综合曲率和协整识别环境温度影响下的结构损伤

周 翔， 周泽文， 常 军

（苏州科技大学土木工程学院，江苏 苏州 215011）

近30 年来，基于静载荷的结构损伤识别方法发展迅速[1-3]。 在实际工程中，环境温度引起的损伤特征参数的变化往往会掩盖由结构损伤引起的损伤特征参数的改变[4]，导致损伤识别结果出现偏差，从而影响桥梁维护策略的正确性。 因此，变化的环境温度对结构损伤识别的影响已成为国内外学者日渐研究的热点[5]。

目前，相关研究方法大致可以分为两类：一是根据桥梁健康监测信号建立环境温度与结构响性的对应关系，例如：插值分析、随机子空间等方法[6-7]，该方法的缺点是需要记录环境变量的值，实际使用中存在困难；二是根据监测信号识别结构损伤，例如：主成分分析法、自适应神经网络和协整法等[8-10]，这种方法的优点是不需要记录环境变量的值，使用简单且适用性更高。

源自于计量经济学的协整被引入结构健康监测领域后，可以有效地去除环境温度的影响[11]。Cross 等人[12]以频谱幅值作为协整变量用于复合板结构损伤识别，有效地消除了环境温度对损伤识别的影响且能准确地识别损伤；Liu 等人[13]以梁伸长率作为协整变量用于钢架桥的损伤识别，有效地消除了环境温度对损伤识别的影响并能较好地识别出损伤；周翠[14]以挠度为协整变量用于识别简支梁结构的损伤，有效地消除了温度对损伤识别的影响且能定位损伤单元。 梁亚斌[15]将频率作为协整变量，以简支梁结构为研究对象进行损伤识别，剥离出了温度效应对损伤识别的影响，并能较快地识别出损伤。 曹亚东等人[16]以AR 模型系数为协整变量用于海洋平台结构损伤识别，有效地消除了环境温度对损伤识别的影响且能很好地定位损伤单元。 这些研究大大推进了协整在温度影响下结构损伤识别的发展，但已有的研究成果仍不能满足现阶段对于损伤识别的需求，且无法在实际工程应用中很好地发挥作用。 例如，以挠度为协整变量会引起无损梁单元节点的损伤指标发生较大的变化，导致损伤识别步骤繁琐且时间较长；以AR 模型系数为协整变量识别结构损伤时存在一定的局限性。 本文提出以曲率作为协整变量，将曲率与协整相结合，研究了环境温度对简支梁结构损伤识别的影响，通过数值模拟的方式，探讨并提出的曲率模态和协整的综合方法的可行性，为在实际工程应用中提供参考。

1 基本原理

1.1 协整理论

1978 年Engle 和Granger 提出协整理论及其方法[17]，为非平稳时间序列变成平稳时间序列提供了途径。

如果序列y通过d次差分变成平稳序列，而d-1 次差分却不平稳，那么称序列y为d阶单整序列，可为记y～I（d）。 在k维向量时间序列yt=[y1t，y2t，…，ykt]T（t=1，2，…，T）中，其分量序列皆为非平稳时间序列。 若存在一个非零向量β使得序列yt的线性组合

满足平稳性要求，即残差ut符合零均值、同方差的白噪声序列，那么称向量βT为序列yt的协整向量。 本文采用Johansen 协整检验确定β[18]。

1.2 ADF 单位根检验

Johansen 协整检验的前提条件是协整变量序列为一阶单整序列。 序列阶数平稳性的检验方法通常采用Augmented Dickey-Fuller（ADF）检验。 检验模型

式中，Δ为差分算子，定义为；η和为βi参数；a为常数项；p为滞后阶数。参数η的计算通常采用最小二乘法；p值通常由AIC（Akaike Information Criterion）准则确定。

平稳性检验如下

是通过η的最小二乘法估计得到；ση是η的标准差估计。将计算得到的tη与DF 表[19]中临界值tα进行比较，如果tη＜tα，则原序列yt是平稳的，yt为零阶单整平稳序列；如果tη＞tα，则表明原序列为非平稳的；再对一阶差分后的序列Δyt进行平稳性检验，此时tη＜tα，则说明原序列yt为一阶单整平稳序列。

1.3 Johansen 协整检验

协整检验旨在找到一个合适的协整向量将非平稳时间序列变成平稳时间序列。 检验步骤如下，首先建立一个VAR（p）模型，变量为k（k≥2）个情形：

式中，yt的各分量都是非平稳I（1）的变量；xt是一个确定的d维外生向量，代表趋势项、常数项等确定项；ut是k维扰动向量。 式（5）经变换可得

将yt的协整检验转变为对矩阵Π 的分析问题，这也是Johansen 协整检验的基本原理。最后讨论Π 的秩为r（0≤r≤k）的情形（其它无意义），可以将Π 分解为Π=αβT，其中α和β都是k行r列的矩阵，β的列向量即为目标协整向量，通常采用β第一列向量以取得最好的协整效果。

1.4 X-bar 控制图

当基准样本的残差序列符合正态分布时，可通过准则得到残差序列的控制限值，以此建立置信区间[4]

式中：CL 为残差的均值；σ为残差的标准差值。 对于检测样本，当残差序列处于控制限之内时说明该节点没有发生损伤，当残差序列超出控制限值后则判断为该节点发生了损伤。

2 综合曲率和协整的损伤识别

曲率的物理意义表示曲线在某一点的弯曲程度，由材料力学可知其公式表达为

式中，ρ为截面的曲率；M为的弯矩；E为弹性模量。在截面弯矩M不变情况下，截面刚度EI决定了曲率ρ的大小，而影响EI的因素有单元损伤的设定与环境温度的影响。 因此在考虑为曲率识别简支梁损伤时受到环境温度的影响下，利用协整法去除环境温度的影响。 本文采用曲率为协整变量的原因是在满足作为协整变量的条件下，相对于位移，曲率对局部损伤更加敏感。

基于环境温度的影响，将结构采集的挠度数据计算成曲率，选择曲率为协整变量，并对曲率进行协整处理，以协整残差作为损伤指标，对去除温度影响的理论与定位损伤理论公式进行推导说明，并将其应用于简支梁在环境温度影响下的损伤识别中。

2.1 简支粱推导

混凝土简支梁模型如图1 所示，在跨中集中荷载P作用下，损伤发生在左半跨处。 则简支梁损伤前后的曲率[20]可表达为式（12）、（13）。

图1 两端简支梁模型

式中，m表示第m个测点；xp表示荷载作用位置；L表示简支梁跨度；α为附加柔度系数，表示损伤程度。U（x）为阶跃函数，当x＜xp）时，U（x-xp）=0；当x≥xp时，U（x-xp）=1。δ（x-x0）为狄拉克函数[21]，当x≠x0时，δ（x-x0）=0；当x=x0时，δ（0）=∞。EI表示简支梁的截面抗弯刚度。 由文献[1]可知曲率模态反映了结构的固有特性。

协整法中，在无损状态下利用参考节点与待测节点之间的曲率关系建立协整方程。 假设与为参考测点和检测测点的曲率，则有

式中，u表示为符合零均值、同方差的白噪声序列。 式（13）对应于论文1.1 节协整理论中的式（1），βm、βn表示为协整系数。 由此可知，简支梁任意两个节点曲率序列满足协整关系，当对应节点发生损伤时，其相应的协整关系也会遭到破坏而发生改变，此时，原来的协整关系不再满足现在的要求，转而将损伤后的简支梁结构第m、n节点的曲率序列代入原协整方程时，u将变化为ud。

当损伤发生时，曲率变化可表达为

由式（16）可知，当x≠x0时，δ（x-x0）=0；所以Δϕ几乎无变化；当x=x0时，δ（0）=∞，所以Δϕ发生较大变化。 此时，对式（14）、式（15）作差得到测点曲率的协整残差的变化为

此处的协整残差Δud=u-ud，且Δud≠0。 从而可得，协整残差与温度变化表现无关，可以有效地去除温度的影响，当简支梁结构发生损伤时，原来的协整关系将会遭到破坏，不再适应现在的协整要求，进而使得该节点的协整残差序列Δud发生大幅度变化，因此可以判断为该点发生了损伤。

2.2 损伤识别步骤

由以上理论推导可以看出：当梁单元发生损伤时，单元相邻节点的检测样本的残差幅值会同时超出控制限值，而无损单元相邻节点的检测样本的残差幅值则不会出现此种状况。 具体识别步骤如下：

（1）无损状态下，在变化的环境温度中采集简支梁单元节点的挠度数据；

（2）选择挠度数据计算出曲率并生成曲率序列；

（3）采用ADF 单位根检验方法，检验各个节点的曲率序列是否满足一阶单整序列条件；

（4）对满足一阶单整的曲率数列，随机选择一个节点曲率序列作为参考序列，并依次对每个需要检测的节点曲率序列进行Johansen 协整检验以确定协整向量β；

（5）使用协整向量对各个节点曲率序列建立协整方程，生成协整残差序列；

（6）用X-bar 控制图为协整残差序列建立置信区间，用于评定损伤状态下的协整残差序列，以此识别结构是否发生损伤。

3 数值模拟

3.1 环境因素及其影响

简支梁数值模拟的环境温度由两部分组成，一是基准工况的温度样本，二是待检工况的温度样本。 基准工况温度样本采用了2019 年1 月1 日到2019 年12 月31 日北京某地的室外温度数据，该温度数据记录为每天8 点、14 点和24 点的温度，共计1 095 个样本点。 待检工况温度样本由-14～34 ℃每隔3 ℃取样8 次，共计136 个样本点，如图2 所示。 混凝土和钢的弹性模量与温度的关系如图3 所示[4]。

图2 北京该地的室外温度

图3 混凝土和钢的弹性模量随温度的变化关系

当环境温度不变时，结构响应在简支梁单元损伤后发生了改变，如图4 中1、3 点所示[22]，所以，结构响应可以评估简支梁单元的安全状态。 但在环境温度发生变化时，即使简支梁单元发生了损伤，结构响应也可能不会发生改变，如图4 中2、3 点所示，此时，结构响应将无法评估简支梁单元的安全状态。 因此，环境温度的改变可能会掩盖结构的损伤状态。 在本文简支梁数值模拟中，随机提取一组单元节点的基准数据，如图5 所示，随着样本点的变化，曲率幅值发生了较大变化。 因此，直接使用曲率作为损伤指标将无法正确评估简支梁结构的安全性。

图4 温度与结构响应关系图

图5 温度影响下曲率幅值变化图

3.2 混凝土梁模型

为了解决提出的综合曲率和协整方法适用于变化的环境温度和运行状况的损伤问题，在通用有限元软件ABAQUS 中建立了混凝土简支梁数值模型，如图6 所示。混凝土简支梁模型基本参数为密度2 300 kg/m3，泊松比μ=0.2，总长为1.8 m、单元长度0.09 m，截面高宽尺寸为0.16 m×0.2 m，跨中沿梁顶竖直向下施加集中荷载P=30 kN。 采用了2 种损伤工况，工况一为单点损伤，工况二为多点损伤。 具体损伤工况设定见表1。

表1 数值模拟损伤工况

图6 混凝土简支梁数值模型（单位：mm）

（1）工况一。 工况一为单点损伤，考虑为验证所提方法在变化的环境温度下和跨中集中荷载作用下对混泥土梁识别损伤与定位损伤问题的有效性。损伤的模拟在9 单元，即节点8 与9 之间。 混泥土梁单点损伤识别结果如图7 所示。

图7 无噪声下工况一识别结果（a：节点1；b：节点2；c：节点3；d：节点4）

由图7 可知，节点7、10 检测样本残差序列均处于控制限值内，节点8 与节点9 检测样本残差序列同时超出了控制限值，由本文所提方法可知，单元9 发生了损伤，识别结果正确。 其它单元节点检测样本残差序列均处于控制限值内，单元无损，限于篇幅限制及重复性已省略。

上面的模拟没有考虑系统噪声的影响。为了验证该方法的抗噪性，添加一定量的噪声。噪声模型参考文献[14]中公式，引用公式

其中，Sn添加噪声后的信号；S为真实测量信号；α为噪声水平；rms 为均方根；ϕmax和ϕmin分布表示曲率序列的最大和最小包络；R表示独立正态分布变量，满足零均值、单位标准差。

在相同条件下， 分别将10%、15%和20%的噪声加入到曲率序列中， 所有测试都表现良好。 此处给出20% 噪声水平的检测结果，如图8 所示。 与没有噪声的结果相比，协整的残差序列幅值波动更大，控制限值也相应增大，但噪声并没有掩盖损伤信息，表明该方法具有较强的抗噪性。

图8 20%噪声水平下工况一识别结果（a：节点7；b：节点8；c：节点9；d：节点10）

（2）工况二。工况二为了验证所提方法对于混凝土梁模型同时识别多处损伤的准确性，设定为多点损伤，损伤模拟在6 单元和9 单元，即节点5 与6 和节点8 与9 之间，且在提取的结构位移序列中加入20%高斯白噪声后计算为曲率变量，然后根据所提方法识别混凝土梁单元的损伤，识别结果如图9 所示。

图9 20%噪声水平下工况二识别结果（a：节点4；b：节点5；c：节点6；d：节点7；e：节点8；f：节点9；g：节点10）

由图9 可知，在20%噪声水平下，节点5、6 和8、9 检测样本的残差序列同时超出在控制限值外，由所提方法可知，第6、和9 单元同时发生了损伤，多点损伤识别结果正确，其它节点检测样本的残差序列均处于控制限值内，单元未发生损伤。 由混凝土梁模型的工况一、二数值模拟结果可以看出，以曲率作为协整变量的方法在每一次检测新的样本点时，都能快速并准确的识别出是否发生了损伤，且在每个单元都能够独立地识别损伤的基础上，还具有较好的抗噪能力，说明了综合曲率和协整的方法在变化的环境温度下和运行状况下识别结构损伤的优越性，这为在实际工程应用中提供可行性参考。

3.3 工字钢梁模型

为了验证所提方法的普遍适用性与准确性，建立了一个工字钢简支梁构件数值模型，见图10，位移节点布置如图10 所示。 基本参数：密度7 585 kg/m3，泊松比μ=0.3，总长为2 m，各单元长0.1 m，截面采用16#工字钢，尺寸为160 mm×88 mm×6 mm， 跨中沿梁顶竖直向下施加集中荷载P=30 kN。

图10 工字钢简支梁模型（单位：mm）

共采用了3 种损伤工况，工况一为单点损伤，工况二为单点连续损伤，工况三为多点损伤，见表2。

表2 数值模拟损伤工况

（1）工况一数值模拟结果。 工况一为单点损伤，考虑为验证所提方法对工字钢梁识别损伤与定位损伤问题的有效性。 发生在6 单元，即节点5 与6 之间。 识别结果见图11。

图11 无噪声下工况一识别结果（a：节点1；b：节点2；c：节点3；d：节点4）

由图11 可知，节点5 与6 检测样本残差序列同时超出在控制限值外，节点4、7 检测样本残差序列处于控制限值内，由所提损伤识别方法可知，单元6 发生了损伤。其它节点检测样本残差序列均处于控制限值内，单元为无损状态，限于篇幅限制及重复性已省略。

（2）工况二数值模拟结果。 工况二为单点连续单元损伤，考虑为较大区域发生损伤或测点布置在损伤区域中间的情况。 单元损伤模拟在6、7 单元，即节点5 和7 之间。 识别结果如图12 所示。

由图12 （b）、（c）、（d）可以看出，随着损伤范围的扩大，超出控制限值的节点也相应增多。 在连续损伤单元节点的检测样本中，中间节点的残差幅值最大，这为精准定位损伤区域提供了可能，也为后续桥梁管理维护及施工加固提供参考。

（3）工况三数值模拟结果。 工况三为了验证所提方法对于工字钢梁模型同时识别多处损伤的准确性，采用多点损伤，损伤的模拟在6、10 和16 单元，即节点5 与6、9 与10 和15 与16 之间。 识别结果见图13。

图13 无噪声水平下工况三识别结果

由图13 可知，节点5、6、9、10、15 和16 检测样本的残差序列均同时超出在控制限值外，由损伤识别方法可知，第6、10 和16 单元同时发生了损伤，多点损伤识别结果正确。 其它节点检测样本的残差序列均处于控制限值内，单元未发生损伤，限于篇幅限制及重复性已省略。

为了探究梁单元之间损伤程度与残差幅值的关系，以工况三损伤单元最大残差幅值的节点（损伤单元靠近跨中一侧的节点）为损伤程度指标去验证所提方法的适用性（见图14）。由于检测样本残差序列较多且分散，不好单一比较，因此采用整体均值为损伤程度指标。 从图14 看出，随着梁单元损伤程度的增加，检测样本的残差均值也随之增加。 检测样本残差均值的相对大小反映了梁单元损伤程度的相对大小。

图14 梁单元之间损伤大小与残差均值的关系

为了验证工字钢梁于变化的环境温度下的抗噪性，对工况三添加20%高斯白噪声，如图15 所示，识别结果仍然正确，说明了所提方法具有很好的抗噪能力。

图15 20%噪声水平下工况三识别结果

4 结论

论文采用曲率和协整的综合方法研究了在变化的环境温度下简支梁结构的损伤识别问题。 混凝土与工字钢简支梁数值模拟验证了该方法的有效性。 结果表明：

（1）综合曲率和协整的方法能够及时地消除变化的环境温度和运行状况对结构损伤识别的影响，无需进行模态参数识别、记录激励信息和环境因素值，适合于在线监测。

（2）综合曲率和协整可以准确地识别环境温度影响下的简支梁单点与多点损伤，且每个单元能够独立地进行损伤识别，还具有较好的抗噪能力。

（3）相对于以位移为协整变量的方法，使用曲率为协整变量无需考虑无损状态下残差序列超出控制限值的干扰，缩短了损伤评估时间，亦提高了损伤识别精度。