一道习题引起的微探究教学*

郭立祥

(广东省中山市实验中学 528400)

1 问题的提出

高三一轮复习开展《向量的运算》单元教学时,笔者选择下面这道习题作为例题:

图1

2 基于习题的微探究教学

“微探究”是教师根据教学内容的一个知识点开展问题探究,在探究过程中组织、引导学生运用所掌握的基础知识和基本技能,通过自我探究与合作交流的方式进行学习.

2.1 微探究的情境创设

教学片断1

师:如果向量a,b前面的系数不相同会出现什么结果?

生1:上次月考的数学试卷中有一道类似题目,具体如下:

师:数学遵循复杂问题简单化,等号右边的式子如何化简?

师:很好!探究1在例题所考查的知识点的基础上,增加正弦定理应用,加大了难度.

教学过程反思 由于微探究的知识点出现在刚刚考过的月考试卷中,学生比较熟悉,且探究1的得分率比较低,学生也想搞清楚困扰自己解决问题的原因．从例题自然而然过渡到探究1,围绕“向量模长变化对于点的轨迹影响”创设的情境使得学生容易进入微探究,在课堂中其参与的积极性比较高.

2.2 微探究的“切口”选择

“切口”指面对需要解决的问题,选择一个知识点作为开展微探究的切入口,强化对于重点知识的理解.一般情况下,这个知识点就是一节课的教学重点或难点.为了便于进行微探究,“切口”的选择宜小不宜大,尽量选择学生比较熟悉和容易接受的知识点.在研究例题和探究1以后,选择“向量模长变化对于点的轨迹影响”作为本次微探究的“切口”.

教学片断2

师:如果把探究1中向量a,b的系数去掉分母正弦值,那么问题变成:

为了方便开展微探究,将班级52名学生分成四个小组,小组内部讨论3分钟以后,每一个小组都提交了结论,教师鉴定后选择第一组的结论为最优解,并由生3展示成果．

图2

课堂内,生4提出以下疑问.

生4:在探究1中,等式右边分母去掉模长,怎么办?问题变成如下形式:

师:这个问题很好!同学们仍然以小组为单位开展研究,我们看看哪一组能够给出完美的答案．

3分钟以后,四个小组均提交了答案,教师逐个检查后认定第二组的答案最完美,于是展示其研究成果．

2.3 微探究的拓展性

进行到此的微探究都是在同一个平面内,对于不共线向量a,b的模长进行适当变化,求点P的轨迹.如果在空间内对于三个不共面向量a,b,c的模长进行适当变化,如何求出点P的轨迹呢?

教学片断3

师:如果把例题中的平面拓展到空间,问题变化成如下形式:

水动力控制修复法。该技术的应用在有机污染修复中作用较强，核心应用模式就是井群控制系统，促使其较好实现水力梯度的有效改变，能够对于地下水不同污染层级的修复分离；该技术的应用需要对于上游分水岭和下游分水岭进行较好的设计和控制，促使其形成较为理想的整体治理效果。（2）屏蔽法。对于地下水有机污染的修复，借助于屏蔽法较为适宜，其主要就是实现对于有机污染水源的封闭控制，首先针对污染源进行控制，避免其形成明显的扩散威胁。

如何解决这个问题呢?大家仍然以小组为单位开展微探究,并给出本组的答案.

经过教师评判,第三小组给出的答案最优.小组代表展示成果如下:

图3

类比探究1～3中变化向量a,b,c的模长,其他条件不变,继续引导学生去探究点P的轨迹.

师:三个不共面且互相垂直的向量a,b,c,只对其中一个向量的模长进行适当变化,考虑到三个向量处于同等地位,不妨对向量a的模长进行变化,探究如下问题:

图4

两分钟以后各组都完成了任务,小组之间交叉评判,最终确定第四组的解答为最优解,由小组长代表该组展示成果,结果见图4,点P的轨迹为直线GF.

教师引导学生对a,b,c中任意两个向量的模长进行变化,进一步探究点P的轨迹.

师:三个不共面且互相垂直的向量a,b,c中,对其中两个向量的模长进行变化,同样也考虑到三个向量a,b,c处于同等地位,不妨对向量a,b的模长进行变化,探究如下问题:

每个小组内部讨论了2分钟以后,仍然没有一个小组给出结果.

图5

在本片断的探究即将结束的时候,教师给出如下阶段性总结:

师:探究4～6涉及的问题是对于互相垂直,且不共面的三个向量a,b,c的模长进行变化,借助长方体这一载体,或者建立空间直角坐标系来探究点P的轨迹.它们都是下列问题的特殊情况:

教学过程反思 对于一个问题展开的微探究,不一定都能够解决,但是微探究过程本身也是一种收获.从平面拓广到空间的过程展示出微探究的魅力,其中探究6虽然没有能够根据已知条件得到点P的轨迹,但是在微探究过程中也找到了不能够确定轨迹的原因以及解决问题的方法.与此同时,在解决探究6的时候,引入空间直角坐标系,利用空间点的位置变化来判断点P的轨迹,这种技巧与例题和探究1～5的解决方法不同,这也体现出微探究的价值.

3 对微探究教学的反思

著名数学家华罗庚提出,读书是一个从“由薄到厚”过渡到“由厚到薄”的过程.[1]同样,高三一轮复习也是一个夯实基础知识和基本技能的重要过程,一轮复习通常都是进行单元复习,因此复习每一个单元知识的时候,应尽可能理解到位,也就是平时的训练要“想多一点”,特别是应用复习过的所谓“旧知识、旧技能”的时候.上述由一道习题引起的6个探究,所涉及的知识大部分都是一轮复习已经涉及的内容,由浅入深地逐步展开微探究,以此训练学生应用知识的综合能力.在微探究过程中教师还要关注以下几点:

3.1 微探究并不是浪费时间

在微探究过程中除了例题中应用到的向量的平行四边形法则之外,还应用到单位向量、正弦定理、空间直角坐标系的坐标变化等知识.另一方面,微探究过程涉及更加复杂的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象和数据分析.在此过程中应着力避免就题论题,陷入题海战术,让学生参与知识的形成过程,提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.

3.2 微探究注重数形结合应用

抽象思维和形象思维的交替训练有利于提高学生微探究的效率.例如,本节探究给出5个图象,以便学生根据直观图象,运用抽象思维去解决问题,这就变得容易多了,同时也使得数形结合思想深深扎根于学生思维中,做到“能够画图的尽量画出图形”,从而养成良好的思维习惯.

3.3 微探究的问题设置

微探究过程中的问题设置既要考虑问题的梯度和系统性,还要考虑学生的整体一致与个体差异相结合.首先微探究涉及的所有问题都是对思维的逐步推进,整个探究过程追求思维过渡自然,跳跃度不能够太大.其次还应该考虑学情差异,每个学生都有自己的“最近发展区”,它是微探究维度设置的依据.本节课紧紧围绕“向量模长变化对于点的轨迹影响”,从平面过渡到空间的过程涉及从一个参数到多个参数,从特殊到一般,循序渐进地进行微探究.

借助微探究将知识系统化是高三一轮复习的方向,教师应始终把握微探究的引擎,由浅入深,引导学生运用所学的知识和技能去解决实际问题.在进行微探究的过程中,可能会出现一些错误或者遇到无法解决的问题,但是能够发现错误或者确定根据现有知识无法解决也是一种收获,这是夯实基础知识和基本技能的一个弥足珍贵的探索过程.正如爱因斯坦所说:“探索真理比占有真理更为可贵.”[2]微探究是提高学生创新能力的重要途径,也是一线“数学人”乐此不疲追求的价值体现.