关注概念形成过程，优化高中数学教学

［摘  要］ 带领学生经历概念的形成过程，能促进学生思维的成长，为帮助学生建构完整的知识结构奠定基础. 文章以“平面向量”的概念教学为例，从“初步认识概念”“剖析概念形成过程”“回归教材查漏补缺”“课堂练习与小结”等方面展开教学，并针对概念教学从以下三方面谈几点思考：章起始课需从大局出发，概念本质的概括是关键，要注重概念的自然生成.

［关键词］ 概念教学；向量；概念形成

概念作为数学知识的重要组成部分，是学生掌握“四基与四能”的核心，是渗透数学思想方法的基础，也是实施准确判断与推理的前提. 然而，有些教师仍存在“重解题，轻概念”的教学行为，学生无法吃透概念的内涵与外延，导致概念应用时漏洞百出. 李邦河院士认为：数学学科从本质上来说就是玩概念的，所谓的技巧不足道也. 由此可以看出，注重概念的形成过程是优化数学教学的关键.

教学过程

1. 初步认识概念

（1）情境引发向量意识.

情境1：已知甲乙两车分别以40 km/h与50 km/h的速度从同一出发点同时向正南方向行驶，2小时后，两车之间的距离为20 km.

情境2：已知甲乙两车分别以40 km/h与50 km/h的速度从同一出发点同时出发，甲车向正南方向行驶，乙车向正北方向行驶，2小时后，两车之间的距离为180 km.

问题1 以上两个情境中，车子的行驶速度并没有发生变化，为什么2小时后，两车之间的距离却有这么大变化？

设计意图 任何数学知识的产生都有一定的缘由，向量的产生就是源于生活的需要. 这里应用两个简单的情境让学生感知速度不仅仅有大小之分，还存在方向上的区别，由此使学生对“有大小也有方向的量”形成初步印象.

（2）问题驱动概念形成.

问题2 请举一些既有大小又有方向的生活實例.

学生提出“重力、作用力、浮力”等一些在物理学科中接触过的量.

设计意图 引导学生从生活实际中探寻包含大小与方向的量，以激活学生已有的认知体系，启发学生思考.

追问：这些都是既有大小又有方向的量，那么是否存在只有大小没有方向的量呢？举例说明.

学生举例：身高、年龄、面积等.

设计意图 让学生感知不同量的存在，并能自主作出辨别. 任何概念的形成，都需要经过大量典型的实例进行验证. 教师在此处让学生列举相应条件下的生活实例，以观察学生对概念属性的领悟情况，为接下来进一步抽象概念奠定基础.

师：通过大家所列举的生活实例可以看出，现实生活中存在很多不同的量，有的既有大小又有方向，有的只有大小没有方向. 类似于一棵树、一本书等，只能抽象出存在大小的数量“1”；而力、位移等量，具备大小与方向的特征，这就是我们本节课即将探究的一种量——向量. （用PPT投影向量的概念）

（3）向量的几何表示.

当学生掌握了向量的文字表示后，进入符号表示的探索环节.

问题3 如何将实例中所陈述的向量用符号表示出来呢？

面对这个问题，学生呈现出了较丰富的表示方法，如用有箭头的字母来表示力，但没有标注起点与终点，更没有标注大小等. 经过师生的互动与交流，最终将向量形象地表示为“有箭头的线段”. 有些学生为向量标出了单位长度，以比较两个向量的大小.

师：在之前的学习中，我们都习惯用符号AB，CD，…来表示线段，如今我们给这些线段符号加上箭头来表示向量. 在我们的认知中，线段AB与BA所表示的是同一线段，那么如今我们研究的与表示的是同一向量吗？说说你的理由.

生1：不是，带的箭头表示它的方向，与的方向恰好相反.

师：不错，向量的研究需要关注其方向，除此之外，向量还有一个重要属性是什么？

生2：大小.

师：很好！

表示向量的大小，我们称

为向量的模. 与之类似，还可以用a来表示向量a的模. 由于向量存在方向与大小两个属性，因此仅用代数或几何形式不能确定一个向量，只有两者结合才行.

（4）特殊向量的分析.

师：通过以上探索，我们可将向量建立成一个集合，集合中的每个向量都有一个名称，其中特殊的向量有哪些？

生3：单位向量与零向量是最特殊的.

师：为什么说它们最特殊？说说你们的想法.

设计意图 让学生发现特殊向量，并通过思维过程的挖掘，引导学生类比向量集与实数集.

在此过程中，学生从长度出发，提出“1”为单位向量的长度，“0”为零向量的长度，这两个向量最特殊. 从这一点来看，学生在不知不觉中将向量集和实数集进行了类比，自然而然地发现单位向量与零向量的特殊性.

教师充分肯定了学生的想法，强调类比实数的研究更利于向量特殊性的发现. 在实数中，“0”为正数与负数的分界点，只要有0存在，就能确定相反数；“1”作为“单位”，具有重要作用. 通过实数的研究经验——“运算—运算律”的研究，可以预见向量首先研究的是运算，然后是运算律或法则等.

设计意图 通过向量集与实数集的类比，让学生发现特殊向量的存在. 类比分析意在让学生明确后续向量的研究方向，让学生站到宏观的角度来看待问题，掌握数的基本研究方法.

2. 亲历概念形成过程

问题4 如图1所示，已知六边形ABCDEF为一个正六边形，请给图中的线段加上箭头来表示向量，举例说说你所标注的向量之间具有怎样的关系. （给予学生充足的时间探索）

问题5 你是怎么发现各种不同向量的？各种向量之间存在着怎样的联系？

设计意图 让学生亲历概念定义过程，感知概念是数学现象的自然产物. 同时，让学生明白学习概念不仅要有明确的结论，更要注重过程的探索，这样才能从真正意义上促进思维发展.

此处，若教师先给学生平行向量、相等向量、共线向量与相反向量的定义，学生就丧失了自主探索的机会，即使后面通过练习来夯实知识基础，仍有不少学生会因缺乏概念定义过程而出现各种错误.

在实际探索过程中，有学生从向量的大小出发，有学生从向量的方向出发，认为大小与方向相同的向量为相等向量；有学生画出类似于与的向量，认为这是一对共线向量……整个课堂研究氛围良好，学生的探索热情高涨.

教师在适当的时机提出，向量具有自由性，可以平移. 由此，学生通过互动交流，认为和也能称为共线向量. 随着研究的逐渐深入，学生的思维也得到有效发散. 在教师的引导下，平行向量与相反向量的概念由学生自主抽象而来，虽然过程稍微曲折，却很圆满.

将以上研究过程归纳如下：①从方向来分析，方向相同或方向相反的向量为平行向量，若a与b为平行向量，用数学符号表示为a∥b. ②从大小来看，相等向量的模相等，若a与b为相等向量，用数学符号记作a=b. ③同时从大小与方向来看，若a，b为相等向量，则a=b；若a，b互为相反向量，则a=-b；零向量和任意向量都是平行的关系，用数学符号记为0∥a.

问题6 通过向量的概念来看，方向与模决定着向量. 那么今天我们所学的向量和物理学科中的矢量具有怎样的联系呢？平行向量、共线向量与线段中的平行和共线分别存在什么关系？

设计意图 引导学生通过类比的方式，对向量与矢量的联系与区别进行分析，并对向量的性质与线段的性质进行类比，以暴露向量的本质属性，让学生对向量概念的内涵与外延产生深刻理解.

3. 回归教材，查漏补缺

师：请大家现在阅读教材，看看以上探究结论与教材中的描述是否一样，有无什么遗漏或异同处.

设计意图 回归教材是对探究活动的总结，起到查漏补缺、巩固提升的效果，同时也让学生明白教材是教学的依托，在数学学习中具有重要地位.

4. 练习与课堂小结

课堂小结之前，组织学生有针对性地进行练习训练（具体略）.

师：本节课我们主要研究了平面向量的概念，根据课堂教学过程与内容，现在请大家应用思维导图的方式将本节课的内容梳理一遍.

学生通过小组合作学习的方式绘制出了思维导图，虽然形状各异，但整体结构基本一样（比如图2）.

师：本节课我们主要探索了平面向量的基本概念与表示方法，初步认识了向量集以及特殊向量，对于向量间存在的一些关系也有所了解. 誰来说说整个过程的研究思路？

生4：从同类事物中抽象出相同特征—对这一类特征下定义—用数学符号表示—发现特殊情况—研究特殊关系.

师：总结得非常到位！值得注意的是向量的方向，单纯用代数无法表达清楚，需要结合几何进行描述，由此也能看出向量具备代数与几何双重特征. 同时，我们都知道数和运算是不离不弃的关系，如想要解方程x2=2，就需要借助无理数的概念，应用到“开方”的运算. 今天我们认识了“向量”，接下来应该探索它的哪些问题呢？

设计意图 总结这节课，具有承上启下的作用，这里教师应用类比的方法为下节课教学奠定了基础.

教学思考

1. 章起始课需从大局出发

本节课为章起始课，对于平面向量来说，不仅仅是概念教学那么简单，还充当着“统领全章”的重要作用. 因此教学目标的制定应从以下几点出发：①让学生在向量概念的形成过程中，感知向量具有集“数”与“形”于一体的特征；②让学生明白数学研究需要从知识的联系出发，应用类比思想能更好地揭示知识本质；③类比数与运算的研究过程，启发学生思考，让学生自主发现研究数学问题的基本思路与方法.

2. 概念本质的概括是关键

本节课涉及的概念不仅数量多，还比较抽象，教师若以传统的“注入”模式授课，难免让课堂死气沉沉，而带领学生亲历概念本质的探索过程，不仅让课堂充满着生机与活力，还能提高教学效率，让学生真正掌握概念的内涵与外延.

带领学生自主探索概念本质，一方面教师可以结合学生的认知体系，应用一定的方法激发学生认知冲突，让学生产生探索欲；另一方面教师应为学生提供积极参与的机会，让学生全身心地投入到概念的探索中来.

3. 要注重概念的自然生成

知识发展具有一定的自然规律，同样概念教学应注重概念的自然生成. 这里的自然生成主要涵盖以下两个方面：①知识的自然逻辑顺序；②学生心理的自然逻辑规律. 例如本节课，教师带领学生从向量产生的背景出发，让学生感知向量源于生活实际的需要，其产生具有必然性. 在整个教学过程中，学生都积极地参与其中，充分感知每一个环节、每一个步骤都那么和谐自然、水到渠成.

总之，概念是数学的核心，是思维的起点. 概念教学应返璞归真，引导学生积极地参与到概念形成与发展的过程中来，让学生感知概念凝聚了数学家的思维，是人类对现实事物认识的思想精华. 在概念学习过程中形成的思维能力与研究方法，具有更强的迁移力，是发展学生数学核心素养的基础.

作者简介：陆青（1991— ），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.