探索多边形内角和公式

文|蒉莹莹

在教学完四边形内角和后，如何让学生更好地体验多边形内角和公式的产生过程？可以采用以下教学环节。

一、自主探索，解锁五边形内角和

出示五边形，请学生先猜测再尝试用最快的方法（分割法）探索五边形的内角和。

展示学生所用的具有代表性的分割法，把思考过程说清楚并用算式表达。

方法1：360°+180°=540°；方法2：180°×3=540°；方法3：180°×5-360°=540°。

二、对比联系，优化分割多边形的方法

（对比这三种分法，汇报交流）

发现：方法1 借助了刚研究出来的四边形内角和是360°这一结论，但实际在探究四边形内角和过程中也是借助分割为2 个三角形进行探索，所以将五边形分割为若干个三角形去探究更合适。方法3 分出来的三角形个数正好等于边数，但是在计算时还要减去多余的一个周角度数，容易出现漏减等现象。方法3 的交点O 可以拉伸到五边形内任何位置（动态展示），如果与五边形的某一个顶点重合时，分出的三角形个数少了2 个，也变成了（5-2）个，此时与方法2 完全一致。综合以上可以看出，方法2探索五边形内角和是最合理、最简便的。

总结：从五边形的同一个顶点出发，连接其他几个顶点，这样有序地分出3 个三角形，没有多余的内角，计算出五边形的内角和是540°。

三、类比迁移，提炼多边形内角和公式

让学生大胆猜测：六边形内角和是多少？怎么想的？其他多边形的内角和又是多少呢？独立完成下表，汇报交流。

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这里的4、5 等数表示什么意思？是怎么来的？如果是十六边形、八十边形的内角和呢？你发现了什么？

发现：每个多边形都可以分成（边数－2）个三角形，多边形的内角和＝180°×（边数－2）。

提问：为什么这样分出的三角形个数都比边数少2？

发现：在多边形内找一点与各点相连，能分出的三角形个数与边数相同，但是当这一点与其中一个顶点重合时，连接与该顶点相邻的两个顶点所成的边正好与原来的两边重合，相应的三角形的个数会减少2 个。

总结：从多边形的同一个顶点出发，连接其他几个顶点，就把多边形分成（边数-2）个三角形。因此，多边形的内角和=180°×（边数-2）。