概率犹豫模糊集的再定义及其在群决策中的应用

朱国成

( 广东创新科技职业学院 人文教育学院, 广东 东莞 523960 )

0 引言

由于概率犹豫模糊集(probabilistic hesitant fuzzy sets,PHFS)[1]能够更加细致地刻画决策者的心理偏好,因此近年来受到许多国内外学者的关注.例如:文献[2]和[3]的作者分别给出了PHFS中的元素(概率犹豫模糊元,probabilistic hesitant fuzzy elements,PHFE)运算法则和相似性测度,并对PHFS的相关理论进行了初步研究;文献[4]的作者研究了一种概率犹豫模糊偏好问题,并以MAGDM问题为例做了验证分析;文献[5]的作者针对概率犹豫模糊集多属性群决策(PHFS MAGDM)问题中的属性重要性程度具有不确定的情形,提出了一种基于累积前景理论的决策算法;文献[6]的作者给出了一种确定专家权重和计算属性权重(利用概率犹豫模糊熵)的决策方法;文献[7]的作者基于加权的Maclaurin几何对称平均算子的集结属性信息构建了一种新的MAGDM算法.但目前为止,在PHFS MAGDM问题的研究中仍存在以下3个问题:①在研究PHFE的测度问题时,通常做法是将隶属度及其对应的概率(2个不同维度的信息数据)直接相乘[8],由此易使方案的综合决策信息失真;②随着PHFE中的元素(概率犹豫模糊数,probabilistic hesitant fuzzy numbers,PHFN)数量的增加,概率信息数据的运算结果会快速趋向于0;③在计算PHFE的综合值时,由于所有决策者的权重被默认为是相同的,所以容易造成决策结果与事实不符.对此,本文从维度的角度出发建立了一个能够比较各个方案综合属性值大小的决策模型,并通过具体案例验证了该决策模型的可行性.

1 预备知识

1.1 二维视域下PHFS的再定义及其相关理论

1)若s(h1(px))

2)若s(h1(px))>s(h2(px)), ⟹h1(px)≻h2(px);

3)若s(h1(px))=s(h2(px)),则有:①D(h1(px))>D(h2(px)), ⟹h1(px)h2(px);②D(h1(px))

为了能够以二维变量的形式给出PHFN的隶属度γl和与之相对应的概率pl,本文在此按点坐标的形式对其进行描述.另外,本文中考虑的概率信息是全概率信息,即PHFE的概率之和为1.

定义4定义集合H中的元素PHFEh(p)的二维几何距离e=e(h(p)),其计算方法为:

(1)

由式(1)易知,PHFE的二维几何距离e=e(h(p))是关于隶属度γl和概率pl单调递增的,且PHFN的最终结果可根据min{γl,pl}中的值进行度量.e=e(h(p))的单调性说明,PHFEh(p)值随着PHFN(γl,pl)值的增大而增大.这与定义2中PHFE的得分函数类似,因此可以用式(1)近似表示PHFE的综合值.

性质1PHFEh(p)的二维几何距离e(h(p))的取值范围为e(h(p))∈[0,1].

定义5根据定义3,将PHFEh(p)内部元素的二维离差程度系数(d=d(h(p)))定义为:

(2)

由定义2可知,影响PHFEh(p)值的因素为隶属度γl和与其对应的概率pl.由此进一步可知:利用定义2的规则比较2个PHFE的大小时,由PHFE的综合值(得分函数)即可确定其大小;当2个PHFE的综合值相等时,可通过其内部元素的离差程度(方差)决定其大小．当PHFN以二维坐标的形式给出时,则定义2中的比较规则不再适用,需采用新的方法进行测度比较;为此,依据定义2—5给出定义6.

定义6定义e(h1(p))和e(h2(p))分别为PHFEh1(p)、h2(p)的二维几何距离,d(h1(p))和d(h2(p))分别为PHFEh1(p)、h2(p)的二维离差程度系数,定义判断2个PHFEh1(p)、h2(p)大小的准则为:

1)若e(h1(p))>e(h2(p)), ⟹h1(p)≻h2(p);

2)若e(h1(p))

3)若e(h1(p))=e(h2(p)),则有:①d(h1(p))>d(h2(p)), ⟹h1(p)h2(p);②d(h1(p))

定义7在定义3的基础上,将计算PHFEh(p)加权综合值的方法定义为:

(3)

其中ω为PHFEh(p)对应的权重.

根据定义8,再结合定义4、定义5和定义7有如下扩展定义:

定义9在MAGDM问题中,定义PHFEhij(pij)的二维几何距离模型为:

(4)

式中:k=1,2,…,#hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

定义10在MAGDM问题中,定义PHFEhij(pij)的二维离差程度系数模型为:

(5)

式中:k,k′=1,2,…,#hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

定义11在MAGDM问题中,定义PHFEhij(pij)的加权综合值为:

(6)

1.2 三维点坐标刻画下的PHFS

本文在定义3的基础上考虑PHFS中的评审专家权重,并将隶属度、概率、评审专家权重用三维点坐标的形式表示.

在MAGDM问题中,三维坐标条件下的PHFE的三维几何距离模型、三维离差程度系数模型可类似于定义9—11进行定义.

定义13在MAGDM问题中,设:决策专家集为Z= {z1,z2,…,zλ,…,zT},其权重用ωzλ表示(已知);方案集为A= {a1,a2,…,ai,…,aM};属性集为G= {g1,g2,…,gj,…,gN},其属性权重用ωgj表示且未知;评审专家组给予第i个方案的第j个属性的评价数据信息用PHFEHij(pij)表示(如果在某个属性上的数据信息只有隶属度和认可该隶属度的专家人数,则采用文献[1]中的方法将属性信息转化为PHFE数据信息).这里定义PHFE为:

Hij(pij)=

根据定义13,再结合定义9、定义10、定义11有以下扩展定义:

定义14在MAGDM问题中,定义PHFEHij(pij)的三维几何距离为:

E(Hij(pij))=

(7)

式中:k=1,2,…,#Hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

定义15在MAGDM问题中,定义PHFEHij(pij)的三维离差程度系数为:

(8)

式中:k,k′=1,2,…,#Hij(pij);i=1,2,…,M;j=1,2,…,N.

根据定义6和定义12—15,本文给出如下比较2个用三维坐标刻画的PHFE大小的方法.

定义16设E(h1(p))和E(h2(p))分别为PHFEh1(p)、h2(p)的三维几何距离,D(h1(p))和D(h2(p))分别为PHFEh1(p)、h2(p)的三维离差程度系数．定义判断2个PHFEh1(p)、h2(p)大小的准则为:

1)若E(h1(p))>E(h2(p)), ⟹h1(p)≻h2(p);

2)若E(h1(p))

3)若E(h1(p))=E(h2(p)),则有:①D(h1(p))>D(h2(p)), ⟹h1(p)h2(p);②D(h1(p))

以下利用实例验证定义6和定义16可用于比较2个PHFEh1(p)、h2(p)的大小.

例1比较PHFEh1(p)={(0.6|0.5),(0.4|0.5)},h2(p)={(0.6|0.6),(0.5|0.4)}的大小.

解根据文献[4]中的比较规则可得PHFEh1(p)、h2(p)的得分函数值分别为s(h1(p))= 0.5和s(h2(p))= 0.56,因此可得h1(p)h2(p).若将PHFEh1(p)、h2(p)以二维坐标形式给出,并按照定义4进行测度可得PHFEh1(p)、h2(p)的二维几何距离为e(h1(p))= 0.4549和e(h2(p))= 0.5402,由此根据定义6得h1(p)h2(p).若在PHFEh1(p)、h2(p)中添加评审专家的平均权重,并按照本文定义的三维点坐标形式表达PHFN(取h1(p)={(0.6,0.5,0.5),(0.4,0.5,0.5)},h2(p)={(0.6,0.6,0.5),(0.5,0.4,0.5)},则根据定义14可得E(h1(p))= 0.4533,E(h2(p))= 0.4699,由此再根据定义16可得h1(p)h2(p).若在PHFEh1(p)、h2(p)中不添加评审专家的平均权重,并按照本文定义的三维坐标形式表达PHFN(取h1(p)={(0.6,0.5,0.6),(0.4,0.5,0.4)},h2(p)={(0.6,0.6,0.3),(0.5,0.4,0.7)}),则根据定义14可得E(h1(p))= 0.4566,E(h2(p))= 0.3625,由此再根据定义16可得h1(p)≻h2(p).

由例1可知,利用定义6对2个PHFE的大小进行判别是可行的.若对评审专家没有偏好,则利用定义6与定义16对2个PHFE的大小进行排序的结果与文献[4]的排序结果是一致的;若对评审专家有偏好,则根据定义16得出的排序结果与文献[4]的排序结果相反.上述结果说明,评审专家的偏好对方案的排序结果具有很大的影响,不可忽略.

定义17在MAGDM问题中,定义PHFEHij(pij)的加权综合值为:

(9)

定义18令ai(i=1,2,…,n)为一组非负实数,且有r=1,2,…,n.若

(10)

由式(10)可知,Maclaurin对称平均算子有以下性质:

1)对于任意的i,若ai=a≥0,则MSM(r)(a1,a2,…,an)=a;

2)对于任意的i,若0≤ai≤bi,则MSM(r)(a1,a2,…,an)≤MSM(r)(b1,b2,…,bn);

3)对于任意的ai≥0,有min(a1,a2,…,an)≤MSM(r)(a1,a2,…,an)≤max(a1,a2,…,an).

2 主要方法与结果

2.1 二维坐标定义下的PHFS决策算法(算法1)

2.1.1属性权重的计算方法

本文根据定义8,利用PHFE的二维几何距离和熵值法计算属性权重.具体计算方法和过程为:

2.1.2决策算法

本文在定义8的基础上设置决策算法,其具体步骤为:

步骤6 依据f(ai)值按从大到小的顺序对方案进行排序,f(ai)越大方案ai越优.

2.2 三维点坐标定义下的PHFS决策算法(算法2)

2.2.1属性权重的计算方法

本文利用PHFE的三维几何距离和熵值法计算属性权重,具体计算方法和过程为:

2.2.2决策算法

本文在定义13的基础上设置决策算法,其具体步骤为:

步骤3 计算PHFEHij(pij)的三维几何距离E(Hij(pij))与三维离差程度系数D(Hij(pij));

步骤6 依据F(ai)值按从大到小的顺序对方案进行排序,F(ai)越大方案ai越优.

3 数值算例

例2以某父母在某平台择婿案例为例对本文算法进行验证分析.根据女方家庭对男方的要求,平台给该家庭提供了3名符合要求的男方资料.女方家庭从8个属性指标(财产、工作、家庭出身、健康、学历、才能、相貌、兴趣等)考察男方,用符号gj(j= 1,2,…,8)表示.女方家庭有4名成员,依次为女儿、母亲、父亲及弟弟,用符号分别刻画为zλ(λ= 1,2,3,4).女方家庭各成员(决策专家)对男方的评价权重依次为ωz1= 0.6,ωz2= 0.25,ωz3= 0.10,ωz4= 0.05.3名相亲男士用符号ai(i= 1,2,3)表示,其在8个指标上满足女方要求程度的测评信息见表1.表中用0至1之间的数表示满足程度,其中1表示百分之百满足要求,0表示完全不满足要求.

表1 3名相亲男士在8个指标上满足女方要求程度的测评信息

运用算法1和算法2对3名男士进行排序的结果如下:

1)算法1.首先,根据文献[1]中计算隶属度及其对应概率的方法以及本文中的定义3和表1可得如下决策矩阵:

([[hij(pij)]i×j]3×8)T=

2)算法2.首先,根据文献[1]中计算隶属度及其对应概率的方法以及定义13和表1可得决策矩阵:

([[hij(pij)]i×j]3×8)T=

8个指标的权重和3名相亲男士的排序结果见表2.由表2可知:2种算法计算出的8个指标的权重和排序结果存在很大不同.若采用本文算法1中的8个指标权重与文献[9]中的算法1进行排序,则得到的3名男士的排序结果与本文算法1的排序结果相同;若采用本文算法2中的8个指标权重与文献[9]中的算法1进行排序,则得到的3名男士的排序结果与本文算法2的排序结果相同.该结果表明,8个指标的权重对3名男士的排序具有决定性作用.由8个指标权重的计算过程可知,影响8个指标权重的唯一因素是家庭成员的权重.在算法2中,4名家庭成员的权重均参与了计算,且女儿对3名相亲男士评价的权重最大,因此算法2的排序结果(a1≻a3≻a2)优于算法1(算法1中默认4名家庭成员的权重相等,且4名家庭成员的权重均没有参与计算).

表2 不同算法的各指标权重值及其决策结果

4 结论

研究表明,本文利用2种维度分别定义的PHFE几何距离都能快速计算出方案的属性权重,且在2种维度下建立的决策算法都可以对方案进行排序,同时在决策过程中不存在因元素PHFN增多而使概率信息数据快速衰减的问题.数值算例分析表明,三维定义下的决策算法(算法2)兼顾了评审专家的权重,因此其决策结果相对更优.在整个决策过程,若对评审专家无偏好,则可以直接使用算法1进行计算.在今后的研究中,笔者将考虑在PHFS中给予隶属度赋予相应的评审专家权重,并在此基础上建立决策算法,以此来更好地解决概率犹豫模糊集多属性群决策问题.