高中数学深度备课的层级架构

2023-08-11 17:26王永生张文燕黄语
中学数学杂志(高中版) 2023年4期
关键词:习题课程标准方程

王永生 张文燕 黄语

【摘 要】  “深度备课”是学校教学变革的应然要求.以人教A版《数学选择性必修(第一册)》“圆与方程”为例,从“基于课程标准的单元设计、立足教材的课时设计和指向学生的活动设计”三个方面形成了高中数学“深度备课”的层级架构.

【关键词】  高中数学;深度备课;层级架构中国教育的素养时代已经来临.如何通过学校育人方式的变革培养学生的核心素养?这是当下各级各类学校都需要做出回答的核心问题.课堂改变学校才能改变,而改变课堂的前提是备好课.高中数学深度备课是指在厘清备课的层级关系(单元、课时和活动)的前提下,深度研读普通高中数学课程标准、教材、高考真题,并结合学情分析和教学资源,设计基于课程标准、能精准实现学生数学学科核心素养培养的学期课程纲要和单元(课时)教学方案的过程.因此,笔者认为,素养时代备课也应与时俱进,逐步走向专业化,即开展深度备课.有研究表明,开展深度备课需要架构好以下三个层级:基于课程标准的单元设计,立足教材的课时设计和指向学生的活动设计[1].下面以人教A版普通高中教科书《数学选择性必修(第一册)》中“圆与方程”单元的备课为例,谈谈三个层级的具体做法.

1   基于课程标准的单元设计

长期以来,一线教师备课都很少考虑单元,更不关注课程标准.可素养时代,有学者认为在“核心素养—课程标准—单元设计—学习评价”这一环环相扣的教师教育活动的基本链环中,单元设计处于关键的地位,是撬动课堂转型的重要支点[2].

随着新一轮课程改革的推进,素养时代单元设计将成为一线教师备课的新常态.那如何开展单元设计呢?这方面的研究较多.国外较为著名的是格兰特·威金斯和杰伊·麦克泰提出的“理解为先(UbD)模式”[3],其基本思想是“逆向设计三阶段:明确预期学习结果、确定可接受的证据和规划相应的教学过程” [3].以此为基础,国内相继提出“基于课程标准的教学设计”[4]和“深度学习的实践模型”[5]等.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》也给出了“主题教学设计”[6]的案例.这些设计的相同点是都含有“目标、过程和评价”三个关键词.基于此,笔者认为,深度备课的第一层级应是进行基于课程标准的单元设计,这里的单元特指课程标准中科学内容的二级主题,是以系统化的学科为基础所构成的“教材单元”(学科单元),设计时一般可遵循以下路径.

1.1 梳理课程标准,确定单元学习目标

单元学习目标是指完成对所选择单元的学习后,学生最终要达成的总目标.进行单元设计的首要任务是要明确将学生带到哪里,即先确定单元学习目标.

课程标准是规定某一学科的课程性质、课程目标、内容目标、实施建议的教学指导性文件,提出了面向全体学生的学习基本要求,反映了国家对学生学习结果的期望.因此,单元设计的起点应是梳理本章内容在课程标准中的界定的表述,并据此确定单元学习目标.

案例1  “圆与方程”在课程标准中的相關表述(节选)[6]

“圆与方程”是人教A版普通高中数学教科书《选择性必修(第一册)》“平面解析几何”主题下的二级主题.课程标准相关表述如下,其中的“内容要求”即为本单元的教学目标.

内容与要求:①回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程;

②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;

③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

1.2 研析高考试题,编制单元测试试卷

课标时代,教学的起点应为课程标准,终点则是高考试题,而中间过程则是教学应该有的使命和任务.如何才能知道学生是否已经达到课程标准的要求了呢?这就需要编制立足单元学习目标的单元测试试卷.等完成教学任务后,通过测试即可清楚学生学习的效果.可见,这是本单元学习的终结性评价,同时又是学期学习的过程性评价.编制高质量的单元测试试卷,这是一件非常专业的事情.为此,应先从研析高考试题入手.

案例2  五年高考课标全国卷对“圆与方程”的考查要点分析(以文科数学为例)

通过对高考试题的研析,基本能看清课程标准的显性考查,据此可编制本单元的测试试卷.其一般程序是列出双向细目表、逐一命制试题、组合试卷、审查试卷.下面就前两个步骤举例说明.

案例3  “圆与方程”单元测试试卷的命制

将单元学习目标①解构,可以分解出若干子目标,其中最重要的一个是根据已知条件求圆的方程.下面以此为例具体说明试题的命制.

试题命制可从分析高考试题入手,结合教材例习题进行改编.下面以上表中第17题的命制过程为例进行具体说明. 高考试题  (2011年高考辽宁卷第13题)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程是      .

教材例习题

1.(人教A版高中数学选择性必修(第一册)P88习题2.4第4题)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程.2.(人教A版高中数学选择性必修(第一册)P84例3)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

3.(人教A版高中数学选择性必修(第一册)P88习题2.4第3题)已知圆C的圆心在直线l:x-2y-1=0上,并且经过原点和A(2,1),求圆C的标准方程.

4.(人教A版高中数学选择性必修(第一册)P102复习参考题2第6题(3))求圆心在直线3x+y-5=0上,并且经过原点和A(3,-1)的圆的方程.

不难看出,这几道题条件基本是圆心在一已知直线上,并且经过两已知点.不同点是已知直线特殊(如x轴),或点特殊(如原点).此外有些题是求圆的方程,而有些题是求圆的标准方程.但基本上都是考查用待定系数法或几何法求圆的方程.

当然,这只是“根据条件求圆的方程”这一子目标的一类问题,但在教材中能有这样的份量(一个例题三个习题),可见其重要性.在单元测试卷中为较好地考查此类问题,可分三个层次进行命题(易中难).

第一层次跟高考试题和教材例习题一致,条件中有一个特殊,求圆的标准方程.

测试试题1  (容易题)求经过点A(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.

第二层次三个条件中没有一个特殊,求圆的方程.

测试试题2  (中档题)求过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.

由于是单元测试试题,应该有一定的综合性,于是可充分考虑综合考查单元学习目标①②,这是高考考查的主要方向,为此仍然与教材相结合,然后仿照命制试题.

教材例习题  5. (人教A版高中数学选择性必修(第一册)P103复习参考题第16题)求圆心在直线y=-2x上,并且经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切的圆的方程.

仿此,第三层次保留圆心在已知直线上,并且与另一已知直线相切,求圆的方程.

测试试题3  (稍难题)求圆心在直线y=-4x上且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.

根据学生的学情和单元测试试卷的整体需要,可选择相应的题进行测试.按照双向细目表逐一命制好试题(一般都按易中难命制三道题)后,便可组合相应的测试试卷,一般分AB卷,一份用于测试,另一份用于跟进补偿性训练.

1.3 遵循学习规律,制定单元学习方案

按照课程标准的要求,明确了学生通过本单元的学习后要达到的目标,结合学生学习的规律,可按照循序渐近的原则,制定单元整体的学习方案,其课时目标和相互之间的关系如图1所示.

单元整体课时计划的制定基于课程标准所确定的单元目标.遵循学习的规律,以目标为导向进行整体设计.其中4.1、4.2和4.3为完成单元目标的核心部分,需要10课时.而4.0、4.4和4.5为达成单元目标的辅助部分,在整个单元学习的过程中其重要性不言而喻.可事实是为了赶教学进度,这几个部分的落实质量相对较差.特别是序言课,一直以来都没有得到重视,有的教师也没有这个意识,而这恰恰是教学实施的一个盲区,必须引起足够的重视. 2   立足教材的课时设计 教材又称课本,它是依据课程标准编制的、系统反映学科内容的教学用书.课时设计必须立足教材,力争实现用教材教,为此,应做好“明确课时学习目标、形成课时学习测验和设计课时学习流程”三个方面的工作.

2.1 顺应教材编排,明确课时学习目标

使用教材,应先掌握教材的编排方式.教材的编排方式一般有四种,即直线式、螺旋式、分支平行式和綜合式.课时设计的起点应从整体把握教材入手,通过顺应教材编排,同时解构单元学习目标,最终明确课时学习目标.

案例4  “圆的标准方程(第一课时)”课时学习目标

“圆与方程”单元教材以螺旋式方式编排,其中圆的标准方程的概念最先安排,并贯穿单元始终.为此,理解、掌握并能灵活应用圆的标准方程的概念就显得十分重要.而此目标的最终达成却是螺旋式的,于是将单元学习目标①解构,其第一个子目标应是“理解、掌握并能灵活应用圆的标准方程的概念”.按照教材的编排,“圆的标准方程(第一课时)”的课时学习目标可确定为“形成圆的标准方程的概念;理解圆的标准方程的概念和简单应用圆的标准方程的概念”.

2.2 整合教材资源,形成课后学习测试

为能检查学生通过课堂学习后是否达成课时目标,需要优先制定评价标准,即课后学习测试,俗称课后作业.教材是课堂教学的第一资源,是课程标准的显性表现,一般都编排了足够的习题.人教A版普通高中数学新课程标准实验教科书(必修)配备了例题、练习、习题(AB组)和复习参考题(AB组)等供学习使用的测试题.这些例习题往往是高考命题的主要素材来源,为此,充分利用好这些测试题是课时设计必须重点考虑的问题.但是这些例习题却又是螺旋式编排的,于是,需要整体把握教材,将教材资源充分整合,有序列出课内训练和课后测试的试题.课后作业应与课时学习目标相匹配,最好要进行分层,按易中难设置.如教材所提供的资源不足,还得进行必要的补充. 案例5  “圆的标准方程(第一课时)”课后学习测试(节选)关于“圆的标准方程(第一课时)”的学习目标“形成圆的标准方程的概念”,其形成概念的过程即是“轨迹法”求曲线(圆)方程的方法,教材提供的习题已足够,可分层安排课时学习测验如下:

(A层)(人教A版高中数学选择性必修(第一册)P88习题2.4第7题)等腰三角形顶点A的坐标是(4,2),底边一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它是什么图形?

(B层)(人教A版高中数学选择性必修(第一册)P88习题2.4第8题)长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程.

(C层)已知点M(x,y)与两个定点M1,M2距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程,并说明它是什么图形(考虑m=1和m≠1两种情形).2.3 根据课型特点,设计课时学习流程

明确了课时学习目标,形成了目标指向的课后学习测试后,应根据课型的特点,学生的学习情况和教材的编排方式,设计出简约的课时学习流程.仍以“圆的标准方程(第一课时)”为例,前面对教材的编排方式已进行了分析.而这一课时的定位应是概念学习课,按照数学概念课的学习过程,必须经历“形成、理解和应用”三个阶段,考虑到“圆的标准方程” 这一概念在此单元中的重要性,可设计如图2的课时学习流程.

3   指向学生的活动设计

上一轮新课程改革要求转变学生的学习方式,倡导自主学习、合作学习和探究学习.应当说,经过十多年的实践,这一理念已深入人心.但把课堂还给学生,让学生由被动学习向能动学习转变,真正实现课堂的转型,新一轮课程改革还有好长一段路要走.但无论如何,要让学生变被动为能动,必须进行指向学生的活动设计,在课时目标的指引下,立足学生的实际,创造性地进行学习任务的设计,让学生在任务的驱动下,通过自主、合作和探究,最终达成课时学习目标.

3.1 结合学生特点,设定活动学习目标

长期以来,课堂一直由教师所控制,还课堂给学生的关键是让学生在课堂上能够“动”起来.这样的“动”却不能是随意的,而应当是指向一定目标的学习活动.可事实是,很多课堂学生要么乱动,要么不允许动.组织有意义的学习活动需要课前进行系统而又精心的设计.为此,需要充分结合学生的特点,围绕课时學习目标,通过分解,依次设定相应的活动学习目标.

3.2 立足学习过程,制定活动学习评价

为使学习始终不偏离轨道,并随时清楚活动的效果.这就需要立足整个学习过程,事先制定相应的活动学习评价.这样的评价能促进学生对学习活动进行反思和自我监控,一般是整个课时的形成性评价,但又是该活动的终结性评价.其目的是检测学习活动是否达成活动学习目标,以便及时进行教学改进,从而确保整个课时目标的有效达成.

3.3 合理创设情境,设计深度学习活动

学习活动不能是为了活动而活动,而应使学生充分参与其中,在增加学习体验的过程中能促进学生对学习内容的深层次理解.但课堂学习的时间和空间毕竟有限,因此可以充分利用多媒体技术,合理创设学习活动的情境,使学生在情境中实现深度学习,这才是最有意义的学习活动设计.

下面结合前面的分析,就一个课时目标的达成进行相应学习活动的设计说明.

案例6  “圆的标准方程(第一课时)”学习活动设计(节选)

目标1:形成圆的标准方程的概念(课时目标)

活动1:(活动目标)圆的知识准备

情境创设:(1)视频播放:中秋赏月;

(2)多媒体演示:若动点到定点距离为定长,描绘出动点的运动轨迹.

思考1:动点的运动轨迹是什么图形?

任务1:请给圆下一个定义(描述性),并指出其要素.

活动2: (活动目标)形成圆的标准方程(已知轨迹求方程)

思考2:在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?

任务2:如图3,在平面直角坐标系中,圆C的圆心坐标为C(a,b),半径为r,如何写出圆的方程?

思考3:圆心在坐标原点,半径长为r的圆的方程是什么?

思考4:用轨迹法(直接法)求曲线的轨迹方程的步骤有哪些?

活动3: (活动目标)求圆的标准方程(未知轨迹求方程)

思考5:已知点P(2,0),Q(8,0),点M与点P的距离是它与点Q的距离的 1 5 ,求点M的轨迹是什么图形?

任务3:用《几何画板》探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.

检测:(人教A版高中数学选择性必修(第一册)P89习题2.4第3题)已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为 1 2 ,求点M的轨迹方程.

每一节课的教学都需要达成一个或几个课时目标,而为了达成每一个课时目标,都需要进行一系列的学习活动的设计. 这些活动的设计需要指向学生,并依次达成各自的活动目标.活动设计指向学生,就是以学生的学习为中心,立足整个学习过程,为学生创造学习体验的机会,并促进学生进行深度学习,同时引导学生进行自我反思和调控,最终在达成学习目标的过程中使学生学会学习.在素养时代,为使备课走向专业化,我们倡导实施深度备课,即从整体到局部,依次完成“单元、课时和活动”的三级设计.其中,单元设计应以课程标准为纲;课时设计应以教材为基;而活动设计则须以学生为本[1].建立这样的层级架构,只是为了提供一种备课的专业模式.同时,对于学科的差异性,可作适当的变通.但是在具体实践时,还应有所侧重.建议日常的集体备课应突出单元设计,而教师独立备课时,则应加强对教材文本的研读,并在指向学生的活动设计中可适当彰显教师的个性和教学智慧.

参考文献

[1]  骆波.初中物理深度备课的层级架构[J].基础教育课程,2017(01):58-64.

[2]  钟启泉.基于核心素养的课程发展:挑战与课题[J].全球教育展望,2016(01):3-25.

[3]   [美]格兰特·威金斯, 杰伊·麦克泰.理解为先模式:单元教学设计指南(一)[M].盛群力,沈祖芸,柳丰, 等,译. 福州:福建教育出版社,2018.1.

[4]  李锋.基于标准的教学设计:理论、实践与案例[M].上海:华东师范大学出版社,2013.8.

[5]  刘月霞,郭华.深度学习:走向核心素养[M]. 北京:科学教育出版社,2018.11.

[6]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.1.

作者简介

王永生(1974—),男,云南大理人,数学教育硕士,中学正高级教师,云南师范大学硕士研究生导师,大理大学硕士研究生导师;荣获云南省“万人计划” 之“教学名师”、大理州首届“白州教学名师 ”、大理市“名教 师”、优秀教师、先进教育工作者、优秀共产党员、大理市“名师讲学团成员”等称号;云南省高中数学青年教师说课比赛一等奖获得者;主要从事课程和教学论、中学教育教学管理、教师专业化发展和中小学数学教育教学的研究工作;发表文章 110 多篇.

张文燕(1984—),女,中学高级教师,高中数学教研组长;从事数学教育研究17年.

黄语(1997—),女,云南保山人,中学二级教师.

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