高等数学重积分计算中的技巧探究

孙晓玲 杜建伟 王鹏 李有文

摘 要：重积分的计算是高等数学课程中的一个重要内容，但由于其对学生的空间想象能力要求较高，同时计算方法又很灵活，学生的学习难度较大，学习效果常常不太理想。本文主要总结了重积分计算中的一些常用技巧（如：奇偶对称性、轮换对称性）以及MATLAB软件中的绘图命令，并列举了一些典型例题，希望可以帮助学生更好地掌握重积分的计算。

关键词：高等数学；重积分；奇偶对称性；轮换对称性

重积分的计算是高等数学课程中的一个重点和难点内容，它对学生的空间想象能力要求较高，同时计算也比较复杂，很多学生因为空间想象能力差或计算功底不够扎实而导致无法下手。重积分的解题步骤一般分为两步：（1）根据积分区域和被积函数的特点选择合适的坐标系；（2）确定积分次序，在选定的坐标系下将重积分化为累次积分进行计算［12］。坐标系的选择和积分次序的确定主要遵循计算方便、简洁的原则，如果存在错误可能将无法进行计算，因此是学生学习中的一个难点。

为了使重积分的计算变得尽可能简单，减轻学生的负担，在重积分的计算中我们常常会使用一些技巧，如：奇偶对称性、轮换对称性等。通过对称性的使用可以使积分区域变得简单，从而有效降低对学生空间想象能力的要求，同时也可以简化计算，达到事半功倍的效果。但是在高等数学的课本中往往并未直接给出这些对称性的结论和使用方法，需要学生自己进行观察和总结，为了更好地帮助学生进行重积分的学习，本文通过一些具体的例子给出了奇偶对称性、轮换对称性在重积分计算中的应用。

另外，本文还介绍了一些MATLAB软件中绘制三维图形的命令，希望能通过数学软件的灵活运用帮助学生提高空间想象能力，进而解决重积分的计算问题。

1 奇偶对称性在重积分计算中的应用

与定积分的奇偶对称性类似，在二重积分、三重积分的计算中我们仍然可以使用奇偶对称性来简化计算，具体使用方法如下：

1.1 二重积分计算

计算二重积分时，如果积分区域D关于y轴对称，那么：

（1）当f（－x，y）=－f（x，y）时（此时称函数f（x，y）关于变量x为奇函数），有I=Df（x，y）dxdy=0。

（2）當f（－x，y）=f（x，y）时（此时称函数f（x，y）关于变量x为偶函数），有I=Df（x，y）dxdy=2D1f（x，y）dxdy（其中D1为D的x0部分）。

计算二重积分时，如果积分区域D关于x轴对称，那么：

（1）当f（x，－y）=－f（x，y）时（此时称函数f（x，y）关于变量y为奇函数），有I=Df（x，y）dxdy=0。

（2）当f（x，－y）=f（x，y）时（此时称函数f（x，y）关于变量y为偶函数），有I=Df（x，y）dxdy=2D2f（x，y）dxdy（其中D2为D的y0部分）。

1.2 三重积分计算

计算三重积分时，当积分区域关于xoy（或yoz，或zox）坐标面对称，被积函数f（x，y，z）关于变量z（或x，或y）为奇偶函数时，也有与二重积分类似的奇偶对称性结论［3］。

利用奇偶对称性可以简化重积分的计算，但是在使用此技巧时，需要同时考虑被积函数f（x，y）和积分区域D，即两者的对称性要相匹配。

下面，我们列举几个利用奇偶对称性进行计算的例子：

例1：计算I=D（|x|+yex2） dxdy，其中D是由曲线|x|+|y|=1所围成。

解：本题的难点是被积函数含有绝对值函数，因此关键是设法去掉绝对值符号。去掉绝对值符号的常用方法有两种：一种方法是把积分区域分割成若干个子区域，使被积函数在子区域上不变号；另一种方法是利用奇偶对称性。两种方法相比，显然后者更为简单。

因为积分区域D关于x轴，y轴都对称，而被积函数x关于变量y，变量x均为偶函数。所以Dx dxdy=4D1x dxdy（D1为D在第一象限的部分）。

而被积函数yex2关于y是奇函数，所以Dyex2 dxdy=0。故I=Dx dxdy+Dyex2dxdy=4D1x dxdy+0=4∫10dx∫1－x0x dy=4∫10x（1－x）dx=23。

例2：计算I=Ωz（1+x+y）dxdydz，其中Ω是由曲面z=x2+y2及z=2－x2－y2所围成的闭区域。

解：本题的积分区域Ω适合用柱坐标进行计算，但此时被积函数较为复杂。通过观察发现Ω关于yoz坐标面对称，而被积函数zx关于x是奇函数，所以Ωzxdxdydz=0。

同时，Ω关于zox坐标面对称，而被积函数zy关于y是奇函数，所以Ωzydxdydz=0。

故原式=Ωzdxdydz

=∫2π0dθ∫10ρdρ∫2－ρ2ρ2zdz

=2π∫10ρz222－ρ2ρ2dρ

=π∫10ρ（2－ρ2－ρ4）dρ

=712π。

例3：计算I=Ω|x2+y2+z2－1|dv，其中Ω由圆锥面z=x2+y2与平面z=1所围成。

解：由于被积函数含x2+y2+z2且圆锥面z=x2+y2为球面坐标系中的坐标面φ=π4，故宜用球面坐标系计算此三重积分。计算时应先去掉被积函数中的绝对值记号。记Ω1为Ω中x2+y2+z21的部分，即Ω中位于球面x2+y2+z2=1以外的部分；Ω2=ΩΩ1，则Ω1，Ω2可分别用不等式组表示为：

Ω1：1

2π

于是，

I=Ω|x2+y2+z2－1|dv

=Ω1（x2+y2+z2－1）dv+Ω2（1－x2+y2+z2）dv

=∫2π0dθ∫π40dφ∫1cosφ1（r－1）r2sinφdr+∫2π0dθ∫π40dφ∫10（r－1）r2sinφdr

=π6（322－2）+π6（1－22）

=π6（2－1）。

注意：计算三重积分时常用直角坐标系，但有时为了便于确定积分上下限，需要采用柱面坐标或球面坐标，选择坐标系的一般方法是：

（1）当积分区域Ω的侧面由圆柱面所围成，或当Ω在xoy坐标面上的投影区域为圆域x2+y2

a2，且被积函数中含x2+y2、yx这样的式子时，可考虑用柱面坐标；

（2）当积分区域Ω的边界由球面、圆锥面等围成，且被积函数中含有x2+y2+z2、x2+y2这样的式子时，可考虑用球面坐标；

（3）当“便于定限”与“便于积分”二者无法兼顾时，应首先考虑便于积分。

总之，通过以上几道例题可以看出，使用奇偶对称性可以有效简化积分区域和被积函数，使本身非常复杂、甚至常规方法无法计算的问题变得简单、易于上手，可以有效减轻学生的学习负担。

2 轮换对称性在重积分计算中的应用

轮换对称性也是重积分计算中的一种常用方法，它的使用规则比較灵活，一般来说，如果表示积分区域的方程在轮换x→y，y→z，z→x下方程表达式不变，则被积函数中相应变量对调后积分值不变，即可以考虑使用轮换对称性去化简计算［3］。

例4：设Ω：x2+y2+z2

1（x0，y0，z0），计算Ωx2 dxdydz。

解：因为Ω的方程在x→y，y→z，z→x后方程表达式不变，由轮换对称性可知Ωx2 dxdydz=Ωy2 dxdydz=Ωz2 dxdydz。

所以Ωx2 dxdydz=13Ω（x2+y2+z2） dxdydz

=13∫π20dθ∫π20dφ∫10r2·r2sinφdr

=13·π2·1·15 =π30。

显然，此题利用轮换对称性可使被积函数变得简单，可以有效简化计算。

3 MATLAB软件在重积分计算中的应用

画出积分区域的图形是重积分计算的第一步，只有图形确定了才能根据它的形状选择合适的坐标系，进而确定积分限进行计算。但是很多学生因为空间想象能力比较差，常常在第一步——画图环节就被卡住了，导致学习到的一些积分计算技巧也无法施展。为了帮助这部分同学，下面我们介绍一些关于MATLAB软件的知识。

（1）设二元函数z=f（x，y），绘制其三维曲面图的MATLAB命令调用格式为：

［x，y］=meshgrid（v1，v2）；

z=....；（写出函数的表达式）

surf（x，y，z）

其中，v1，v2是x轴和y轴的分隔方式［45］。

（2）设空间曲面的参数方程：x=x（u，v）

y=y（u，v）

z=z（u，v）（a

ezsurf（'x（u，v）'，'y（u，v）'，'z（u，v）'，［a，b，c，d］）［6］。

例5：画出双曲抛物面z=－x24+y29的图形。

输入命令：

［x，y］=meshgrid（10：10）；

z=x.^2/4+y.^2/9；

surf（x，y，z）

运行结果如图1所示。

例6：画出双叶双曲面x216－y225+z29=－1的图形。

双叶双曲面x216－y225+z29=－1的参数方程为：

x=4tanusinv

y=5secu

z=3tanucosv（02π）。

输入命令：

ezsurf（'4*abs（tan（u））.*sin（v）'，'5*sec（u）'，'3*abs（tan（u））*cos（v）'，［0，pi，0，2*pi］）

axis（［40 4040 4025 30］）

运行结果如图2所示。

4 总结

奇偶对称性和轮换对称性是重积分计算中非常好用、非常有效的计算方法。在课堂教学中，我们要在“适度、够用”原则的基础上，不断更新教学理念，合理创新教学方法，调整教学思路，在讲授书本内容的基础上，适当补充对称性的相关内容，帮助学生建立正确的解题思路。同时，也要开设基于MATLAB软件的高等数学实验课程，加强实践教学、信息化教学。通过数学软件的灵活使用，全面提高学生的空间想象能力和使用数学知识解决实际问题的能力，让学生切身体会到数学的实用性，进而激发学生的学习兴趣，由被动学习转化为主动学习，并养成使用数学的良好习惯。

参考文献：

［1］同济大学数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［2］吴赣昌.高等数学（理工类）［M］.北京：中国人民大学出版社，2017.

［3］陈兰祥.高等数学同步精讲［M］.北京：学苑出版社，2005.

［4］薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解（第三版）［M］.北京：清华大学出版社，2013.

［5］艾冬梅，李艳晴，张丽静，等.MATLAB与数学实验第2版［M］.北京：机械工业出版社，2014.

［6］何正风.Matlab在数学方面的应用［M］.清华大学出版社，2012.

項目资助：山西省高等学校教学改革创新项目（J2021 377、J2021385、J2021394、J20220617、J20220596、J20220588、J20230795）；中北大学本科教育教学改革项目（202170、2021123）

作者简介：孙晓玲（1981— ），女，山西大同人，博士，中北大学数学学院副教授，研究方向：图论及其应用。