“新课标”下尺规作图的命题变革与教学展望

【摘 要】 基于“新课标”对近三年江苏省中考尺规作图题的命题趋势进行分析，发现各市对尺规作图的重视程度越来越高，且命题形式也呈现出了多样化特征.本文以具体案例阐述了主题探究、材料阅读、搭建支架三类尺规作图问题，并在此基础上总结出了两点教学展望.

【关键词】 尺规作图；新课标；推理能力；数学文化；命题

0 引言

尺规作图是指在次数有限的情况下，用无刻度的直尺和圆规解决平面内的几何作图问题，最早起源于古希腊数学课题研究.尺规作图作为基础教育领域的数学必学内容，是融合观察、分析、预测、判断的复杂思维活动，旨在帮助学生表达几何思维、提升推理能力、发展核心素养.最新颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）对尺规作图的教学与评价提出了新的要求，并已在2022年江苏省各地中考试题中有所体现.本文将以总体分析与案例剖析相结合的方式分析“新课标”下尺规作图的命题趋势，并提出相应的教学展望，以更好应对2024年全省中考统一命题与“新课标”落实带来的挑战.

1 “新课标”中尺规作图的内容变化分析

相较于《义务教育数学课程标准（2011年版）》，“新课标”在初中阶段的“尺规作图”部分新增了以下表述：“通过尺规作图等直观操作方法，理解平面图形的性质与关系；经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力.”[1]这彰显了尺规作图作为一种探究方法与认知策略的学习价值，以及对于发展学生数学核心素养的重要性.另外，“新课标”在小学阶段首次新增了三个“尺规作图”内容，要求学生在步入初中前就掌握作一条线段等于已知线段、将三角形三边画到一条直线上以及画三角形的作图问题.由此看来，在“新课标”背景下，初中阶段更应将尺规作图视为促进学生思维发展的重要载体，让学生在分析基本图形与解决作图问题的过程中，逐步体会数学学习的本质、形成学科基本观念.

2 近三年江苏省中考尺规作图命题趋势分析

笔者梳理了江苏省十二个地级市近三年中考的尺规作图题，并在表1的基础上制作了图1的条形统计图.通过分析表1不难发现，近三年只有无锡等5个城市从未“缺席”尺规作图，到了2022年除徐州外的其他城市均有所考察，这足以说明“新课标”的颁布引发了各市命题组对尺规作图的重视.另外，在2020年与2021年大部分尺规作图题的题号靠前，而到了2022年开始有越来越多的城市将尺规作图的试题类型从基础题或中档题向探究题转型（如图1）.由此看来，在“新课标”颁布后，尺规作图命题热度不断高涨的同时，其评价要求与命题趋势也悄然发生了变化，单一考察作图技法的命题形式已逐渐被淘汰，取而代之的是将活动探究、材料分析、计算说理等高阶思维活动嵌入其中，很多城市甚至史无前例地将其作为中考试卷最后一题的最后一问，使一把无刻度的直尺与圆规也“玩”出了花样、新意与深度.图1 探究性试题题量占总题量的百分比

3 例说“新课标”下尺规作图命题形式的变化

“新课标”不仅在“学业要求”中明确提出：“经历数学的学习运用、实践探索活动的经验积累，逐步产生对数学的好奇心、求知欲，以及对数学学习的兴趣和自信心，初步养成独立思考、探究质疑等学习习惯”，而且在“命题原则”也指出：“适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例.”为了响应“新课标”的政策要求，2022年江苏省各地中考以尺规作图为载体尝试命制了主题活动、材料阅读、搭建支架等形式多样的探究性试题，本文便以2022年镇江、盐城、扬州市中考的尺规作图题为例，简要阐述命题形式的变革与创新.

3.1 以主题活动形式丰富作图探究过程

主题活动型试题立足于学生已有的知识经验，围绕特定主题经历提出问题、制定计划、尝试解决、评鉴反思等过程，最终发现某种规律或得出某个结论以解决更复杂的问题.尺规作图与主题活动一样有明确的目标要求，再加上直尺与圆规的工具“极简性”，在达成目标前往往需要较多思维活动的参与，甚至在作图过程中时常会对不同作图方案进行反复试错与修正.由此可见，主题活动型试题与尺规作图的目标明确、聚焦过程、方法多元化、关注可行性等特点高度一致，能将其本身蕴含的探究本质更加鲜活地呈现.反之，尺规作图也为开发主题活动型试题提供了丰富的素材资源，二者可谓相辅相成.

评析 本题是一道以圆规等分弧为主题的探究性试题.根据圆的半径处处相等，仅用圆规在圆上易构造60°的弧.操作与交流环节便以此为探究起点，在n的取值由简单到复杂、从特殊到一般的递进设计下，引导学生逐步感受可利用60°與已知度数的弧构造和差关系进而作出目标图形，最终解决作十四等分弧的复杂作图问题.整个过程经历了制定方案、合理性评估、方法迁移等过程，让学生在操作、实验中由直观感知过渡到理性分析，由合情猜想上升至演绎推理，以一系列行之有效的探究活动考察了学生核心素养不同维度的发展水平.

3.2 以材料阅读形式开阔作图想象空间

材料阅读型试题需要通过提炼材料中的关键信息，将相应的知识、思想与方法迁移到具体问题中去.皮亚杰指出：学生对新颖且与自身经验密切相关、富有挑战又易于上手的阅读内容是最感兴趣的[2].因此，引导性材料的设计不仅要基于学生已有的知识经验，而且要合理控制阅读理解的难度.直线与圆作为尺规作图的基本元素是学生从小学就开始接触的，在初中阶段又作了更加系统、深入的研究，有扎实的知识与理解基础.另外，尺规作图属于几何领域，教材中“阅读板块”有多处是介绍几何文化的，学生有相关阅读经验.由此看来，以材料阅读形式命制尺规作图题符合学生的一般认知规律，能赋予作图问题更加开阔的想象空间.

案例2 （2022年盐城）经典回顾：梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图4是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEB，ACHI，BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M．

（1）证明：AD＝LC；

（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；

（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．

迁移拓展：（4）如图5，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI，BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

评析 本题需要学生从材料中提炼“出入相补”原理以及平移变换策略，并将其迁移至平行四边形中解决作图问题.勾股定理作为举世闻名的重要数学定理，在现有的约500种证明方法中大多数以构造几何图形完成证明，是数形结合的经典范例.因此，将勾股定理的相关拓展作为阅读素材，不仅尊重学生的已有认知经验，符合学生的阅读理解水平，而且从图5到图6的等积变换过程正体现了勾股定理的转化、数形结合等本源性思想方法，是帮助学生突破作图方式固化的关键，在丰富学生知识视野的同时也考察了学生的想象力与创造力.

3.3 以搭建支架形式提升作图思维厚度

搭建支架型试题通过逐层设问的方式为学生提供适宜、小步调的线索，在完成简单任务的基础上不断深化对最终任务的认识，进而借助支架一步步地向上攀升.根据维果斯基的“最近发展区”理论，命题者一般已预设好学生当下的知识水平不足以解决问题，于是通过设计支架帮助学生逐步达成理解.从元素构成角度来看，尺规作图主要通过不断叠加直线与圆作出目标图形，叠加次数越多往往推理层级越高，问题也就越具挑战性.事实上，尺规作图的基本特征之一正是“有限次”操作，这意味着只要理论上通过作图使得目标图形存在[3]，再提供适当支架便能让学生在面对颇有难度的挑战性任务时，基于作图经验、顺应支架引导向更高阶的思维迈进.

案例3 （2022年扬州）问题提出：如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

初步尝试：如图7，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；

问题联想：如图8，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；

问题再解：请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形OAB的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）

评析 本题通过支架式设问先让学生在第一问中体会角平分线的等分价值，然后在第二问中通过尺规作等腰直角三角形初步感悟2∶1的边长关系，最后在公式推导、计算说理后发现小扇形与大扇形的半径比也是2∶1，进而融合前两个支架一起解决用圆弧平分扇形面积的作图问题.由于本题作图分三次完成，学生每次在纸面上留下的作图痕迹，都是尝试、分析、思考、论证的重要依据，均能为问题探究提供思路与经验，为学生营造一个认知递进的思维空间，在考察动手操作能力的同时亦关注核心素养的发展与进阶.

4 尺规作图的教学展望

4.1 以文化作为尺规作图教学的基底色

从数学史的发展来看，自从推理论证与形式逻辑的规范体系建立后，量尺和圆规作为生产、生活的工具便被视为数学思想的重要事物，是2500年前人类精神世界抽象产出的代表，其承载了丰厚的数学文化.事实上，文化的形成过程本身就是一个探索、研究的过程，因此上述提到的三类尺规作图问题虽以不同的探究形式呈现，但无一例外地蕴含了诸多文化要素，并贯穿于整个问题设计中.如，案例1中主题探究的原型正是古希腊三大几何作图问题之一的三等分角问题[4]，有着不可估量的文化研究价值；案例2以材料阅读的形式介绍了中国古代数学家证明勾股定理的方法，将数学文化与爱国主义教育进行了较好的融合；案例3则以搭建支架的形式体现了《几何原本》中所构建的公理化思想.

“新课标”在“课程性质”与“课程理念”中分别提到，“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分”“要关注数学学科发展前沿与数学文化”，并明确建议在试题命制中“适当引入数学文化”.由此可见，无论是教学还是评价，“新课标”在文化渗透方面均提出了较高的要求.在“新课标”背景下，秉持着以评促教的观念，应将文化视为尺规作图教学的底色，让学生在获得浸润与熏陶的同时，以文化为载体增强学生对于尺规作图内涵、思想的理解与顿悟.正如史宁中教授所说，尺规作图教学，要教想法，更要教想象力，而非作图技巧.数学文化作为一个偌大的精神粮仓，可以为学生源源不断地输送灵感，将其融入尺规作图教学为发展学生的数学核心素养提供了新的方式与契机.当然，这同时也对教师的学科职业素养提出了更高的要求，驱使着教师源源不断地汲取知识、拓宽视野、提升自我.

4.2 将推理作为尺规作图教学的着力点

在西方数学史上，无刻度的直尺与圆规曾被誉为欧几里得工具，是操作工具之上的抽象思维工具，一度被视为训练思维、提升脑力的重要手段.探究类试题一般是对某个综合、复杂问题的深入研究，需要通过推理突破条件设置的重重障碍，最终实现作图目标.因此，在以上三类探究性尺规作图问题中，均融入了推理要素并以不同形态呈现.如，案例1以等分弧为主题运用了对比、类比、猜想、归纳等数学思想，突出了对推理方法的考察；在案例2中，学生需要对文本信息进行筛选与判断，通过提取阅读材料的核心内容将文字语言转化为符号语言再转化为作图语言，体现了信息收集、整合、转化等方面的推理能力；在案例3中，题目以层层递进的设问方式让学生经历讲邏辑、重联系的思考过程，考察了从推理意识到推理能力的素养进阶水平.

在大力倡导核心素养发展的教改背景下，“推理能力”是初中生必备核心素养之一.“新课标”指出“推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力，有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神.”在“新课标”对推理素养要求逐渐提高的情况下，尺规作图以其凸显几何本质、操作简易方便等优势，逐渐成为了训练或考察学生推理水平的有效着力点.将尺规作图与推理、探究相融合，并不亚于时下热门的“问题解决”，其以微研究的试题形态将尺规作图中的推理要素放大化，基于尺规的本源性几何特征更加明晰了推理教学的学科性与层次性.因此，如何在教学中创意十足、方式多样地将尺规作图与推理素养相结合，并以此促进学生推理能力教学的优化改革，具有有一定的前瞻教育意义，需要教师们在教学实践中持续不断地探索.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]石建华，张寿彬.从“愿读”到“会读”——初中生数学阅读能力培养策略[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（12）：51-55.

[3]方运加.聊聊“尺规作图”[J].中小学数学（初中版），2021（11）：4-7.

[4]向坤，宁连华.从尺规作图看古希腊数学观及其对教育的启示[J].数学教育学报，2013，22（01）：100-102.

作者简介 周炼（1992—），男，江苏泰州人，中学一级教师；曾获江苏省教科研先进个人，江苏省青年教师初中数学教学基本功大赛一等奖，泰州市卓越教师培养对象.