考虑轮灌方式下的树状管网布局优化问题

李妍峰，姜 丹

（1.西南交通大学经济管理学院，成都 610031；2.服务科学与创新四川省重点实验室，成都 610031）

0 引 言

灌溉管道网络是指通过一组相互连接的管道，在满足各种水力液压的条件下，将水资源以合适的流量、速率和压力水头从水源点输送到各需水区域的灌溉系统。与传统的明渠配水方式相比，灌溉管道网络具有提高土地利用率、减少水分蒸发渗漏损失、提高用水效率等优点，因而在农业节水工程中有着广泛的应用。按网络拓扑结构，灌溉管网一般分为环状管网和树状管网。树状管网呈树枝状，与环状管网相比，具有结构简单，成本节约且易于管理等优点，因此一般常常应用于寻求系统设计最优、成本最低的场景。

管网布局优化问题主要分为管网布置和管网设计优化问题[1]。管网设计优化问题寻求满足水力液压条件下管道成本最低的管道组合。由于管道管径是离散的，而压力和水速均为关于管径的非线性函数，因此管网设计优化问题是一个非线性的离散优化问题。目前，输水管网设计的优化方法主要有微分法、非线性规划法和遗传算法等[2-6]。而Gajghate 等[7]认为管网布置是管网设计的基础，对管道管径的选择有着根本的影响；董文楚[8]以造价最小为原则优化了树状输配水管网的布置；Gonçalves 等[9]、Lee 等[10]采用最小斯坦纳树求解最优的网络布局；周荣敏等[11]以图论和遗传算法为理论基础，利用改进的单亲遗传算法对树状管网进行优化布置；Lejano[12]假定网络流速和管径，利用混合整数线性规划算法优化管网布置。

自管网优化问题提出以来，较多集中在单独研究管网设计和管网布置问题。但在实际中管网布置和管网设计是相互影响，相互制约的。学者们开始考虑同时优化输水管网的布置和设计问题，但大部分研究都是先优化输水管网的网络拓扑结构，得到网络布置之后再进行管道组合优化[13-15]。如Gonçalves 等[15]将输水网络布局问题分解成3 个阶段的子问题：第一阶段确定树状网络布置；第二阶段根据已知的网络连接计算流经每条弧上的流量；最后，计算得到最优管道尺寸组合，以及确定泵的位置和规格。此外，李海滨等[16]、侯依然等[17]利用遗传算法，Mtolera 等[18]、王文婷等[19]采用粒子群算法，实现了已知管网初步连接图，以及各管线水流方向的小规模树状管网布置与管网设计的同步优化。但是对于较复杂的大规模管网，无法事先确定初步连接图和水流方向，容易产生大量不可行解，算法效率低下。

灌溉管道系统的工作方式一般有续灌和轮灌。续灌是最常见的一种灌溉方式，即上一级向下级连续灌溉；轮灌是将需水节点划分为不同轮灌组，水源点在不同时间段依次向不同的轮灌组进行灌溉，这种方式可以最大限度地分散干管中的流量，减小管径，降低管道铺设成本[20]，在实际中有很广泛的应用，但目前还未有理论研究考虑同时优化轮灌组划分方式和管道网络布局。此外，根据灌溉系统中压力的来源，灌溉管网分为重力给水管网[21]和加压给水管网。重力给水管网又叫自压式给水管网，利用地势差为灌溉系统提供压力，网络中只存在管道成本；而加压给水管网则是安装泵站作为灌溉系统压力的来源，在满足需水区域流量和压力水头的要求下，权衡管道成本和电力成本，使得管网总成本最小。宋江涛等[22]、李道西等[23]以水源处加压泵站灌溉管网为优化对象，分别将LINGO 软件、EXCEL 规划求解法与经济流速法的管径求解结果进行对比。综上所述，已有成果为进一步深入研究树状灌溉管网优化问题奠定了良好的基础，但仍存在以下研究缺口：①灌溉管网常见的工作方式为续灌和轮灌，已有灌溉管网优化问题大都考虑续灌的工作模式，关于轮灌方式下的树状灌溉管网的研究成果相对缺乏；②已有管网布局优化文献仅以管道成本最小为目标函数，较少综合考虑管道成本和电力成本之和，且并未根据问题特性建立相应数学模型；③已有研究文献仅对规模大小为10 左右的灌溉系统进行优化研究，也即需水区域仅为10 个，但在实际中灌溉管网系统的需水区域数量远远大于10。基于上述情况，本文考虑轮灌方式下的树状管网优化问题，以管道成本和电力成本之和最小为目标函数，在满足各需水区域的流量需求、管道中水流速度和节点压力水头等液压条件约束下，建立了轮灌组划分、网络布置与管网设计同时优化的数学模型，并提出一种基于迭代邻域搜索[26]的混合启发式算法求解该问题。通过对不同规模的灌溉系统进行优化，验证了本文提出的轮灌方式下管网布局优化方法的有效性和可行性，并将该方法应用于实际灌溉工程的管网布局优化。

1 问题描述及模型建立

1.1 问题描述

树状灌溉管道网络布局优化问题的问题描述：假设在某灌溉区域存在一个水源点和一组需水区域，已知各区域位置、距离、需水量和最小工作压力水头，各区域之间通过管道连接。灌溉管道网络问题要求得到一个将每个需水区域连接到水源点的最经济的网络连接，并确定网络中管道的尺寸和液压元件的规格。为降低网络最大功率及合理利用资源，考虑轮灌方式下的树状管网优化问题在一般管网布局优化问题的基础上，将需水区域划分为若干轮灌组，一个需求区域只能属于一个轮灌组，每个轮灌组与水源点之间由一条管道相连，轮灌组存在流量上限，水源点在不同时间段向各轮灌组轮流配水。该问题旨在满足管道液压约束、需水节点最小流量和压力水头的要求下，找到最佳的轮灌组划分、网络布局和管道组合，达到灌溉系统管道成本和电力成本之和最小化的目标。图1给出了一个包含1个水源点和13个需水区域的灌溉系统，水源处存在泵站，需水灌溉区域被划分为3个不同的轮灌组，各轮灌组分别包含4、4、5个需水区域，各节点之间通过管径不同的管道连接。

图1 3个轮灌组的划分示意图Fig.1 Division diagram of three rotation irrigation groups

1.2 模型假设

基于以下假设建立轮灌方式下树状管网布局优化问题的数学模型：

（1）将各需求区域划分为不同的轮灌组，一个需水区域仅属于一个轮灌组。

（2）各轮灌组存在容量上限，且容量上限小于该灌溉系统中所有需水区域的总需水量。

（3）各需水节点有且仅有一条管道向其供水。

（4）灌溉系统水源处安装泵站，且泵站扬程未知。

（5）各需水节点需水量不同，各节点所需最小压力水头要求不同。

（6）不同管径的管道中水流速率要求不同。

1.3 模型参数及变量

定义一个有向的连通图G=(N,A)表示灌溉管网，其中N为水源点和需水节点的集合，A为弧集合，每条弧对应一根管道。每个需水节点i都有需水量bi，弧(i,j) ∈A长度为lij，假设网络对称，即lij=lji。表1列出了模型中所用符号。

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1.4 数学模型

在实际设计灌溉管网时，管道中水的流速过大会增加损耗，造成成本的大幅度增加，而流速过小又容易导致淤泥堆积。为保证经济性和安全性，不同管径的管道中水流速度有最小、最大限速V Ld,V Ud（式1）[15]。由于流速是关于管径和流量的函数，因此通过式（2）[15]将不同管径的流速限制转化为管道的流量约束。

水流在流经管道时存在摩擦，会产生水头损失，使得节点压力水头之间满足压力平衡公式（3）[15]。不同管径管道的水头损失fd可由Hazen-Williams提出的公式[24]计算[式（4），其中αd= 9.955 049 × 10-4/d4.87称为比阻]。

根据问题特性，构建数学模型[P0]如下：

目标函数(5)最小化灌溉系统总成本，包括管道成本和电力成本，电力成本为水泵的固定成本和电费，与水泵的扬程和流量有关；约束(6)表示一个需水节点只有一条管道为其输水，这是树状管网的特点；约束(7)表示每条相连的弧选择一种管道规格；约束(8)是流量平衡方程；约束(9)表示各轮灌组总需水量不超过规定的流量上限；约束(10)表示不同管径的管道要满足的流量需求；约束(11)表示水源处只能选择一种规格的水泵；约束(12)表示流出水源点的压力水头为水泵的扬程；约束(13)是压力平衡方程；约束(14)表示满足各需水节点最小压力水头需求；约束(15)～(17)是0-1决策变量。

2 基于迭代邻域搜索的混合启发式算法

[P0]的目标是找到最经济的轮灌组划分方式、网络布置、泵站扬程及管道组合。然而，仅将需水区域划分为不同的轮灌组并确定网络连接，是一个带有容量限制的最小生成树问题。容量最小生成树（Capacitated Minimum Spanning Tree,CMST）是指图的最小生成树有一个根节点，其每个子树有容量约束。该问题是一个复杂的组合优化问题，即使在单位需求的情况下（各需求节点的需求均为1），它也被证明是NP 难题[25]。而模型[P0]不仅要划分轮灌组，还需要在满足一系列液压条件下，确定泵站扬程和管道组合，是一个非线性的0-1规划问题，不适合采用相应的整数规划求解器进行求解。因此，针对轮灌方式下树状管网布局优化问题，本文设计了一种基于迭代邻域搜索[26]的混合启发式算法求解轮灌组划分、管网布置和管网设计组合。

2.1 算法框架

由于管网布置从根本上影响了管网设计，即轮灌组划分和网络连接影响管道组合和泵站扬程。因此该算法的思想是先随机得到轮灌组划分，求解管网设计优化模型[P1]（见2.2）得到初始管网布局和成本后，再通过包含三种邻域策略的迭代搜索改进初始布局，降低成本。算法具体流程：先按轮灌组容量上限要求随机生成管网的初始布置，得到轮灌组划分和初始管网布置，通过流量平衡方程计算网络中各相邻区域之间的流量，通过调用GUROBI 求解管网设计优化问题[P1]得到初始整个管网的布局、管道组合和管道总长度L、管网总成本C，记最优解C*=C；然后基于3 个邻域策略进行迭代搜索（见2.3）逐步改进初始网络布置，在管道总长度减小时，采用精确算法求解管径组合得到灌溉管网总成本，若管网总成本减小则更新网络布局，否则继续搜索，直到搜索完所有邻域，算法结束。图2给出了混合启发式算法的具体流程。

图2 基于迭代邻域搜索的混合启发式算法具体流程Fig.2 Specific process of hybrid heuristic algorithm based on iterative neighborhood search

2.2 管网设计优化问题

在轮灌组划分和网络布置已知时（为此时管网中连通的弧集合），根据流量平衡公式可以计算网络中的流量，从而建立关于管道组合优化的混合整数规划模型[15]（MILP），数学模型[P0]可简化为[P1]。

约束条件除公式(10)～(15)外，还有以下公式：

其中目标函数(18)表示最小化网络总成本，约束(19)表示每条弧(i,j) ∈只选择一种管径，约束(10-15)为流量、压力水头和决策变量的约束。

2.3 邻域搜索策略

根据得到的初始管网布置，通过求解2.2 中的管网设计优化问题[P1]，可以得到该布局下灌溉管网的总成本。在此基础上加入局部邻域搜索，改进网络布置，依次对3 个邻域（N1，N2，N3） 进行搜索[27,28]，得到最终的灌溉网络布局和管径组合。

N1：在满足容量约束前提下，交换m，n子树上的节点i和节点j，得到新的网络布局和轮灌组划分，如图3(a)所示。

图3 生成邻域的3种策略Fig.3 Three strategies for generating neighborhood

N2：在满足容量约束前提下，将m子树中的节点i加入n子树，得到新的网络布局和轮灌组划分，如图3(b)所示。

N3：将两个容量之和小于最大容量的子树m，n合并为一条子树，得到新的网络布局和轮灌组划分，如图3(c)所示。

3 数值实验

3.1 测试算例

由于目前没有针对灌溉问题的标准算例，参照Gonçalves等[15]随机算例，生成5组包含40个节点和5组包含50个节点的灌溉网络。其中40r1 表示包含40 个节点的算例1；50r1 表示包含50个节点的算例1，其他符号含义类似。

3.2 算法性能分析

针对管网的布局优化问题，以往研究均考虑分步求解布局和管径[9]，先求得网络管道总长度最小的布置，再优化管道组合。为验证本文提出算法的有效性，对包含40 个节点和包含50 个节点的灌溉管网，分别采用两种求解方式。一种是先以网络管道总长度最小为优化目标，采用Esau-Williams 算法[29]得到轮灌组划分和网络布局，再求解管道组合优化问题，得到灌溉管网总体布局；另一种是采用本文提出的混合启发式算法求解，两种方法求得的管网总成本如表2 和表3 所示，其中Q表示轮灌组的容量上限，有13 种规格的管道直径和9种扬程的泵站可供选择。

表2 轮灌方式下40个节点的灌溉管网优化结果Tab.2 Optimization Results of Irrigation Network with 40 Nodes under Rotation Irrigation

表3 轮灌方式下50个节点的灌溉管网优化结果Tab.3 Optimization results of irrigation network with 50 nodes under rotation irrigation

由表2 和表3 可以看出，相较于分开求解轮灌组划分和管径组合问题，本文提出的混合启发式算法求解灌溉管网得到的成本明显降低。这是由于分开求解布局和管径，在优化布局时仅以管道总长度最短为目标，忽略了网络成本，管道总长度最小时并不意味着管网总成本最小；而混合启发式算法在优化网络布局时，不仅以管网总长度最小为目标，还考虑网络的总成本，在管道总长度和管网总成本都降低时才更新网络布局。

3.3 网络成本分析

为了分析灌溉方式对灌溉工程布局和成本的影响，分别设置两种灌溉方式进行实验：第一，在续灌方式下，先通过求解最小生成树得到道总长度最小管网布置，再通过求解管网设计问题得到灌溉网络整体布局；第二，在轮灌方式下，对算例设置轮灌组容量上限，采用本文提出的基于迭代邻域搜索的算法进行求解。对包含40 个节点和包含50 个节点的灌溉系统，分别考虑以上两种工作方式，得到的管网管道成本和电力成本如表4 和表5 所示。可见，轮灌方式下灌溉网络的管道成本和电力成本普遍低于续灌。对于同一组算例，管网的成本也会因轮灌组容量上限的不同而存在差异。如40r1 算例中，当轮灌组容量上限设置为200 m3/h 时节省的成本最多，而40r3算例中，当轮灌组容量上限设置为700 m3/h时管网成本最低。

表4 40个节点的灌溉系统采用不同灌溉方式的成本Tab.4 Cost of different irrigation methods for 40 node irrigation system

表5 50个节点的灌溉系统采用不同的灌溉方式的成本Tab.5 Cost of different irrigation methods for 50 node irrigation system

为了直观地看出采用轮灌带来管道尺寸和管网成本的变化，分别采用续灌和轮灌(轮灌组容量上限设置为250 m3/h)的方式，对包含15个节点的小规模灌溉工程进行网络布局优化。各需水节点最低压力水头要求为20 m，有13 种规格的管道直径和9 种扬程的泵站可供选择。各节点的需水量如表6 所示，优化得到灌溉工程的网络布局和管径组合如图4、表7 所示，两种灌溉方式下水源处泵站扬程均为120 m。

表6 灌溉系统中15个节点的需水量Tab.6 Water demand of 15 nodes in the irrigation system

表7 包含15个节点灌溉系统在不同灌溉方式下的优化结果Tab.7 Optimization results of irrigation system with 15 nodes under different irrigation modes

图4 包含15个节点的灌溉管网在不同灌溉方式下的网络布局Fig.4 Network layout of irrigation pipe network with 15 nodes under different irrigation methods

在图4中一种颜色的节点代表一个轮灌组，需水节点被划分为3个轮灌组，灌溉系统每次仅需向一个轮灌组供水，大大降低了网络中管道的流量，从而减小管道尺寸，降低管道成本。从表7中可以看出，在续灌方式下，灌溉工程选择的管道直径范围为125～400 mm；而在轮灌方式下，系统选择的管道直径范围为100～300 mm，选择200 mm的管段较多。虽然轮灌方式下管网总长度大于续灌，但管道直径相较于续灌明显减小，且管网总成本降低11.39%，证明轮灌方式下的管网更加经济适用。

3.4 工程应用实例

以实际某柑橘灌溉工程为例，该灌溉工程位于四川省资阳市雁江区，由一个水源地（巍峰水库）供水，包含29 个需水区域，系统可用最大日操作持续时间为18 h，各需水区域面积已知可计算各区域需水量，各点需水量及最低压力水头要求如表8所示。系统的灌溉速率和最大耗水量由农作物的特性和生长阶段决定，柑橘本身特性决定灌水速率为2.67 mm/h，最大耗水量为5 mm/d，由此可计算每个需水区域需要灌溉时长为5/2.67≈1.88 h。

表8 柑橘灌溉工程需水量及阀后压力水头要求Tab.8 Water demand and post valve pressure requirements for citrus irrigation project

图5 给出了3 种不同容量限制下，柑橘灌溉工程的管道成本、电力成本以及系统总成本的结果比较。可以看出，随着轮灌组容量的增加，轮灌组数量呈减少趋势，每个轮灌组包含的区域增加，如轮灌组1 在容量上限为120 m3/h 时包括需求区域5、9、11、19 和21，当容量增加到150 m3/h 时包含区域1、4、5、11、19 和23，当容量增加到190 m3/h 时，包含区域扩大到1、5、11、15、17、21、23 和28。将轮灌组容量上限分别设置为120、150 和190m3/h，得到3 种网络布局如图6～图8所示(不同颜色代表不同轮灌组，No1 R1表示该区域1属于轮灌组1)。灌溉系统在3种容量限制下得到的轮灌组数量分别为7、6、5，水源处选择的泵站扬程分别为150、180、180 m。

图5 3种不同轮灌组容量限制下柑橘管网的成本比较Fig.5 Cost comparison of citrus pipe network under capacity limitation of three different rotation irrigation groups

图6 轮灌组容量上限为120 m3/h的柑橘灌溉管网布局Fig.6 Layout of citrus irrigation pipe network with upper capacity of 120 m3/h in rotation irrigation group

图8 轮灌组容量上限为190 m3/h的柑橘灌溉管网布局Fig.8 Layout of citrus irrigation pipe network with upper capacity of 190 m3/h in rotation irrigation group

4 分析与讨论

4.1 灌溉工作方式对管网布局和总成本的影响

本研究表明，不同的工作方式下，灌溉管网的布局规划和成本也有所不同。在两种不同的灌溉方式下，与采用续灌的模式相比，将需水节点划分为不同的轮灌组，水源点以轮灌组的形式进行灌溉产生的管道成本和电力成本之和明显降低（表4和表5）。这是由于轮灌组的划分，导致灌溉网络系统工作时的流量减少，使得在管网设计优化时可以选择管径较小的管道，从而降低管网的管道成本。同时，由于水源点以组的形式进行灌溉，工作时需要的总压力水头减小，使得泵站扬程降低，进一步降低管网的电力成本，从而使得管网总成本降低。

4.2 轮灌组容量限制对管网布局和总成本的影响

轮灌组的容量上限决定了轮灌组的划分数量和方式，影响泵站扬程、管网布置和管网设计，从而影响灌溉系统的总成本。对于同一灌溉系统，管网的成本会因轮灌组容量上限的不同而存在差异。轮灌组容量越大，每个轮灌组内包含的需水节点越多，管网中的轮灌组的数量减少，灌溉工程总的日工作时间减少。3.4实验结果表明，随着轮灌组容量的增加，一方面管网工作时需要的压力水头增加，水源处泵站扬程也随之变大，从而增加电力成本；另一方面，由于水泵扬程的增加，使得灌溉系统在管径选择阶段可以选择更为经济的组合方式，降低管道成本（图5）。由此可以看出灌溉系统的管道成本和电力成本之间存在效益背反，在设计灌溉管网时需要平衡两种成本，找到使总成本最小的方案。因此，轮灌组容量的上限会影响到灌溉系统的总成本，需要在实际设计中根据管网节点的分布特点，选择最为经济的轮灌组容量。

5 结 论

本文在灌溉管道网络中采用轮灌方式，建立了以管道成本和电力成本之和最小为目标的数学模型，并提出一种基于迭代搜索的混合启发式算法进行求解。验证了通过将需水节点划分为若干轮灌组，水源点按照轮灌组的形式进行灌溉，能够大幅度降低灌溉网络工作时网络中的最大流量，降低管道成本，减小泵站的扬程，从而降低电力成本。并通过一个实际柑橘灌溉工程，比较了不同轮灌组容量对网络优化结果的影响。未来研究中可进一步考虑同步优化输水管网的网络布局和管径组合，优化目标可包括管网可靠性等要素。