数学跨学科试题研究

黄贤明

摘 要：数学跨学科试题是指以数学学科内容为核心，融合其他学科知识、思想、方法等内容的试题，从跨学科内容的功能（目的）来看，可以分为点缀呈现型、情境应用型与综合拓展型三类。数学跨学科试题的价值包括：发展数学核心素养，感悟数学应用价值；积累其他学科素材，提升教师专业能力；丰富数学探究内容，优化数学育人方向。相关的教学启示有：关注试题背景的情境性，积极开展跨学科主题的实践活动；理解学科知识的耦合性，充分实现跨学科内容的课堂渗透。

关键词：初中数学；跨学科试题；跨学科教学

*

本文系江苏省苏州市教育科学“十四五”规划课题“数学理解视域下跨学科教学的实践研究”（编号：2022/LX/02/081/10）的阶段性研究成果。

数学是研究数量关系和空间形式的科学，源自人们对现实世界的抽象。数学学科的基础性与现代发展都指明了数学学科跨界、融合的必然。近年来，跨学科的数学教育逐渐成为研究的热点。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的主要变化之一就是优化了课程内容结构，包括以“综合与实践”为基础“设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求”［1］。

事实上，跨学科的内容早已存在于数学教学的方方面面。在教材的编排中、试题的编制中、教学过程的设计中，都会涉及跨学科的内容。此外，国内也涌现出许多指向数学跨学科教育的研究，如教材或中高考试题中跨学科内容的体现、基于跨学科内容的教学活动组织、包含跨学科内容的作业设计等。但较少有研究关注数学跨学科试题的类型与特点。研究数学跨学科试题不仅能为教师在中高考系统的复习中提供教学参考，还能为教师日常开展跨学科教学提供方向。下面，以2022年各地数学中考试卷中的跨学科试题为例，分析数学跨学科试题的类型与价值，并提出教学启示。

一、 数学跨学科试题的类型

数学跨学科试题是指以数学学科内容为核心，融合其他学科知识、思想、方法等内容的试题。从跨学科内容的来源分析，其可以分为科学、技术、工程、艺术四大类，涉及物理、化学、历史、建筑、经济等多个学科。从跨学科内容的功能（目的）来看，则可以分为以下几类：

（一） 点缀呈现型

在点缀呈现型数学跨学科试题中，跨学科内容仅提供了简单的背景，不需要从中抽象出数学知识，即与问题的关联不密切。此类试题中的跨学科内容仅起到丰富背景的“点缀”作用，处于“可有可无”的状态。不需要掌握其他学科的知识，也能解决问题。

例1 （2022年湖北省鄂州市数学中考试题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型。在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示，即21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…。请你推算22022的个位数字是（  ）

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

例1是一道生物学与数学的跨學科试题。它阐述了数学模型在生物学中描述、解释和预测种群数量变化的作用，同时给出了细胞分裂的问题背景，呈现了数学模型2n。但是，所需解决的问题围绕2n个位数字的规律，与所给的问题背景关联不密切，即使去掉相关背景或换成其他背景，也不影响问题的解决。因此，例1属于典型的点缀呈现型数学跨学科试题，并未体现跨学科思维的应用。

（二） 情境应用型

在情境应用型数学跨学科试题中，跨学科内容不仅提供了其他学科的问题情境，还期望学生通过数学的眼光发现（抽象出）其中的数学研究对象，并通过数学的知识、思维与方法来解释其他学科的现象，解决其他学科的问题。此类试题中的跨学科内容是为了掩饰数学问题而创设的问题情境。在解答的过程中，不涉及其他学科知识的应用，数学知识与其他学科的内容可以分离。

例2 （2022年贵州省遵义市数学中考试题）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度。小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度。

根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为    千米。（参考数据：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53）

例2是一道地理与数学的跨学科试题。它以探究北纬28°纬线的长度为目标，期望学生从立体的地球模型中抽象出平面的数学模型，从而明晰“所求纬线的长度即为以弦BC为直径的圆的周长”，进而只需利用28°角的余弦、垂径定理等数学知识求出BC的长，解决问题。此类试题相较点缀呈现型数学跨学科试题而言，对学生数学抽象、逻辑推理等数学关键能力的要求更高，更希望学生能够拨开跨学科内容的“外衣”，抽象出纯粹的数学问题加以解决，初步彰显跨学科思维的价值，体现数学学科应用的广泛性。

（三） 综合拓展型

在综合拓展型数学跨学科试题中，跨学科内容成为试题的有机组成部分，与数学知识相互交融。这类试题要求学生在综合化的跨学科情境中，抽象出以数学知识为核心的问题，融合其他学科的知识、思想与方法，形成问题探究的主要思路。同时，问题的解决还需要学生把握各学科知识之间的共同点，综合地应用数学与其他学科的知识，发挥数学阅读、数学抽象、数学建模等关键能力。这类试题中的跨学科内容属于数学与其他学科的交叉内容，与试题问题关联密切。

例3 （2022年湖南省娄底市数学中考试题）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想。”墩墩使用握力器（实物如图3所示）锻炼手部肌肉。如图4，握力器弹簧的一端固定在点P处，在没有外力作用时，弹簧的长度为3 cm，即PQ=3。开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4，弹力大小是100 N。经过一段时间的锻炼后，手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧的端点Q调到点C处，使弹力大小变为300 N。已知∠PBC=120°，求BC的长。

例3是一道体育、物理与数学的跨学科试题。它设置了墩墩使用握力器锻炼手部肌肉的体育学科情境，涉及物理中有关弹簧的知识，以及数学中的三角函数、勾股定理等知识的应用。在解决的过程中，学生需要从题干信息中结合图4提取出相关的物理信息与数学信息，进而借物理知识将信息数学化，得到纯粹的长度、角度之间关系的数学信息，最后利用数学知识来解决（具体如图5所示）。此类试题更重视跨学科内容的综合性渗透，体现数学与其他学科知识之间的跨界融合，需要较高水平的跨学科思维。

二、 数学跨学科试题的价值

（一） 发展数学核心素养，感悟数学应用价值

数学跨学科试题的本质是在跨学科的情境中，抽象出相关数学信息与问题，并在其他学科知识、思想与方法的辅助下，结合数学知识解决问题。因此，数学跨学科试题旨在引导学生用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达跨学科情境，进而在解决的过程中促进学生数学抽象、数学建模、逻辑推理等数学关键能力的发展。同时，学生经历了用数学知识解决跨学科问题的过程，感受到数学知识应用的广泛性，彰显出数学的现实价值。

（二） 积累其他学科素材，提升教师专业能力

数学跨学科试题是数学与其他学科知识之间关系的生动体现，其中的跨学科内容也是教师开展数学跨学科教学的重要素材来源。比如，例1中细胞分裂的数学模型就能有效地应用于“有理数的乘方”“幂的运算”等的教学中。因此，数学跨学科试题解决了教师在数学跨学科教学中“无米而炊”的现实问题，为数学跨学科主题或项目活动的开展提供了内容、视角和方向。同时，数学跨学科试题有助于教师积累数学跨学科素材，能不断提升教师的数学跨学科素养与开展数学跨学科教学的专业能力。

（三） 丰富数学探究内容，优化数学育人方向

数学跨学科试题的教学与常规的解题教学有较大的差异，需要帮助学生理清数学与其他学科之间的联系，引导学生从题干中将数学信息与其他学科信息灵活转化，直至形成问题解决所需的关键信息。因此，数学跨学科试题的出现会不断丰富数学探究的内容，并且能够为数学探究（包括研究性学习）活动的开展提供相关契机。此外，数学跨学科试题侧重学生核心素养的考查与跨学科思维的应用，这将促进教师不断优化教学形式，充分发挥数学学科的育人价值。

三、 教学启示

（一） 关注试题背景的情境性，积极开展跨学科主题的实践活动

跨学科试题最大的特征就是背景的情境性，这些情境大多存在于真实的自然和社会现象中，没有经过人为的分科处理。因此，教师要关注试题背景的情境性，以具体的现象为起点，确定数学跨学科教学的主题（项目）；然后，依托主题，形成以数学学科为核心的问题（任务）链，引导学生结合数学以及其他学科知识形成探究思路，开展实践活动。

比如，例2给出了测量纬线长度的地理学科情境，其本质为“纬度决定纬线的长度”。围绕该情境可以进一步联想到一些现实生活中的具体现象，比如“在同一纬度，物体的影长会随时间的推移而改变”。通过查阅资料，发现我国古代有一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器——圭表（如图6），它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）。由此，可以确定数学跨学科活动的主题：制作圭表。

在教学中，教师可以先呈现圭表模型，讲述圭表原理，然后给出如下任务链：（1） 请你将圭表模型抽象成几何模型，思考制作圭表需要得到哪些信息。（2） 请你了解正午太阳高度角与纬度的关系。（3） 冬至太阳直射点的纬度是南纬23°26′，夏至太阳直射点的纬度是北纬23°26′，苏州市所在的纬度为北纬31°3′。若圭表中表长为a米，请你计算出苏州地区冬至与夏至的日影长。（4） 请你结合上述任务，制作一个圭表，并在圭上标出冬至与夏至日影所在位置。

任务1需要学生抽象出如下页图7所示的几何模型，并指出制作圭表需要在确定表AC长的基础上，得到冬至与夏至的日影长。任务2需要学生通过查阅资料，得到正午太阳高度角θ、太阳直射点纬度δ与当地纬度φ之间满足θ=90°-|φ-δ|（记北纬为正值，南纬为负值）。同时，教师可借助图8帮助学生理解这一关系的本质原因。任务3与任务4则是对圭表基本元素的推演与计算，进而利用三角函数、勾股定理等知识得到相关数据。最终，让学生在动手操作中亲身经历圭表的制作过程，获得数学跨学科实践活动的经验。此外，还可让学生收集近期太阳直射点的纬度数据，推演与计算圭表中的对应位置，并在具体实践中检验所标位置的准确性。

在完成上述任务的过程中，学生经历了“现象—本质—现象”的转化过程，即从圭表模型出发，理解其本质内涵，回归到具体圭表的制作中。任务链将复杂的现实现象逐渐拆解为多个贴近学生认知基础与生活经验的小任务，促进学生在“制作圭表”的实践活动中实现数学知识的迁移与跨学科能力的提升。

（二） 理解学科知识的耦合性，充分实现跨学科内容的课堂渗透

学科知识的耦合性要求在一个问题的解决中，打破不同学科知识之间的壁垒，理解知识之间的内在逻辑结构，构建异质性知识的耦合路径，实现不同学科知识的有机结合。综合拓展型数学跨学科试题就是学科知识耦合性的重要表现。因此，教师首先要理解学科知識的耦合性，把握跨学科试题的知识背景，形成跨学科的问题（任务）等内容，促进自身跨学科素养的有效提升。其次，要基于问题的解决，能动性地应用跨学科内容设计相关教学活动，实现跨学科内容从“学科形态”向“教育形态”的转变，将跨学科内容渗透到数学课堂中。

比如，数学学科中的平行线知识就可以与物理学科中光的反射知识建立密切联系。在《平面图形的认识（二）》单元的复习教学中，可创设“制作潜望镜”的跨学科学习活动，让学生结合平行线的性质与判定以及光的反射定理思考潜望镜中镜子的摆放角度。［2］此外，在该单元内容的考查中，也可以围绕“如何让经过多次反射后的光线与原光线平行”的问题编制试题，让学生在深入探究解决问题的过程中理解学科知识的耦合性，实现学科的融合，发展数学核心素养，培养跨学科思维。

总之，数学跨学科试题是开展数学跨学科教学的一大途径，不仅为教师呈现了丰富的跨学科素材，也能够训练学生的跨学科思维，发展学生的跨学科能力。虽然新课标给出了“体育运动与心率”“国内生产总值调研”等数学跨学科实践活动案例，但是，仍旧有诸多可挖掘、可设计、可实施的数学跨学科教学素材隐藏在试题中。教师要做有心人，积极从数学跨学科试题中汲取灵感，真正发挥数学跨学科试题的价值。当然，教师也可以结合教材编排、教学实践与教学研究中获得的数学跨学科素材，编制出更多优秀的数学跨学科试题。

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：前言4.

［2］ 周炼，陈锋.任务群视角下单元后建构课的教学设计与实践——以苏科版“平面图形的认识（二）”为例［J］.中学教研（数学），2023（1）：1621.