饱和集拓扑空间的一些性质

齐 鑫，刘艳芳，王玉玉*

（1.天津师范大学数学科学学院，天津 300387；2.天津市实验中学滨海学校，天津 300450）

如果映射f是满映射且存在集合X满足X=f-1(f(X))，那么称集合X是映射f上的饱和集[1](简称饱和集)，记为Xf。饱和集是一般拓扑学中的重要概念，在定义商映射，研究商空间以及与闭(开)映射均有密切联系。饱和集理论在其他学科中也有着广泛的应用，如它可以用来研究自认知逻辑，H.Arló Costa 通过饱和信念来表达饱和集。文献[2]给出了饱和集的一个几何特征，从而得到了准双的随机矩阵的一个特征。另外，文献[3]中介绍了饱和集的Billingsey维数以及最小饱和集的Billingsey 维数。

映射f:X→Y称为拓扑空间(X,τ)到(Y,ρ)上的闭映射[4]，如果映射f把X中的闭集映为Y中的闭集。闭映射是非常重要的一类映射，将闭映射的性质推广到饱和集拓扑空间上，可利用其证明在完备映射下饱和集拓扑空间上保持不变的相关性质。

1 饱和集的基本概念

定义1设A为X的一个子集，任意的x∈A，存在映射g，使得

则称Ag是Xf的饱和子集，记作Ag⊂Xf。根据集合限制的定义，易验证若f|A是映射f在X的子集A上的限制，那么是Xf的一个饱和子集。

定义2设Xf与Ym是两个饱和集，Xf与Ym的交集为饱和集Th，记为Th=Xf⋂Ym，其中T=X⋂Y，h=f|T或者h=m|T。

定义3设Xf与Ym是两个饱和集，Xf与Ym的并集为饱和集Vn，记为

更进一步，在饱和集的交、并运算的基础上，给出饱和集拓扑空间的定义。

定义4设Xf是一个非空的饱和集，Xf的所有饱和子集构成一个集族ν，若τ⊆ν，满足条件:

(1)Xf∈τ，∅∈τ。

(2)若Ag,Vn∈τ，则Ag⋂Vn∈τ。

(3)若τ1⊂τ，则

则τ称为Xf上的一个拓扑，(Xf,τ)称为饱和集拓扑空间。τ中的元素称为饱和集拓扑空间(Xf,τ)的开饱和集。

定义5饱和集拓扑空间(Xf,τ)的一个饱和子集Ag称为闭饱和集，如果XfAg是开饱和集。

定义8设(Xf,τ)是饱和集拓扑空间，饱和集Ym是Xf的一个饱和子集，如果满足条件

那么(Ym,τY)是饱和拓扑空间(Xf,τ)的子空间。

定义9如果(Ym,τY)是(Xf,τ)的饱和集拓扑子空间，且Ym的每个开覆盖有有限子覆盖，则称(Ym,τY)是(Xf,τ)的紧子空间，且Ym称为Xf的紧子集。

注：类似拓扑空间中的邻域、基和子基的定义可给出饱和集拓扑空间上邻域、基和子基的定义。

2 相关命题

命题1设(Ym,τY)是(Xf,τ)的子空间，Vn是空间Xf中的饱和集，则

（1）Vn是空间Ym中的开饱和集，当且仅当存在Wl∈τ，使得Vn=Ym⋂Wl。

（2）Vn是空间Ym中的闭饱和集，当且仅当存在饱和集拓扑空间Xf中的闭饱和集Wl，使得Vn=Ym⋂Wl。

证（1）由于(Ym,τY)是(Xf,τ)的子空间以及饱和集交的定义可知命题成立。

（2）充分性：显然成立。

必要性：若Vn是空间(Ym,τY)中的闭饱和集，则Ym-Vn是空间(Ym,τY)中的开饱和集，因此存在(Xf,τ)的开饱和集Ur，使得Ym-Vn=Ym⋂Ur，令Wl=Xf-Ur，则Wl是Xf中的闭饱和集，使得Vn=Ym⋂Wl。

命题2设(Xf,τ)是饱和集拓扑空间，则(Ym,τY)是(Xf,τ)的紧子空间当且仅当每一个由Xf中的开饱和集构成的Ym的覆盖有有限子覆盖。

证必要性：设Γ是Ym的一个覆盖，它是由Xf中的开饱和集构成的。易验证集族

也是Ym的一个覆盖，它是由Ym中的开饱和集构成的。因为(Ym,τY)是(Xf,τ)的紧子空间，所以有一个有限子覆盖，设为

是由Xf中的开饱和集构成的Ym的覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为

命题3如果→Ym是饱和集拓扑空间Xf到饱和集拓扑空间Ym上的连续的满映射，则下列命题等价：

证类似一般拓扑学中闭映射相关结论的推导，命题即可得证。

3 饱和集拓扑空间的定理及证明

下面给出饱和集拓扑空间的紧子空间在交、并运算下，仍是紧子空间。进一步证明若饱和集拓扑空间(Xf,τ)是T2，正则以及满足第二可数性公理，则其在完备映射下的像也保持这些性质。

定理4设Xf→Ym是饱和集拓扑空间(Xf,τ)到饱和集拓扑空间(Ym,ρ)上的完备映射，如果饱和集拓扑空间(Xf,τ)是T2，正则以及满足第二可数性公理，则饱和集拓扑空间(Ym,ρ)也分别是T2，正则以及满足第二可数性公理。

因为饱和集拓扑空间(Xf,τ)是T2空间，则存在开饱和集Ur,Vn，使得

（3）设饱和集拓扑空间(Xf,τ)满足第二可数性公理，设δ是(Xf,τ)的可数基，设Δ 是δ中有限个元素的并集组成的集族，则可得Δ 仍是(Xf,τ)的可数基，对于每一个Ur∈Δ,y∈Ym，记

下证Υ是饱和集拓扑空间(Ym,ρ)的基。

由命题3（3）知，存在开饱和集