借助几何模型 解构网格作图

朱琛

[摘  要] 近几年数学中考题中，对于网格作图，要求越来越高，通过解题与研究可以发现：网格作图，蕴含了丰富的数学知识与思想方法，具有综合性强的特点. 借助几何模型解构网格作图，能使学生真正理解数学知识的本质，提升数学核心素养.

[关键词] 几何模型;网格作图;数学思想

在初中数学几何教学过程中，几何模型可以帮助学生识别图形信息，抽取关键要素，实现图形语言与符号语言的相互联系、转化. 借助几何模型，学生能够将复杂的几何问题转化为熟悉的基本图形来解决，从而将知识进行延伸与拓展，达到“举一反三”的目的.

下面以2021年天津市中考数学中的一道网格作图题为例，通过分析抽取几何模型，谈网格作图教学的几点建议.

试题呈现

（2021年天津市中考数学第18题）如图1，在每个边长为1的小正方形的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上.

（1） 线段AC的长等于______;

（2） 以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP=AC，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______.

试题分析

在网格作图中，以画图技能立意的试题通常都比较基础，考查的知识点比较单一，以格点画图为主要考查目标. 上述试题第（1）问，就是利用正方形网格的边长为1，运用勾股定理计算格点线段的长度，属于基本能力要求. 第（2）问考查能力要求则大幅提高，强调了对作图工具的限制（用无刻度的直尺），即只能通过格点来确定直线，或确定所作直线与直线（含格线）的交点. 由于现有图形无法直接找到合适的格点，学生容易产生迷茫，徘徊不前.

思路1  等腰三角形模型

分析：数学问题的解决就是透过现象看本质. 抓住圆心和圆弧，通常可以构成半径，产生圆心角，而点A在圆弧上，就产生圆周角，从而通过“圆心角等于圆周角的2倍”联想到角平分线;而由半径又可以联想到等腰三角形，再次产生“‘平行线、等腰三角形、角平分线知二推一”的结论. 至此，就会考虑如何通过点O画出AC的平行线？由于点O是AB的中点，所以该平行线一定过BC的中点，借助网格线，利用平行线分线段成比例，就能找到点D，画出如图2所示的情形.

图2中的直径AB，还能联想到“直径所对的圆周角是直角”的结论，此时，线段AE就具有平分角和垂直两种特性，就容易想到等腰三角形这个特殊图形. 在平面上将等腰三角形的模型图构建出来，利用轴对称性进一步分析，得到AB上满足条件的线段AP（见图3）.

解答：如图4，取BC与网格线的交点D，连结OD并延长，与半圆相交于点E，连结BE并延长，与AC的延长线相交于点F，连结AE交BC于点G，连结FG并延长，与AB相交于点P，则点P即为所求.

思路2  “8字形”模型

分析：如果点P是某线与AB相交所成（见图5），思考满足这个几何模型，则需进一步考虑过点B画AC的平行线且BH=AB-AC.

利用圆心和半圆，发现形成的半径都等于AB，由此想到利用中位线构造线段OE等于AC，则EF=AB-AC（见图6），此时易证△AOC≌△BOD，得到AC∥BD，而后思考能否在平行线BD上画出BH=2EF即可.

借助几何模型（见图7），根据平行线分线段成比例，可以得到点F是GB的中点，由此得到网格图（见图8）. 根据点F是GB的中点，且EF∥BD，可以进一步画出以EF为中位线的△GBH（见图9）. 再次回到几何模型图5，获得△ACP∽△BHP，由此得到比例线段，最后证明可得AP=AC（见图10）.

解答：如图10，取BC与网格线的交点E，连结OE并延长，与半圆相交于点F，连结BF并延长，与AC的延长线相交于点G，连结CO并延长，与网格线相交于点D，连结BD，GE，并延长使它们相交于点H，连结CH，与线段AB相交于点P，则点P即为所求.

解题反思

1. 构造模型，细研解题思路

几何模型多种多样，尝试联系条件构造合适的基本圖形，是进一步展开探究的前提. 需要探究的问题通常都不是一蹴而就的，需要静下心、沉住气，逐一打开思维的凝固点，各种解决方法就顺应而生.

细研解题思路过程时，学生头脑中会经历几何模型及其性质与数学知识的比较，并进行有效关联，灵活运用这些数学知识，逐步形成自我知识体系.

2. 融合模型，提升解题能力

网格作图，往往会将图形化简为繁，需要构建多种（或重复）几何模型才能解决. 解决网格作图时，要体会一个模型形成过程，深入挖掘几何模型的功能，提升运用模型的综合能力. 融合多种几何模型解决数学问题，是有效提取学生自我知识贮备以及解题能力的一种表现. 随着知识、方法、经验的不断积累，学生会主动进行几何模型的构建和梳理，采用直观呈现、反向推理等方式沟通相互间联系，从而在解题中实现知识的迁移.

3. 感悟模型，发展数学核心素养

网格作图本身就是一个数学宝藏，承载着初中几何研究的重要知识和重要思想：勾股定理、图形全等的变换、图形的相似变换、平行线分线段成比例、中位线等数学知识的综合;还融合多元化数学思想：转化与化归思想、数形结合思想、模型思想.

“执果索因”，这是教学至关重要的一个方法. 通过反思，深入理解网格作图的内涵，培养学生大胆猜想和动手操作的能力，发现和探究的能力，计算、分析、推理的能力，以及数学语言的表达能力和创新思维能力，是数学核心素养的价值体现.

教学建议

1. 归纳网格作图的类型，兼顾非特殊性

《义务教育数学课程标准（2011年版）》的作图要求提出：在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法[1]. 初中数学教学要求学生掌握好五种基本作图即可. 对于网格作图，苏科版七年级课本上，主要利用网格的格点画已知线段的垂线和平行线;苏科版八年级课本上，则是利用网格格点画三角形的各种全等变换图形、利用勾股定理画已知长度的线段及直角的角平分线和线段的垂直平分线;苏科版九年级课本上，则是利用网格格点画相似三角形以及相似变换图形. 根据这些作图要求，类似地归纳以下三个基本作图类型：

类型一：经过两个格点画出直线;

类型二：经过已知直线外一个格点，画已知直线的平行线;

类型三：经过一个格点画已知直线的垂线[2].

从天津的这个网格作图题来看，不难发现，无法采用所归纳的基本类型，所画的直线经过的是非格点，难度较大，需要经过分析和综合等方式才能解答.

因此教学时，围绕网格作图不能只注重格点这种特殊点考虑，适当设置网格作图中非格点连线的问题，能促发学生探讨研究网格作图的方法，积累网格作图的经验，做好知识的内化和迁移.

例如，在进行三角形相似教学时，利用网格作图n等分线段，设计问题如下：

在每个小正方形的边长为1的网格中，仅能使用无刻度的直尺，分别在图11、图12中的线段AB上作点C，使得AC ∶ BC=3 ∶ 2.

2. 外显网格作图的一般化思想方法

几何模型可以实现互相转换以及连接. 在网格背景下研究平面图形，本身保留图形自身的几何特性，还包含位置及数量的特殊性. 在归纳网格作图基本类型时，结合作图原理，就能发现其中熟识的图形变换（图形平移和旋转，见图13和图14）. 往往有难度的网格作图，实质就是很多小知识点综合而成，借助几何模型的构建，可以直观猜想点与点、线与线之间的关联，再逐一分析突破. 网格作图教学时，注意归纳整理网格中常见的几何模型（见图5和图7），为学生发挥空间想象和推理搭建好“脚手架”.

借助几何模型解构网格作图，外显网格作图一般化的思考方法，引导学生形成一般化的思维习惯和自主探析作法的能力[3].

3. 电子白板辅助展现网格作图高效性

网格作图重在动手操作，而电子白板的辅助，给学生参与课堂展示自我提供了一个良好平台. 借助电子白板，学生不仅能亲自动手绘图，还能清楚、高效地讲解自己的解决方案，增强了师生之间、生生之间的沟通交流，同时活跃了课堂探究的氛围.

借助电子白板的交互功能，几何模型变得更規范、更直观，学生为本的课堂教学也充分展现，教学趣味性，高效性得以实现.

结语

数学教学不能一味依赖手中的答案照本宣科，教师要俯下身，从学生学情考虑，一起深入探究，“深”“透”地领悟答案的生成过程. 网格作图方法多样，以几何模型奠基，能让学生迅速着陆于最近发展区，让解决方法自然形成. 对于解决一类思维性强的问题，几何模型有它的优势所在，直观性更优于计算，模型的记忆也更优于文字的记忆. 教师钻研得透彻，找到适合学生学习的方法，学生才会学得轻松.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011 年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]金杨建. 正方形网格作图的原理、教学功能与建议[J]. 中学数学教学参考，2021（20）：37-40.

[3]章飞. 初中数学几何作图的教学实施建议[J]. 中学数学教学参考，2021（05）：9-12.