开展推理教学，发展学生数学理解能力

［摘  要］ 推理能力培养应贯穿整个小学数学教学活动，教师应注重对学生推理能力的培养。研究者以“3的倍数特征”为例，让学生充分经历推理过程，感受推理方法和推理原理的应用，感受数学课堂浓浓的“数学味”。

［关键词］ 推理能力；数学理解；真实发展

数学教学是什么？有人这样说：当学生离开学校，把学校学的东西忘记之后所剩下的那部分才是真的数学教学。听起来有点“玄”，但是真正思考之后就会发现的确如此。因此，数学教师应注重学生推理能力培养，促进学生数学知识真实的理解。

推理是数学的基本思维方式，也是实际生活中经常使用的思维方式。虽然在数学课程标准没有明确给出推理的定义，但是教材安排了丰富的、有关推理的教学内容，以突出推理的重要价值。学生学习知识往往会经历抽象、推理，最后才形成模型。抽象是学生对知识的认识过程，推理才是学生对知识的理解在思维中的发展，模型是知识在思维中最终形成的图式。通过对这三阶段的分析，可以看出在课堂中开展推理教学能促进学生数学理解能力的真实发展，教师应重视在推理教学中学生的学习体验。如何培养学生的推理能力？笔者以五年级“3的倍数特征”的教学为例，提出几点思考。

一、经历推理过程，培养学生的推理能力

在众多研究中大家一致认为：能进行推理是理解数学的关键，推理与证明密不可分，数学证明则是一种表达特定推理过程的严谨方法。推理可以分为合情推理和演绎推理，两者各具优点。而合情推理是归纳推理、类比推理等的特称。每个学生的推理能力不同，皮亚杰的儿童发展理论提到：儿童的发展是自发的，而学习一定是激发的。小学生的推理能力的发展如果仅仅依靠自然发展，往往会处于低层次，部分小学生甚至不知其用途。因此，教师要引导学生经历推理过程，这是培养学生推理能力的有效方法。所以在小学阶段教师应敏锐抓住教学素材，让学生经历推理过程。笔者在“3的倍数特征”一课的教学中有意识地进行课堂设计，使其成了一堂让学生经历推理过程的经典课例。之所以说这一节课经典，是因为有多种推理汇聚在这节课。

（一）类比推理

在学习“3的倍数特征”之前学生已经学习了“2、5的倍数特征”，教师在教学中可以启发学生：3的倍数特征是否也是看个位呢？让学生经历猜想和论证猜想，这一过程既符合学生的思维，又让学生体会了数学证明的严密性。

课堂实录：你能猜一猜“3的倍数”有什么特征吗？（学生自由表达自己的猜想）

师：根据“2、5的倍数特征”去猜测3的倍数特征，这是合理的。同学们能根据已有经验对新的知识进行合理的猜想，这是一个很好的研究方法。哪些同学觉得自己写的数字是3的倍数？

预设：

①16是3的倍数吗？可以怎么验证？

②42是不是3的倍数？请验算一下。

否定猜想：看来，个位为3、6、9的数不一定是3的倍数，所以我们刚才的猜想不成立。

老师按照找倍数的方法，找出了这一些3的倍数（多媒体呈现部分3的倍数）。请同学们观察这些3的倍数，它们的个位上分别是什么数字？（1、2、3……都有）判断3的倍数只看个位不行。

明确：看来3的倍数特征比较难找，只看个数位上的数找不到。

（二）归纳推理

通过对百数表中“3的倍数”的圈找以及借助计数器的具体珠子个数得出结论：各个数位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。这一过程是以100以内的数作为研究对象的，也就是利用推理中的不完全归纳法得出了一个或然性结论。那么这个结论是否适用于100以外的数？笔者引导学生继续研究证明更大的数是否符合结论，最终在所举例子中没有一个反例，在这个研究过程中学生经历了完全归纳推理的过程。

课堂实录：

1. 我们找“3的倍数特征”一般都从较小的数开始研究。

在计数器上拨3的倍数：3、6、9？（看着计数器想几颗） 12、15、18？（拨12，想15、18）（板书）

活动要求：

（1）判断数字是不是3的倍数，可使用计算器验算。

（2）如果是3的倍数，算一算用了几颗珠子；如果不是，请重新写一个是3的倍数的数字，再计算用了几颗珠子。

（3）学生活动，计算完成的同学上黑板展示。（全班参与）

（4）挑选两个学生提问：写的是几？用了几颗珠子？怎么算的？

学生观察：这些数虽不相同，但它们都是3的倍数。仔细观察拨这些数所用的珠子个数，有什么特点？

小结：我们发现，在计数器上拨出的3的倍数，所用的珠子个数都是3的倍数。

2. 逆向思考，完善认知

通过刚才的学习，我们发现如果一个数是3的倍数，那么它所用的珠子个数是3的倍数。如果一個数不是3的倍数，它所用的珠子个数还会是3的倍数吗？

有些同学拨出的数不是3的倍数，我们来算一算看要拨出这个数，需要用几颗珠子？

小组合作进行计算，并汇报：你们算的是几，用了几颗珠子？

结论：如果一个数不是3的倍数，它所用的珠子个数也不是3的倍数。

小结：通过研究发现如果一个数所用的珠子个数是3的倍数，那么这个数就一定是3的倍数。要知道它用了几颗珠子，只要把它各个数位上的数相加即可。

（三）演绎推理

合情推理是开展问题研究的好方法，由于其或然性与数学的严谨性存在一定矛盾，所以学习者研究问题时一般要通过观察、实验、归纳、类比等来提出大胆猜想，然后通过演绎推理来证明结论是否正确。小学阶段学生经历演绎推理过程并不多，而经历演绎推理过程是数学研究的必然过程。在“3的倍数特征”教学中教师安排了演绎推理出“3的倍数特征”的结论，让学生感知了演绎推理的方式方法以及数学问题研究的严谨性。

课堂实录：

教师提问：为什么说3的倍数只要看各个数位相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数？

1. 数字16，只看个位行吗？为什么？（十位有剩余）

十位1个十，3根3根地分，分9余1，十位会余下1根。余下的这一根该怎么办？（要和个位的6根合在一起继续分）

1+6=7（根），不能分完，说明16不是3的倍数。

2. 数字26，十位再来1个十，就是26。只看个位行吗？（十位有剩余）

十位分9余1，再分9余1，十位会余下几根？余下的2根怎么办？（和个位的6根合在一起继续分）

2+6=8（根），不能分完，说明26不是3的倍数。

3. 数字36，如果十位有3个十呢？第3个十会不会余下1根，这时十位会余下几根？剩下的小棒和个位合在一起（3+6=9根）能正好分完，说明36是3的倍数。

4个十，5个十……

小结：每个十都分成9余1，有几个十，十位就会余下几根，余下的小棒得和个位的合在一起继续分。

4. 刚才的数都是两位数，如果是三位数呢？（还要看百位）

百位如果有1个百，3根3根地分，会正好分完吗？应该分几余几？

2个百呢？按分99余1的方法，会余几？

3个百呢？按分99余1的方法，会余几？

……

小结：每个百都分成99余1，有几个百，百位就会余下几根。

这时要看几位？（若是三位数，则百位、十位、个位上的数加起来）

5. 四位数要看几位？五位数呢？

有几位数就要看几位，把它每个数位上的数都加起来。

二、注重参与推理过程，促进学生推理能力的发展

学生是学习的主体，他们的参与度决定了教学的效果，因此教学设计应注重学生学习参与度。由于学生思维与能力的差异，总有一部分学生参与度不够，主要表现为没有积极主动地参与过程研究，只重视认识结论而不是理解结论。

知识可以传授，经验却无法传授。推理是一个过程性研究，只有参与到这个过程中来，学生的推理能力才能有效成长。假如只做一个旁观者，学生最终习得的也只是一个知识性结论，推理能力和学习能力都无法成长。那么如何才能有效地确保学生积极参与，结合推理过程本身的特性合理安排数学活动是确保学生全员参与的前提，笔者在“3的倍数特征”教学中安排了这样的数学活动：

1.在类比推理过程中要求每个学生写一个认为是3的倍数的数，全班集体参与验证是否个位是3、6、9的数字就是3的倍数，让学生亲自验证若有反例则结论不成立。

2.在归纳推理过程中教师先要求学生验证自己写的数需要的珠子个数如果是3的倍数，这个数是否是3的倍数；然后要求学生随机举例数字来验证，最终全班学生验证后无一反例，让学生亲自体验用归纳法证明“3的倍数特征”的结论。

3.在演绎推理过程中教师要求学生用规定的“一个十”分成9余1，“一个百”分成99余1，“一个千”分成999余1的方法，亲自体验演绎推理余下的小棒数的和就是各个数位上的数的和，再次验证“3的倍数特征”的结论。

在这些活动中让每个学生感受自己所举数字都是验证中的一个例子，只有在全部符合结论的前提下，最后结论才能形成。这些数学活动能让学生在参与中感受推理方法和推理原理的应用。

三、注重培养推理性语言，促成学生推理能力的应用

高学段学生的认知阶段属于形式运算阶段，学生对于认知知识能够提出假设并做出解释。这个阶段的学生推理能力较强，除了要经历、参与推理研究过程，还需要把自己的思维外显为用语言表达推理过程。假如学生只能停留在感受推理过程的阶段，而不注重语言输出，学生的思维发展就滞后了，因此在类似教学中教师应培养学生用清晰的语言把推理过程表达出来。笔者在“3的倍数特征”这节课中让学生有这样的语言表达：

1.因为2、5的倍数只需要看个位，所以我认为3的倍数也只要看个位是否是3、6、9就行。

2.因为36用的珠子个数是9，9是3的倍数，所以36也是9的倍数。

3. 因为23各个数位的数相加的和是5，不是3的倍数，所以23不是3的倍数。

……

教师要引导学生去表达，同时对于能這样表达的学生要及时、积极地做出评价。数学课要让学生感受到“数学味”，像这样能让学生在课堂上不断地进行猜想、验证、推理的课，更能让学生感受到数学严密的逻辑性。

其实，不同的教学内容中涵盖了很多数学推理的思想，比如化归思想、类比思想、极限思想、代换思想、假设思想等。这些思想常常应用于探究知识、发现新规律、证明结论等，是数学研究的重要思想。这些思想都是渗透在整个教学过程之中的，因此推理能力的培养应贯穿整个教学，让学生经历认知知识、参与验证、学会语言表达等过程，遵循这样的教学过程能培养学生的推理能力。教师应重视学生数学推理能力的培养，睿智地捕捉教学素材并进行有效的教学设计，这样才能让每一位学生在数学上得到更好的发展。

作者简介：龚丽娜（1983—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学工作，曾获江阴市“第七批教学新秀”“江阴市优秀教育工作者”等荣誉称号。