小学生分数概念学习路径的重构

【摘   要】分数概念是小学数学的重要内容。分数起源于分物与测量，扩展于计数，归根于运算。对分数概念的教学要体现与整数、小数和分数认识上的一致性，实现学生认知过程与分数演变过程的一致性。教师可利用“分一分1、分一分2、比一比、数一数、算一算、化一化”等数学活动，对学生的分数概念学习路径进行重构，以实现学生对分数概念的理解水平与学生认知水平的和谐发展。

【关键词】分数概念；学习路径；除法；计数单位

分数概念是小学数学的重要内容。在小学数学课程中，其教学通过两个阶段完成。然而，从教学效果看，学生常存在以下困惑：一是感受不到分数是一个具体数量，二是认识不到分数可以利用计数单位“数”出来，三是体会不到分数与除法的关系。为解答学生的这些困惑，笔者以人教版教材为例，聚焦“如何重组教学内容体现分数与整数、小数认识上的一致性”“如何重构学习路径实现学生认知过程与分数演变过程的一致性”两大问题，对分数概念进行整体分析，从而帮助学生建立能体现数学本质、对他们未来学习有支撑意义的结构化知识体系。

一、重构分数概念的学习路径

分数的产生与发展经历了漫长的历程。分数起源于分物与测量，扩展于计数，归根于运算。分数概念的教学要体现与整数、小数和分数认识上的一致性，实现学生认知过程与分数演变过程的一致性。为此，笔者重组了人教版教材三年级上册“分数的初步认识”单元和五年级下册“分数的意义和性质”单元的分数概念教学内容，进而形成6个数学活动，如表1所示。

基于对上述6个数学活动及其教学内容的分析，笔者对学生的分数概念学习路径进行了重构（如图1），以实现学生对分数概念的理解水平与学生认知水平的和谐发展。总体而言，重构后的学习路径增加了分数的“度量意义”和“比值意义”的教学内容，从而丰富了各种意义（方法）之间的联系与沟通。

具体思路如下：

首先，分数源于自然数除法的推广。从自然数除法看，分数是不能整除而得到的结果。“分一分1”和“分一分2”是利用等分除法模型理解分数概念，“比一比”是利用倍比除法模型理解分数概念。基于此，可建构分数与除法的关系。因此，教师可以让学生在“算一算”活动中，借助之前在“分一分”“比一比”活动中积累的基本活动经验，建立除法过程与分数结果的关系，从而突出“分数是一个商”的概念。

其次，分數是基于计数单位建构的。在初步认识阶段，教师可以让学生通过直观图式来积累“m个[1n]是[mn]”的基本活动经验。接着在深入理解阶段，让学生在理解分数单位的基础上，使用“m个[1n]是[mn]”在数线上数出分数，从而把分数从真分数拓展至假分数，并构造出新的分数单位[1n]（1÷n=[1n）]，然后运用“m个[1n]是[mn]”，帮助学生理解分数与除法的关系。

最后，分数具有份数、比值、度量、运算和集合等意义。在“分一分1”“分一分2”“比一比”和“数一数”的活动中，分数分别从等分、倍比和度量的过程中产生，体现出分数产生的必要性，也让学生学会了用份数来表征分数的意义。“算一算”从等分和倍比两种数量关系，帮助学生理解分数是除法运算的过程，也是除法运算的结果，从而建构“被除数÷除数=[被除数除数]”这一基本模型。“化一化”则通过研究“相等的分数，分数单位不同，数值大小相等”的特点，帮助学生发现分数的基本性质，即“形变而值不变”。

二、数学活动的设计与教学策略

学习分数概念的数学活动，以教学任务为驱动，体现教学策略的有效性。

（一）“分一分1”数学活动

◇教学任务1：用几分之一表示等分一个物体的结果

把9块月饼平均分给4人，每人分得几块？

学生根据已有的知识经验，容易得到“每人分到2块月饼，还多1块”的结论。这时教师提问：剩下的这1块月饼还能继续分吗？每人能分到这块月饼的多少？引导学生用1÷4来表示这个分的过程。学生的疑惑之处在于：分到的部分应该用怎样一个数来表示？对学生而言，这是一个“发明”的过程。

◇教学任务2：几分之几的产生

观察图形，填上合适的分数，并说明理由。

把一个物体平均分成若干份，每份可以表示成[1□]，那么2份、3份……又该怎么表示呢？前者的本质是分数单位，反映了朴素的分数计数单位；后者则扩展了分数的份数意义，为学生进一步学习分数概念奠定基础。

（二）“分一分2”数学活动

◇教学任务1：用几分之一表示等分一群物体的结果

把图形平均分成3份，阴影部分表示总数的几分之几？

本任务通过已有经验与新知识的对比，为学生的认识从“用分数表示等分一个物体的结果”向“用分数表示等分一群物体的结果”迁移创造条件，同时使学生认识到，除了可以用份数理解分数，还可以用数量展示分数。

◇教学任务2：用几分之几表示等分一群物体的结果

（1）照样子，分一分，涂一涂，表示出各图的[23]。

（2）三幅图都是把物体平均分成（  ）份，然后涂出其中的（  ）份。

（3）第一个[23]代表（  ）个圆，第二个[23]代表（  ）个圆，第三个[23]代表（  ）个圆。

与等分一个物体不同，把一群物体等分后，每份的数量从1到n不等。本任务中，第（1）题和第（2）题着重体现“只要分的份数与涂的份数相同，就可以用同样的分数表示”，第（3）题则是帮助学生感悟“用分数表示数量之间的关系”。

（三）“比一比”数学活动

◇教学任务1：用分数表示倍比的结果

请你用一个数表示三角形个数与正方形个数的关系。

本任务通过研究两个量的关系完善表示率的分数。先借助两个量的倍数关系和分数的部分与整体关系得出两个量的比值，再比较“数量比”与“份数比”，体会它们之间的联系与区别，积累“相等分数”的基本活动经验。

◇教学任务2：用份数意义解构两个量的比值

已知三角形个数是正方形个数的[23]，请据此把图形补充完整。

相较于“数量比”，“份數比”能更简约地表示分数。本任务在表示率的分数的基础上，引导学生逆向解构分数，通过不同图式的表征方式，帮助学生理解分数的比值意义。

（四）“数一数”数学活动

◇教学任务1：用分数表示度量的结果

张大伯有一块地，他用步长量了一下，发现这块地的长度大约比30步多（    ）步。

……

当度量的结果不能用整数来表示时，可以把度量单位分为n等份，取其中的1份作为新的度量单位去量剩余部分。假如刚好m次量尽，那剩余部分就可用[mn]来表示。本任务引导学生通过度量过程体验分数的产生，为学生“用分数单位数出分数”积累基本活动经验。

◇教学任务2：数出大于1的分数

如图，你能数出更多分数吗？

有了用分数单位数出小于等于1的分数的经验，学生基本掌握了“m个[1n]是[mn]”的分数计数方法。在此基础上，本任务引导学生先按两条线索数出大于1的分数：一是4个[13]是[43]，5个[13]是[53]……二是比1多1个[13]是[113]，比1多2个[13]是[123]……再区分真分数与假分数。

（五）“算一算”数学活动

◇教学任务1：认识分数与除法的关系

请根据题目中的数量关系写出算式，并用分数表示结果。

（1）把3块月饼平均分给4人，每人分得几块月饼？

（2）小新家有4只鸡和3只鸭，鸡的只数是鸭的只数的多少？

分数源于自然数除法的推广。学生在“分一分1”和“分一分2”活动中理解了“等分除的结果可以用分数表示”，在“比一比”活动中理解了“倍比除的结果也可以用分数表示”。本任务在此基础上，通过解决问题中的数量关系，建构分数与除法的关系，从而帮助学生理解分数的“商意义”，同时建立真分数与假分数之间的关系。

◇教学任务2：整体建构“分数与除法的关系”

先观察前面四个除法等式的特点，再试着写出字母算式的商。

3÷4=[34]   4÷3=[43]   3÷2=[32]   4÷5=[45]   ɑ÷b=（  ）

本任务可以较好地帮助学生理解“分数”与“除法”之间存在着一般性的关系，即“被除数”“除数”和“分子”“分母”的关系，构建“被除数÷除数=[被除数除数]”的模型，从而完善“分数的商意义”。

（六）“化一化”数学活动

◇教学任务1：研究相等分数

请你从分数墙中至少找出3对相等分数，并研究一下它们的特点。

相等分数就是值相等的分数的集合，如[12=24=48=]……学生在“分一分1”“分一分2”“比一比”“数一数”等数学活动的学习中，通过对“数量比”“份数比”的比较认识，已经积累了一些对相等分数的认识。但是，学生还没有脱离情境去探究这些相等分数是否有规律，有什么规律。这个集合中的分数虽然表征同一事件，却呈现出不同的结果。本教学任务的目的就是要将相等分数变化的特点显性化。

◇教学任务2：构造相等分数

请你根据分数的基本性质，找出已知分数的相等分数。

（1）[13=2×  3×5=  15]

（2） [1024=10÷  24÷  =  12]

（3） [23=2+43+  ]

第（1）题和第（2）题是对分数基本性质的直接应用，第（3）题则是对分数基本性质的应用的变式，需要把“同时加不同数”转化为“同时乘相同数”来思考。

小学生分数概念学习路径的重构，充分满足了“像学习自然数那样学习分数”“像整数、小数那样计数和运算”等学习需求，紧扣“分数源于自然数除法的推广”，深挖“分数是基于计数单位建构的”，体现了分数的份数、比值、度量、运算和集合等意义。同时，确保学生对分数概念的理解水平与学生的认知水平相统一，使学生的学习更加科学与高效。

参考文献：

［1］中国数学会上海分会中学数学研究委员会.分数［M］.上海：新知识出版社，1956.

［2］赵登明.分数教学［M］.郑州：河南人民出版社，1964.

［3］张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［4］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［5］江薏.分数概念教学体系三种版本的比较研究［D］.福州：福建师范大学，2008.

［6］杨伊生，刘儒德.儿童分数概念发展研究综述［J］.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2008（6）：130-134.

［7］郑美玲.“度量”定义视角下小学分数教学的思考与建议［J］.小学数学教师，2020（1）：57-59.

［8］张丹，孙京红.整体建构分数意义的教学行动研究［J］.数学教育学报，2015，24（2）：22-25.

［9］陈蓓，章飞.分数意义建构的顺序及对教科书设计的建议［J］.数学教育学报，2018，27（4）：58-61.

［10］朱国荣.从“分出来”“除出来”到“比出来”：重构分数概念教学之思考（上）［J］.小学教学（数学版），2020（10）：22-26.

［11］高子林.“分数是什么，怎么教”的研究报告［J］.教学月刊·小学版（数学），2017（3）：30-35.

（浙江省海宁市长安镇中心小学）