简约识“倍”新视界

2023-06-20 06:11张晓锋姚灵娣
小学教学研究·教研版 2023年3期
关键词:倍的认识数学化简约

张晓锋?姚灵娣

【摘 要】倍数关系是常见的数量关系之一。理解倍的含义,关键在于有效建立“倍”的概念。王圣昌老师不走寻常路,从两个数量的关系入手,先引导学生和“倍”的内涵互动,从发现关系、明确关系到用除法算式表达倍数关系,从直观到抽象,从浅显到深刻,逐步实现数学化,教学简约、深刻,为一线教师开启了识“倍”新视界。

【关键词】倍的认识 概念 建构 数学化 简约

倍数关系是常见的数量关系之一。建立倍的概念,能帮助学生进一步理解乘法和除法的含义,扩大应用乘、除法计算解决实际问题的范围。教师应引导学生从具体直观到抽象思考,理解“倍比”是对相关数量进行比较的数学方法。理解倍的含义,关键是建立“倍”的概念。有些教师是以告知的方式,引导学生圈一圈、比一比,初步理解倍的含义,这可称之为告知“倍”。王圣昌老师先引导学生和“倍”的内涵互动,通过解决问题,借助除法算式发展概念,可称之为生长“倍”。

王圣昌老师教学“倍的认识”,仅用3张演示文稿(PPT),就呈现了一节非常有味道、有思维含量的数学课。3张PPT,对应3项逐步进阶的核心任务,每项核心任务中的几个子问题能较好地彰显学习任务的设计理念——低门槛、大空间、多层次,为每个学生提供思考与表达的机会,这也是全课最鲜明的特点。王老师充分肯定和鼓励每个学生的表达,并且把每个学生的想法都展示出来,资源捕捉意识特别好。他引导学生先和“倍”的内涵互动,从发现关系到明确关系再到用算式表达,通过解决问题发展概念,概念教学指向有意义的建构,真正体现了以学生的学为中心。这样的课应该就是如吴正宪老师说的“好吃又有营养”的数学课。

片段1:明确关系初识“倍”

呈现第一张PPT(见图1),图中包含4根黄瓜和12根香蕉的图片以及3个问题。

师:谁能说说你的发现?说一个就可以!

生1:黄瓜有4根。

師:这是不是数学信息呢?谁还有不一样的发现呢?

生2:香蕉有12根。

师:他说得对吗?还有不同的吗?

生3:黄瓜和香蕉一共有16根。

师:非常棒,黄瓜加香蕉有16根。

生4:香蕉比黄瓜多8根。

师:太棒了,你们能听懂他的意思吗?

生5:我认为还可以说黄瓜比香蕉少8根。

师:好,你把它倒过来了,黄瓜比香蕉少8根。

生6:香蕉是黄瓜的3倍。

师:你们怎么看?他突然讲了我们好像没学过的知识——香蕉是黄瓜的3倍。懂他意思的同学请举手。谁来说一说这是什么意思?

生7:黄瓜有4根,香蕉有12根,12除以4等于3,也就是说香蕉是黄瓜的3倍。

师(追问):你们怎么看出来有3倍?3倍在哪里?第1倍在哪里?第2倍、第3倍呢?每倍都是几根?谁决定的?

(学生回答略)

师:你们能列出算式表示这4个数学信息里两个数量之间的关系吗?

学生用算式表示“黄瓜加香蕉有16根,香蕉比黄瓜多8根,黄瓜比香蕉少8根,香蕉是黄瓜的3倍”,算式分别为:4+12=16,12-4=8,12-8=4,12÷4=3。

师组织生交流。

师:你们都能列出算式表示它们之间的关系。谁来解释3倍这个问题?

生8:3×4=12。

师:谁来解释这个算式中每个数表示什么意思?

生9:4是香蕉的根数,3是把香蕉平均分成了3份,12是香蕉的总数。

师:这里有一个解释怪怪的,你们发现了吗?

生10:4是黄瓜的数量,3是3倍,12是香蕉的总数。

生11:12是香蕉的数量,4是黄瓜的数量,12÷4表示……(生一时语塞)

生12:12÷4表示把香蕉平均分成3份。

师:为什么除以4?为什么平均分3份,每几根一份?

一名学生上讲台指着图片演示平均分3份的等分过程。

……

【赏析】三个问题层次清晰、逐级递进。首先通过问题“你看到了哪些数学信息?”引导学生对黄瓜和香蕉的数量进行感悟。其次,教师通过问题“它们的个数之间有什么关系?”引导学生寻找合适的路径,表达数量之间的关系——求和关系、相差关系、倍数关系,并对不同关系用文字表达,完整建构出数量之间的关系。其间,教师还可以结合图形直观帮助学生思考,再通过追问帮助学生重点理解倍数关系。最后通过问题“你能用算式表示它们之间的关系吗?”引导学生用算式表示倍数关系。引导学生用抽象的算式表达数量之间的关系,既为学生提供表达关系的工具,也是数学化的过程,学生感悟了关系,明白了本质,就能用算式抽象表达,真正理解算式的含义,加深对倍数关系本质的理解。这是关于倍的概念的核心问题,也是学生学习“倍的认识”的关键——先确定标准,然后比较,看另一个数量相当于有几个这样的标准,也就是这个标准的几倍。这样设计,循序渐进,从直观到抽象,从文字语言到符号语言,最后紧扣数量关系中的倍数关系,师生、生生多边互动,可有效实现对“倍”的概念的完整认知与深度理解,学生自主建构,初步识“倍”,一步步实现数学化。

片段2:结合算式表达“倍”

呈现第二张PPT(图略),这是一道有思维含量的趣味练习,PPT上呈现了无序排列、大小相同的蓝色、绿色、黄色3种不同颜色的圆。蓝色有18个,黄色有9个,绿色有3个。课件中呈现3个学习提示:你能找到它们之间的倍数关系吗?如果要找出倍数关系,需要找到哪些数学信息?用算式表达你找出的倍数关系。

师:数一数,从图中你可以找到哪些倍数关系?要结合算式哦。

生先数再列出除法算式。

师:我建议你们数一个写一个,因为这道题的倍数关系不止一种。

师板书:绿3个、黄9个、蓝18个。

小组讨论发现的倍数关系。

师:请你来说一说。

生1:蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2倍。

师:他是怎么知道的?算式应该怎样列?

生2:18÷9=2。

师:为什么用18÷9=2就能知道蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2倍?谁再来说一说每几个一份?

生3:把18平均分成2个9,每9个一份,可以分成2份。

师:谁再来说说谁是谁的几倍?

生4:黄色圆的数量是绿色圆的数量的3倍。

生5:9÷3=3,9可以分成3个3。

生6:蓝色圆的数量是绿色圆的数量的6倍,18÷3=6。

师:也就是18里面有6个3。

【赏析】用大小相同、无序排列的3种颜色的圆设计一组练习,特别有创意。这样可以催生学生不同的想法:蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2倍,蓝色圆的数量是绿色圆的数量的6倍,黄色圆的数量是绿色圆的数量的3倍。因为教师提供的图片中反映的数量关系比较丰富,所以学生找到的数量关系与表达的形式也较为丰富。学生能跳出图形直观,从图形个数的角度思考,用除法算式表达它们之间的倍数关系,不受图形无序排列的影响。这道练习通过“问题驱动—寻找信息—用算式表达”的递进顺序,让学生体会倍数关系的内涵,并明白数量和算式之间的逻辑关系,从而更好地理解“倍”的概念本质,知其然并知其所以然。借助除法算式学习“倍”,有利于促进学生理解從算式的角度表达倍数关系,从而逐步实现数学化。

片段3:实践感悟深入“倍”

呈现第三张PPT,图上有3种不同颜色的扣条和方块(见图2)。活动要求:用你手中的学具表示出4倍的关系。

图2

王老师为每一组学生准备了适量的两种学具,即扣条和方块,这两种学具都可以拼接。学生分组合作操作,他们选用若干扣条或方块,用合适的方式直观表达4倍关系。

分组操作前,王老师做适当引导。

师:操作前同学们首先要知道一个叫1倍,一个叫4倍。4倍关系不仅仅是数量上的,找找看,除了数量上有倍数关系,还能在其他地方找到倍数关系吗?

学生分组操作2分钟。

师:我们来看一下有几种表示方式。

展示第一种:4个方块(成田字格形状)是1个方块的4倍。

师:有没有4倍?除了数量是4倍关系,还看到哪里有4倍关系?

生:我看到大小有4倍关系。

师:从哪里看出大小有4倍关系?拿着1倍来比,第1倍在哪里?第2倍、第3倍、第4倍呢?

学生逐一放上去比对。

展示第二种:4条是1条的4倍。

师:有没有4倍?除了数量是4倍关系以外,还有什么是4倍关系?

生:我看出长度也是4倍关系。

师:到前面来比对。

学生到前面一倍一倍地比对,发现长度是4倍关系。

师:现在有个同学搭了这样的1倍,你觉得他的4倍应该有几个?(师高举着由4个方块拼成一排的组合体)

生:应该有16个。

教师拿出4个方块的组合体和16个方块的组合体,然后一倍一倍地比对,从长度上比对出是4倍关系。

师:如果这样是1倍,4倍应该有几个?(师高举2个方块的组合体)

师:如果是这样呢?(师高举由3个方块拼成一排的组合体)

……

【赏析】这个练习比较开放,能很好地帮助每个学生自主操作、深度参与,加深对“倍”数关系的理解。先放手让学生利用学具扣条和方块,自主创造倍数关系,使其在应用中深化对倍的理解;再通过丰富的直观模型,从数量、大小、长度等不同维度表达倍数关系,凸显倍数关系模型的本质。扣条可以表征个数、长度、面积的倍数关系,方块可以表征个数、长度、面积、体积之间的倍数关系,多维度表示倍数关系促使学生的认知更丰富、更多元。

纵观全课,教师仅用了3张演示文稿,第一张建构概念,让学生感受并表达数量关系,通过从图形直观到用算式表达的过程,促进每个学生建构对倍的认识;第二张巩固理解,并适度抽象,加强数学化,引导学生继续用算式表达倍数关系,借助精选的学习素材——3种颜色的圆片,帮助学生概括一般化的模型,进一步数学化;第三张实践深化,学生借助学具自主创造倍数关系,在丰富多样的表达“倍”的方式中探寻共同的本质属性,从而达成对概念本质的深度理解——倍数关系可以是个数之间的关系,可以是长度之间的关系,可以是面积大小之间的关系,还可以是体积大小之间的关系。教师充分利用学具即兴变式,在与学生对话和互动中促进学生借助丰富的直观模型深化认知,加深对倍数关系模型内涵实质的理解。

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