数学建模方法在高中数学解题中的探究

李俊铮

【摘要】随着教育改革的深入推进，高中数学教学活动较之以往有了很大改变.在以往的高中数学教学中，受诸多因素的影响，教师过于看重理论内容、知识点的传授，忽视了学生数学知识实际应用能力的提升.而数学建模是解决数学问题的很重要路径，也是学生灵活应用数学知识的表现，在近几年的高考试题中，越来越注重学生数学建模能力考查，而学生灵活地运用数学建模方法，可以在很大程度上提高自身的数学问题处理水平，对于学生数学学习能力提升具有良好帮助.

【关键词】数学建模；高中数学；解题

在新课标准中提出，数学建模是数学学习的良好方式，其可以为学生学习提供更加自主的空间，能让学生在数学体验中意识到数学在处理现实问题中的作用，可以强化数学学科与学生实际生活之间的关联［1］.在高中数学解题中，通过数学建模思想的应用，能在极大程度上强化学生的数学应用意识，更容易增强数学学习兴趣，能实现对学生实践能力、创新能力的培养，促进了学生数学综合素养的提升.

1 数学建模方法的相关概述

数学建模方法简单来说就是利用数学语言、数学原理、数学方法来解决相应数学问题的一个过程，简单来说数学建模方法主要是针对实际中的数学问题，对其进行提炼，抽象出特定的数学模型，然后完成模型求解，并对数学模型本身的合理性进行验证分析，通过模型求解得出数学问题的答案［2］.数学建模的方法主要包含了以下几个步骤：

（1）问题分析，主要是充分理解问题的实际意义，对题目中的各项信息进行收集整理分析，通过数学语言描述这些信息.

（2）模型假设，结合问题分析中的信息，简化数学语言，抽象出相应的数学关系，并在此基础上完成相关条件、符号的假设.

（3）建立模型，结合数学关系对数学模型进行抽象处理，利用假设条件、符号构建出特定的数学模型.

（4）模型求解，引导学生用自己学到的知识、题目中的相关数据求解出相应的模型参数解.

（5）模型分析，对模型求解的结果进行分析.

（6）模型检验，指引学生将求解的结果放到实际问题中，如果符合实际问题中的相关信息要求，证明模型分析是正确的；如果不符合实际情况，则表明模型需要进一步改进，应该重新构建模型进行分析.

从实际生活看，有很多问题都与数学模型相关，如果学生在解决数学问题中可以灵活地构建数学模型，借助数学模型的方法解决，往往能获得事半功倍的效果［3］.从数学模型的整体发展情况看，在高中数学阶段涉及的模型包含了以下几类：

（1）与数量相关的模型：主要包括函数模型、不等式模型、方程模型、數列模型、概率模型等.

（2）与形状相关的模型：主要包括平面几何模型、立体几何模型.

（3）与位置相关的模型：主要包括极坐标模型、几何模型.

（4）与最值相关的模型，主要有线性规划模型.

2 数学模型方法在高中数学解题中的应用要点

2.1 与传统解题方法的差异

数学建模方法主要是将数学建模思想、数学建模活动融入到数学问题处理中的一种方式，与传统的解题方法相比较，数学建模方法的特点在于：一是数学建模需要从题目全局入手，整体分析题目信息，并且要充分了解问题的背景；二是学生需要全程参与到题目分析中，探索问题的解决路径，同时数学建模方法具有良好的解决策略时，往往会出现一题多模的情况；三是数学模型是解决数学问题的一个工具，更加关注数学模型的实际应用性，同时在数学建模方法有特定的步骤，其结构十分清晰［4］.

数学建模方法在培养学生的建模意识、数学应用意识等方面具有良好作用，在新课标中提出教师在日常教学中组织学生开展数学建模活动，关注学生的数学应用能力培养，并且在新高考中，也更加关注学生的数学建模能力考查，出现了很多开放性的问题，更强调学生的数学应用意识.因此为了满足学生的综合发展所需，教师在平常教学中就需要特别注重学生数学建模意识培养，引领学生能灵活地运用数学建模方法解决实际问题.

2.2 关注数学建模思维的渗透

在教学改革不断深入的今天，教师在日常教学中必须转变自身的教学思维观念，要结合时代特征更新自身的教学理念，提升自身对数学建模思想的认知，灵活地运用数学建模思维来引领学生处理问题.

同时，在平常教学中，教师需要在潜移默化中融入数学建模思想，关注学生的建模方法解题能力的培养，教师在课堂上需要转变自身过去的以“教材为核心”观点，灵活地引入生活化内容，让学生能通过建模思想来处理生活中的实际问题，并且要关注学生的独立思考，让学生能充分意识到数学学习的价值［5］.

此外，教师还可以专门组织学生开展数学建模训练活动，让学生在独立思考、合作讨论中充分掌握数学建模知识，熟悉数学建模方法的运用，促进学生综合发展.

3 数学建模方法在高中数学解题中的应用

3.1 函数模型

函数模型简单来说就是让学生用自己学到的数学知识，对实际问题进行归纳、分析，然后进行加工，建立函数关系后，实现对问题的处理.在高中数学知识内容中，函数属于最重要的知识之一，而关于函数的问题类型十分丰富，背景知识也特别广泛，解题技巧更是丰富多样，一直是高考的重难点.同时在学生的现实生活中，关于函数的知识也比较广泛，如最低成本、最高利润等，都是用到了函数求最值的思想方法，因此在实际教学中，教师可以结合学生的实际状况，引领学生能灵活地运用函数模型来解决实际问题.

例1 在十一黄金周前期，某海洋馆决定将水池中的水全部放掉，清洗水池，在清洗完以后，重新注入干净的水.现有一个长、宽、高分别是30m、25m、5m的水池，工作人员将注水时间与注水量变化记录了下来，详见下表1.

结合上表1思考，在该水池中注水100min时，水池中的水有多少？列出水池中注水量与时间的关系式，思考多长时间能将水池注满？

结合题目的信息可以知道，本题与长方体的体积相关，结合表1可以得出在注水时，每隔10min水池中的水会增加250m3，时间间隔相同下，水池中注水量的增加是一样的，并且这一变量处于连续状态，具备构建一次函数的特征.学生在解题时可以结合表1中的数据变化规律，开展图像分析，得出更加直观的结论，假设注水时间为x，水池中注水量为y，画出相应的图像，可以看出y与x的變化满足一次函数条件，因此学生在解题中就可以构建一次函数模型y=ax+b，其中a、b都是常数.

为了求出a、b的值，可以结合表1给出的数值，通过待定系数法，得到二元一次方程组，解方程得到a、b值.如10a+b=250，20a+b=500，得出a=25，b=0，得到一次函数模型y=25x，随后将（30，750）、（40，1000）代入一次函数模型中，验证模型的合理性，从而得出水池中注水量与时间的关系式.

接下来是解答实际问题，当注水100min时，y=2500，也就是水池中的水量是2500m3；水池注满水时，水池中的注水量达到最大，水池的体积是3750m3，即y=3750时，x所对应的值是150.因此150分钟后水池会注满干净水，从而停止注水.最后对一次函数模型进行修正，y=25x（0＜x ≤150）.

3.2 三角模型

在处理一些复杂的数学问题时，教师可以指引学生尝试将复杂问题转变成示意图，如果示意图可以与三角形产生关系，就可以构建相应的三角模型，通过三角模型来完成问题的处理.在高中数学教材中，三角模型属于几何模型中最重要的模型之一，学生在初中阶段就学习过很多关于三角形的模型，而在高中阶段，不仅涉及各种基本三角模型的应用，还有更加复杂的三角模型，学生在求解三角模型时可以通过正余弦定理、勾股定理等知识完成.

从高中数学的整体情况看，三角模型在解题中的应用是很广泛的，其包含了距离、路程、高度等测量问题，学生在求解三角模型的相关问题时，往往会涉及一些专业的术语，如仰角、俯角等，下面结合具体例题分析三角模型解决数学问题的方法.

例2 A观察哨在上午11点收到通知，正西方向突发风暴，朝着正东方移动，预计在2小时来到观察哨，并继续向前移动.同时观察哨发现有一艘轮船在A北偏西60°的B点，一段时间后轮船来到A观察哨北偏东60°的C点，并且轮船保持93km/h的速度匀速前行，最后达到A观察哨正东方5km的小岛E点.如果该轮船在BC段的时间是CE段的4倍，问轮船能否在风暴达到A点前回到E？

在本题中，结合题目可以知道B、C、E三点共线，然后结合题目画出示意图，如下图1所示，结合示意图抽象出三角模型，然后计算出BE长度.

结合题目信息可以得出BC=4CE，设CE=x，

则BC=4x，BE=5x，

△ABE中，∠EAB=150°，

根据正弦定理得出sinBAE=sin∠EABBE，

sinB=12x.

在△ABC中，∠CAB=120°，

根据正弦定理得出sinBAC=sin∠CABBC，

AC=433.

在△ACE中，∠CAE=30°，AE=5，

AC=433，

依据余弦定理可以得出CE2=AE2+AC2－2AE·AC·cos∠30°，

因此得出CE=933，BE=5EC=5933，

得出航行时间t=53h，也就是轮船经过53h后来到小岛E点，由于53＜2，从而得出轮船在风暴达到A点之前就可以回到E点.

高中学生在利用三角模型处理相关数学问题时，需要不断地用到正弦定理、余弦定理等知识点，所以学生自身必须对这些知识有深层次的认知.

4 结语

总而言之，在高中数学解题中，通过数学建模方法的应用，可以让学生充分体会到数学知识在实践生产生活中的运用价值，更容易帮助学生理解数学理论知识，解决数学实际问题，对学生综合发展尤为有利.在今后的高中数学解题中，教师要关注学生数学建模意识的培养，引领学生灵活地运用数学建模方法来处理各项数学问题，推动学生的综合成长.

参考文献：

［1］余金通.数学建模在高中数学教学中的实践与探索［J］.中学数学：高中版，2021（8）：90-91.

［2］蒲朝云.关于数学建模在高中数学教学中的实践与探索［J］.数理化解题研究，2022（12）：29-31.

［3］刘洋，刘春红.高中数学建模活动和数学探究活动的实践路径［J］.天津教育，2022（2）：16-18.

［4］张芝悦.基于数学建模的高中数学教学策略探究——以《三角函数的应用》为例［J］.数学教学通讯，2021（24）：25-26.

［5］张兴力.如何在高中数学教学中培养学生数学建模能力［J］.魅力中国，2021（10）：83.