中考复习需要重视知识与技能的关联性和整体性.本节课通过精选萃取,“以题带点”引出相关知识专题,“以点带面”引发学生全面复习.以学生熟悉的三线合一问题贯通相关的知识点,在师生的互动交流中,有效梳理了中线、平行线、中位线、角平分线、圆等有关性质,熟练了倍长中线、等面积法、“两平出等腰”等解题方法, 渗透了分类讨论、类比联想、转化与化归、建模等数学思想,实现了初中模块知识与技能的深化整合.

2.3 思维碰撞,提升问题解决的创造性

数学课堂应丰富教学互动形式,及时评价鼓励,关注师生之间思维情感的交流与碰撞,促进学生创造性地解决问题.本节课教师适时创设问题情境,引导学生质疑探索,打破思维定势,找到思考的切入口,发现和提出问题;通过设问启发,师生对话,鼓励学生别出心裁地思考问题,独辟蹊径地解决问题,揭示知识背后的数学本质;学生多人次参与互动,提炼观点,互助完善,思维品质在解决问题的过程中得到了创新和发展.