非对称信道相位匹配量子密钥分发

周江平 周媛媛 周学军

(海军工程大学电子工程学院,武汉 430033)

经典相位匹配量子密钥分发要求信道对称,而实际应用中非对称信道应用场景更加普遍.为研究信道非对称性对相位匹配协议性能的影响,基于经典相位匹配协议框架提出非对称相位匹配协议,建立相关数学仿真模型,并对信道非对称情况下诱骗态和统计波动等对系统的影响进行仿真分析.结果表明: 信道非对称性对系统性能影响巨大,随着信道衰减差异的增大系统性能减小,且减小速度逐渐加快,超过4 dB 时已无法生成密钥;诱骗态方案不能改变系统对信道衰减差异的容忍度,但在信道衰减差异较大时,增加诱骗态可以显著提升系统性能;随着数据长度的增大,系统对信道衰减差异的容忍度逐渐提升,当数据长度大于1012 时,这种提升不再明显,与对称信道相比,当信道衰减差异为2 dB 时,随着数据长度的增大,系统性能提升更加明显.

1 引言

量子密钥分发[1](quantum key distribution,QKD)基于量子力学基本原理,可实现远距离双方无条件安全通信,是应对经典密码体制因依赖计算安全而受量子霸权威胁的有效手段.Bennett 和Brassard[1]于1984 年提出BB84 协议,开启了QKD研究的新征程.随后新的QKD 协议不断被提出,如诱骗态协议[2]、测量设备无关协议[3](measurement device independent,MDI)、循环差分相移协议[4]等,使QKD 系统在安全性、密钥生成率和安全传输距离等方面的性能得到较大提升.然而,这些协议均难以突破线性密钥生成率边界[5,6](Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi Bound,PLOB).2018 年,Lucamarini 等[7]提出双场(twin field,TF)协议,将密钥生成效率R和η关系由R≤O(η) 改善为,突破了PLOB 界.Ma 等[8]将“场”具体化,提出相位匹配 (phase matching,PM)协议,并对其安全性进行严格的证明,是目前较优的TF 变种协议之一[9].

理论上,针对安全性,Lin 等[10,11]从不同的方面再次对PM 协议的安全性进行分析;针对编码方式,Shen 等[12,13]提出了基于轨道角动量和基于脉冲位置调制两种不同编码方式的PM 协议;针对实际应用,Yu 等[14]对自由空间中PM 协议的应用进行了研究,Cui 等[15]对基于卫星的PM 协议进行了研究,Han 等[16,17]分别针对PM 应用中信源问题进行了研究.实验上,Fang 等[18]基于PM 协议在302 km 和402 km 处都突破了PLOB 界,最远在502 km 处密钥生成率仍能达到0.118 bit/s.Ma等[19]对基于波分多路复用的PM 协议在量子网络中的应用进行了研究,讨论了信道噪声对密钥生成率的影响.PM 协议在理论和实际中都得到广泛的研究.

然而,实际应用中信道非对称情况更加普遍,量子密钥分发网络中由于各接入节点和中心节点的相对位置不同,存在信道不对称情况,移动量子密钥分发中由于自由空间信道的时变性,信道难以维持对称.经典PM 协议假设密钥分发双方信道具有对称性,为满足这一要求,可以给衰减小的信道额外增加衰减,但是这无疑会减小系统密钥生成率和安全传输距离.Wang 等[20]基于非对称信道对MDI 协议进行研究,提出了性能优化方案,与MDI协议不同,PM 协议通信双方仅在信源强度相同时才能生成密钥,因而无法通过差异化调整信源强度的方式抵消信道非对称所带来的影响以优化系统性能.Yu 等[21]对基于自由空间信道的PM 协议进行研究时,给出信道非对称情况下,三诱骗态PM协议性能,但没有研究信道非对称性对PM 协议性能影响.

本文针对信道非对称问题,建立非对称PM 协议仿真模型,研究信道非对称性对PM 协议性能的影响.首先对非对称PM 协议模型及其安全性进行分析,随后给出非对称PM 协议仿真数学模型,最后对信道非对称性对PM 协议性能的影响进行仿真分析,并给出相关结论.

2 非对称PM 协议模型及安全性分析

非对称PM 协议模型如图1(a)所示.图中,L和R 分别表示Charlie 端左侧和右侧检测器,A和B 分别表示密钥分发两方,A′和B′分别表示A、B 双方初始量子比特等效通道.与经典PM 协议不同,非对称PM 协议模型中,信道中出现不对称的衰减.通过对等价纠缠提纯协议的安全性证明,文献[8]中协议Ⅲ(本文简称协议Ⅲ)的安全性得到证明,基于协议Ⅲ,对非对称PM 协议的安全性进行分析.

图1 (a) 非对称PM 协议模型;(b) 基于纠缠的PM 协议模型Fig.1.(a) Asymmetric PM protocol model;(b) entanglement-based PM protocol model.

基于纠缠的PM 协议如图1(b)所示,具体流程如下.

1)态制备.可信第三方生成态ρ并经过分束器生成脉冲分别从A 和B 发送至不可信第三方Charlie,A 和B 初始化量子比特|+i〉并利用相位控 制门Cπ对相位进行调制,Cπ表示从量子比特到光模式映射的相位控制门,其表达式为Cπ=|0〉A′〈0|⊗UA(0)+|1〉A′〈1|⊗UA(π),其中UA(φ)=

2)测量.Charlie 对接收到的光进行相干检测并记录检测器响应情况.

3)声明.Charlie 对外声明检测结果.

4)筛选.当仅有L/R 响应时,保留相应的量子比特,如果是R 响应,还需对B 应用Pauli Y-门.

5)参数估计.重复上述过程足够多次数,A 和B 得到一个2n量子比特态随机采样来估计比特错误EZ和推导相位错误EX.

协议Ⅲ与上述基于纠缠的PM 协议等价,而基于纠缠的PM 协议安全性由Lo-Chau 安全证明[22]和Shor-Preskill 安全证明[23]共同保证,因此协议Ⅲ安全性得到证明.

非对称PM 协议并不改变信源端量子态的制备方式,保持µa=µb=µ/2,因此与协议Ⅲ中具有相同的相干态以及相同的初始化量子比特;在测量端量子态测量的方式不变,对经信道传输过来的相干态 A和B 进行测量,与对称信道的差别仅体现在测量结果上,相较信道对称时的信息损失,信道的非对称性可能会造成额外的信息损失,但这种损失本质上仍是信道损失,并不会造成信息的泄露,从而产生安全隐患.在测量结果的声明、密钥的筛选、参数的估计以及最终密钥的提取上,均与原始PM 协议保持一致.因此仅在信道损失上有所不同的协议,可以认为两种协议等价,因此非对称PM 协议具有与原始PM 协议相同的安全性.

相较于对称信道,信道的非对称特性不会引入额外的实际安全性问题.一方面,从文献[8]中协议Ⅲ的安全性证明可以看出,其与信道特性无关,上文中通过协议等价的方式证明了非对称情况下PM 协议的安全性;另一方面,相位匹配协议作为TF 协议的一个变种,具有与TF 协议相同的安全性,Wang 等[24]通过理论分析,给出了TF 协议在非对称条件下的安全性证明,也为非对称条件下PM 协议的安全性奠定了基础.

总体来看,协议的安全性与信道特性无关.信道非对称仅会对最终系统性能产生影响,而不会对系统的安全性产生影响.

3 非对称PM 协议相关参数

针对非对称信道,需对经典PM 协议中相关参数进行调整和适应性改进.基于原始PM 协议框架[8],对相关参数在非对称信道条件下的形式进行推导.

3.1 检测概率

假设信道为纯损失信道,A,B 与Charlie 间信道传输率分别为ηa和ηb,包括信道、检测器等损失.不失一般性,假设A 和B 都发送0,且相位索引ja=jb=0 ,全局相位分别为φa和φb,且相位差φδ=φb-φa.

在A 和B 对光脉冲进行编码后,信源端量子态可以表示为

其中,a†和b†分别为A 端和B 端的生成算符.

信道对生成算符的影响可以表示为

其中,s†和t†分别为A 与Charlie 之间信道(后文简称A 信道)和B 与Charlie 之间信道(后文简称B 信道)的特征算符.

经过信道后,量子态可以表示为

在Charlie 处,经过干涉后,量子态可以表示为

其中,l†和r†分别为图1 中L 检测器和R 检测器的生成算符.

因此,对于单光子情况,不同的检测结果出现的概率如下:

φδ服从一定的概率分布,要想得到上述各概率值,需要对φδ进行积分.在相位后补偿过程中,PM 协议会根据参考相位差给出一个补偿系数,等价于参考相位差φ0服从 [-π/M,π/M) 的均匀分布,如果相位索引ja=jb=0 ,全局相位分别为φa和φb,那 么φa和φb分别服从 [ 0,2π/M) 和[φ0,2π/M+φ0)的均匀分布,因而φδ=φb-φa的概率密度函数可表示为

3.2 计数率、增益和错误率

首先分析k光子计数率Yk,根据定义:

其中,式中约等于号处忽略了高阶φδ的影响,令sin2(φδ/2)=0.

与Yk进行相同的近似操作,忽略高阶φδ的影响,总增益Qµ可别表示为

其中,M为相位分片数,通常情况下M一般取16,2/M为筛选因子,f为实际纠错算法效率.H(x)=-xlog2x-(1-x)log2(1-x) 为香农信息熵函数.表示相位错误率,需进行估计,根据文献[8]可得:

其中,qk表示检测到的信号中|k〉光子态信号所占比率,可以写为

其中Pµ(k) 表示信源强度为µ时发送|k〉光子态的概率,由信源决定.

4 仿真分析

假设光源为弱相干态光源,光子数服从泊松分布,仿真参数见表1[8].

表1 主要仿真参数Table 1. The Main parameters in numerical simulations.

4.1 信道非对称性对系统的影响

4.1.1 信道非对称性对相关参数的影响

假设A 和B 之间信道的总衰减为10 dB,即-10 lg(ηaηb)=10,并以其信道衰减的 差值αδ=-10 lg(ηa/ηb)来衡量信道的不对称程度.

单光子计数率Y1和全局增益Qµ随αδ变化的曲线如图2 所示.图2 中,A 和B 信道衰减相同时,即横坐标为0 处,Y1和Qµ均取最小值,随着αδ绝对值的增大,Y1和Qµ也会增大.这是因为,信道总衰减不变时,信道差异越大,其中一方必然与Charlie之间衰减更小,从而使得一方光子到达Charlie 端的概率更大,使得Y1和Qµ增大.从这两个参数看,信道的非对称有利于提高接收端的有效检测数量,对提高密钥生成率具有积极贡献.但是这不能抵消信道非对称导致错误率升高所带来的影响.

图2 单光子计数率和全局增益随信道衰减差变化情况 (a)单光子计数率Y1;(b)全局增益QµFig.2.Variation of the single-photon yield and total gain with channel attenuation difference: (a) Single photon counting rate Y1;(b) global gain Qµ.

图3 量子比特误码率和相位错误率随信道衰减差的变化Fig.3.Variation of QBER and phase error rate with channel attenuation difference.

Qµ,直接对密钥生成率产生影响,在其综合作用下,密钥随信道差异αδ变化情况如图4 所示.

图4 PM 协议密钥生成率随信道衰减差的变化Fig.4.Variation of PM protocol key generation rate with channel attenuation difference.

可以看出,在A 和B 信道总衰减一定的情况下,密钥生成率会随着αδ的绝对值增大而减小,且下降速度越来越快.在αδ绝对值大于4 dB 时,系统无法再生成密钥.这说明,虽然信道的非对称增加了有效响应,但是误码率也随之增大,最终系统密钥生成率还是会因信道的不对称而下降.需要说明的是,并不能通过增大信道衰减较大一端的发送信号光强来补偿信道的衰减,这样会破坏信源端量子态制备的约束,导致系统存在安全隐患.

4.1.2 信道非对称对密钥生成率的影响

假设A 和B 到Charlie 的信道衰减差αδ分别为0,3,4,6 dB 时,密钥生成率随A 和B 信道总衰减的变化情况如图5 所示.

图5 不同信道差异时密钥生成率随信道总衰减的变化Fig.5.Variation of key generation rate with total channel attenuation for different channel differences.

图5 给出了5 种不同的情况下密钥生成率的图像,粗的虚线表示原始PM 协议,带“+”标记的点划线表示基于非对称PM 协议且αδ=0 dB 的情况,带“圆圈”标记的点线表示αδ=3 dB 时情况,带“三角形”标记的点线表示αδ=4 dB 时情况,细虚线表示αδ=6dB 时情况,实线表示PLOB 界.

从图5 可以看出,经典PM 协议与αδ为0 dB时非对称PM 协议密钥生成率曲线重合,这说明本章提出的非对称PM 协议在信道对称时可以退化到原始PM 协议,进一步说明了非对称PM 协议的合理性.相对于对称情况,当αδ为3 dB 时,信道总衰减小于70 dB 时,密钥生成率下降约4 dB,能生成密钥的最大信道总衰减减小7 dB,且只有在信道总衰减为56—74 dB 这一较小范围时才能突破PLOB 界;当αδ为4 dB 时,系统已无法突破PLOB 界,密钥生成率下降约10 dB,能生成密钥的最大信道总衰减减小20 dB;当αδ为6 dB 时,其图像在信道总衰减大于4 dB 时截断,尽管系统信道总衰减较小,但由于信道的非对称性导致无法生成密钥;图中αδ取3,4,6 dB 时的图像在信道总衰减为0—4 dB 时有重叠部分,这是因为当信道总衰减没有达到信道衰减差时,仅增大A 信道衰减,保持B 信道衰减为0 dB 不变,因此αδ不同时的图像在起始段处理相同,图像会有重叠.

总体来看,信道的非对称性对密钥生成率影响较大,两条信道差异过大时,这种差异取代信道衰减成为制约系统性能的主要因素,甚至使系统在信道总衰减较小的情况下也无法生成密钥.

4.2 实际应用中非对称PM 协议

4.2.1 诱骗态数量非对称PM 协议性能的影响

图6(a),(b)分别所示为二诱骗态和三诱骗态非对称PM 协议在不同信道传输率时密钥生成率的等高线图,密钥生成率从中间向两边逐渐减小,最终形成两条明显的边界,表明随着信道之间差异的增大,密钥生成率逐渐减小直至无法生成密钥,与图4 和图5 的结论可相互印证.同样,理想情况下非对称PM 协议密钥生成率的等高线图也具有明显的边界,图中用虚线和实线分别表示其上下边界(后文简称为理想密钥生成率边界).对比可知,二、三诱骗态方案的密钥生成率边界都十分接近理想情况,没有使得相应的边界显著收缩,这说明诱骗态方案对非对称PM 协议仍然有效;此外,还可说明诱骗态的数量对系统容忍信道非对称的程度并无明显影响.因此在选择诱骗态方案时,可以不考虑信道非对称度的约束.

图6 不同诱骗态数量时密钥生成率随信道传输效率变化等高线图 (a) 二诱骗态;(b)三诱骗态Fig.6.The contour plot of key generation rate as a function of channel transmission efficiency for different numbers of decoy states: (a) Two-decoy-state;(b) three-decoystate.

图7 所示为αδ分别为0 dB 和4 dB 时,二诱骗态和三诱骗态非对称PM 协议密钥生成率随信道总衰减的变化情况.虚线表示理想对称情况下非对称PM 协议密钥生成率.在αδ=0 dB 时,二诱骗态和三诱骗态非对称PM 协议密钥生成率差异极小,且都十分接近极限值,但是当αδ=4 dB 时,三诱骗态PM 协议明显优于二诱骗态PM 协议,特别是在信道总衰减超过50 dB 时,密钥生成率提高65%以上,且能生成密钥的最大信道总衰减提升3 dB.对于非对称信道情况下,采用三诱骗态可以有效提升系统的性能.

图7 不同诱骗态数量时密钥生成率随信道总衰减变化情况Fig.7.Variation of key generation rate with total channel attenuation for different decoy states.

4.2.2 数据有限长对非对称PM 协议影响

考虑统计波动,采用高斯分析对基于三诱骗态的非对称PM 协议进行分析.数据长度较大时,不同信源强度发送概率对系统性能影响极小,不失一般性,仅对信源强度的取值进行全局搜索优化,各强度发送概率pµ=pv1=pv2=pω=0.25 .不同数据长度下,非对称PM 协议密钥生成率等高线图如图8 所示.

图8 不同数据长度情况下密钥生成率随信道传输率变化图像 (a) N=108;(b) N=1010;(c) N=1012;(d) N=1016Fig.8.Image of key generation rate changing with channel transmission rate under different data lengths: (a) N=108;(b) N=1010;(c) N=1012;(d) N=1016.

图8 分别表示数据长度N=108,1010,1012,1016时,密钥生成率情况,子图中直线为理想密钥生成率边界.对比各子图可以看出,数据长度小于1010时,系统密钥生成率下降明显,且边界收缩幅度较大,对信道的非对称性容忍度进一步降低,在数据长度较短如 1 08时,需额外关注信道非对称性对系统产生的影响.随着数据长度的增加,密钥生成率逐渐逼近理想情况的边界.

不同信道衰减差情况下,数据长度对密钥生成率的影响如图9 所示.图9 中,分别给出αδ在0 dB和2 dB,数据长度N为 1 010,1 012,1 016时密钥生成率图像.总体来看,信道差一定,密钥生成率会随着数据长度的减小而减小.数据长度达到1016时,密钥生成率接近理想情况.当αδ为0 dB 时,N取 1 010系统在信道总衰减为56 dB 时刚好达到PLOB 界,而当αδ为2 dB 时,N需取 1 012,系统才能在信道总衰减为62 dB 时达到PLOB 界,无法超过PLOB 界,没能体现出PM 协议的优势.当系统信道总衰减小于55 dB时,αδ为0 dB,N取1010时,密钥生成率仍然比αδ为2 dB,N取 1 016时 要大,可见在信道总衰减较小时,信道衰减差对密钥生成率影响较大;当系统信道总衰减大于55 dB时,αδ为0 dB,N取 1 010时的密钥生成率急剧减小,相对αδ为2 dB,N取大于 1 012的情况无优势,但相对αδ为2 dB,N取 1 010的情况仍然有较大优势;当αδ为0 dB,N取大于 1 012时,密钥生成率已超过αδ为2 dB 的极限.上述情况说明,信道衰减差导致的性能下降,只有在数据长度较小、信道总衰减较大时,才能在一定程度上通过增大数据长度来弥补,且这种提升上限较低.

图9 不同信道衰减差情况下数据长度对密钥生成率的影响Fig.9.Effect of data length on key rate under different channel attenuation differences.

5 结论

本文针对实际中密钥分发双方信道常处于非对称状态这一现象,提出了非对称PM 协议,建立了相关参数仿真模型,推导了非对称PM 协议总增益和量子比特误码率公式,从诱骗态方案、统计波动分析等两方面对非对称PM 协议进行了分析.仿真结果表明: 信道的非对称性会对密钥生成率产生较大影响,信道差异越大,密钥生成率越小,通过光衰减器调节信道衰减,保持信道之间的对称,对提升系统密钥生成率具有积极作用;对于信道差异较大的情况,三诱骗态比二诱骗态性能更优;数据有限长对非对称PM 协议同样有不利影响,数据长度越小,密钥生成率越小,且密钥生成率边界会收缩,当数据长度大于 1 012时,继续增大数据长度并不会对系统的性能有明显提升.在PM 协议的实际应用中,充分考虑非对称信道的影响具有重要意义.