一题“多”解 多解归“一”
——从一道矩形的翻折问题谈起

2023-05-25 04:09金明
初中生世界 2023年23期
关键词:平分线等腰三角直角三角形

文/金明

矩形的翻折问题一直是中考压轴题的高频考点,同学们遇到这类问题时常常无法将已知条件和数学知识建立联系,更不知从哪方面入手。现借助一道矩形内翻折问题的变式拓展,帮助同学们熟悉相关数学模型。

例题 如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,求CF的长。

图1

【分析】由EF=EC=EB可构造出直角三角形BFC,即将求线段CF的长转化为“解直角三角形”。连接BF交AE于点K,如图2,由“翻折”的性质得到垂直,再由已知直角(∠ABE=90°)得到常见的“母子相似模型”(∠ABE=∠BKA=90°),其常用的结论是“三组直角三角形相似”和“角的等量关系”。本题也可以利用△ABE∽△BFC进行求解,或利用中位线先求KE,再求CF。

【简解】如图2,连接BF交AE于点K。

图2

变式1 如图3,连接BF并延长,交线段AD于点G,求线段FG的长。

图3

变式2 如图4,延长EF交线段AD于点G,求线段FG的长。

图4

【分析】变式2的出发点是想让同学们体会“角平分线”“平行”“等腰三角形”在矩形翻折问题中的应用,这里称之为“平行+角平分线模型”。当然,除此之外还有其他不同的方法。

图5

图6

图7

图8

图9

方法6(三角形全等):如图10,过点G作GH⊥BC于点H。易证四边形AGHB为矩形,则GH=AB=AF,∠AGH=∠AFG=90°。由AG//BH,得∠AGF=∠GEH,易证△AFG≌△GHE。设GF=x,则GE=3+x,EH=GF=x,GH=AB=4。在Rt△GEH中,EH2+GH2=EG2,则x2+42=(3+x)2,解得x=,则GF。

图10

方法1 与方法2 的突破口在“等腰三角形”,可通过平行线+角平分线产生的角度数量关系得到一组相等的角,进而得到“等腰三角形”。方法1 侧重等腰三角形的“腰相等”,通过设未知数,利用勾股定理列方程求解;方法2 侧重等腰三角形的对称性,利用“三线合一”的性质求出相应的线段,再利用“三角函数”求解线段。

方法3、方法4 利用相似进行求解。在方法3 中,已知EF,求GF,观察到AD//BC,进而通过延长线段,构造常见的“8 字型”相似求解;在方法4 中,发现图中不需要添加辅助线,便得到EF和GE所在的三角形相似(△AGE∽△CEF),进而得解。

方法5 与方法6 是利用解决以矩形为背景的问题中最常见的方法(化斜为直)来解决问题,其本质是通过作垂直构造直角三角形,利用直角三角形特殊的边角关系进行求解。

至此,虽一题多解,但通过多种方法的总结与内化,我们发现,万变不离其宗,多解可以归一,“平行+角平分线模型”“三角形相似”“化斜为直”是解决矩形翻折问题重要的突破口。

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