刍议化归思想在初中数学中的教学应用

单侠飞

［摘  要］ 在具体的数学教学中认识到化归思想的存在，让化归思想引导学生去建构知识、解决问题，可以更好地强化学生对数学思想方法的认知，促进学生对数学学科核心素养的深入理解. 教师的教学设计以及具体的教学过程应紧扣为学生寻找化归思想的应用契机，让学生体验化归思想的应用过程，让学生领悟化归思想的应用精髓. 通过化归思想的应用，可以将数学知识建构、数学思想方法体验以及数学学科核心素养培育的过程，有机地融合在一起，从而营造出一个良好的初中数学教学样态.

［关键词］ 初中数学；化归思想；教学应用

熟悉小学数学教学的教师可能都知道，化归思想在小学数学教学中是一个研究重点与热点. 实际上，初中数学作为小学数学的延伸，化归思想在其中也有着重要的应用. 如果在初中数学教学中能够延续这种研究，并且让学生将化归思想应用到更多的场合中，那么对于学生而言，这不仅是数学学习思想的延续，也是数学学习状态的升华.

从一般意义的角度来看，化归是一种重要的数学思想，其渗透在初中数学教学以及学习过程中. 严格来讲，这种渗透既体现在具体的问题解决过程中，也体现在学生面对多种问题时所表现出来的方法与策略选择上. 也就是说，化归思想实际上是一种具有一般性意义的问题解决策略，其源于数学却不局限于数学，从数学向现实生活延伸，使得化归思想具有更强大的生命力. 基于这样的考虑，笔者以为在初中数学教学中，依然要对化归思想进行研究，要让这一思想在学生的数学学习过程以及现实生活问题解决过程中，能够将生命力进一步表现出来.

苏科版教材设计教学内容时，也特别重视数学思想方法的渗透，其中化归思想就存在于多个场合. 具体的数学教学中认识到化归思想的存在，让化归思想引导学生去建构知识、解决问题，可以更好地强化学生对数学思想方法的认知，促进学生对数学学科核心素养的深入理解. 本文就以苏科版初中数学九年级下册“圆周角”这一内容的教学为例，谈谈笔者的一些研究与收获.

化归思想的价值再谈

所谓化归思想，说得通俗一点就是通过转化与归结，将一个问题由复杂变成简单，由繁杂变成简洁. 从转化类型的角度来看，通常有正与反的转化、数与形的转化、等与不等的转化、实际问题向数学模型的转化、变量与常量的转化等. 具体采用哪种类型，要视情况而定.

尽管化归思想在数学教学研究中一直是一个热点，但是作为一种系统研究，笔者认为仍然要解读其价值. 尤其在核心素养培育的背景下，教师要通过数学知识的教学过程，来为学生数学思想方法的领悟以及数学学科核心素养的发展，提供一个有效载体. 可以说数学思想方法就是衔接数学知识与数学学科核心素养的纽带，数学思想方法的教学水平如何，既体现着数学知识建构水平，也影响着数学学科核心素养发展水平. 认识到这种逻辑关系，那么在日常教学中，教师就更要重视化归思想的价值. 正是基于这样的分析，笔者认为，在核心素养培育的背景下，化归思想的价值就可以从反映知识建构、促进核心素养培育两个角度来阐释.

从反映知识建构的角度来看，最直接的判断就是，如果教师只满足于应试需要，那么其所对应的教学一定只是数学概念与规律的简单记忆，其后就是大量的与中考原题相匹配的重复训练. 这样的知识教学过程，显然没有数学思想方法应用的机会. 而一个良好的知识教学过程，一定能够将数学思想方法的应用体现出来. 作为最常见的数学思想方法之一，化归思想的应用应当出现在更多的场合中.

从促进核心素养培育的角度来看，初中数学学科核心素养的内涵，课程标准确定为三点，即让学生学会用数学的眼光观察现实世界、学会用数学的思维思考现实世界、学会用数学的语言表达现实世界. 要实现这些目标，核心就在于让学生感知数学，在感知数学的过程中形成良好的数学直觉，并且将这些数学直觉反映到现实世界中去. 如同上面所指出的那样，数学思想方法可以在其中发挥衔接作用，而化归思想的作用会体现得更加明显.

站在学生的角度来看，在日常数学学习中，当学生拥有了数学思想方法后，在了解数学知识时，可以更加深入地分析和解决问題，达到学习事半功倍的效果. 当学生面对现实世界时，也可以在数学思想方法领悟的基础上，用更加敏锐的数学意识、更加严谨的数学思维去阐释现实世界，到必要时，也可以用精练的数学语言去表达现实世界. 可以说，化归思想作为最基本的数学思想，能够充分发挥上述作用，在学生数学学习的过程中、在学生数学学科核心素养培养的过程中，还能发挥奠基性作用. 而要将这些作用充分发挥出来，很关键的一点就是教师的教学设计以及具体的教学过程要紧扣为学生寻找化归思想的应用契机，让学生体验化归思想的应用过程，让学生领悟化归思想的应用精髓. 只要有了这些应用经验的积累，当学生面对难题（包括知识学习的难题和实际生活中的难题）时，就能够真正做到科学转化、有效归结.

化归思想应用的例析

在日常教学实践中，化归思想应当有其一席之地. 之所以重申这一观点，说到底还是希望初中数学一线教师能够在满足应试需要的同时，留一片空间给自己和学生，要让数学思想方法以及数学学科核心素养在这个空间里得到有效的发展. 对于化归思想的应用而言，也需要在这样的空间里得以实现. 如上述所指那样，在教学设计和具体的教学过程中，拥有教学主导权的教师，决定着化归思想能否在日常课堂上落地生根.

在“圆周角”这一内容的分析中，笔者注意到这部分内容的知识点主要包括圆周角概念、圆周角定理等. 按理说概念与定理在数学知识体系中是最为常见的，通常教学也只是让学生记住这些内容，然后进行直接或间接的应用，从而形成解题能力. 但是既然要将教学重心落到思想方法上，促使学生数学学科核心素养得以发展，那么教师就必须对传统的教学方式进行优化，要让学生拥有更多的应用化归思想的机会. 那么在实际教学中有没有这样的可能呢？答案自然是肯定的.

首先来看圆周角定义的教学. 在教材中，圆周角的定义是“顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角”. 如果教师采用传统的教学方式，只要画个图，然后对照这个图去解释圆周角的定义，那么通常情况下，学生也能理解并接受这一定义，并在大脑中建立圆周角的概念. 这里若想渗透化归思想，又可以怎样设计呢？笔者的设计是这样的：

先向学生提出一个问题：学习平面几何，无非就是研究点、线、面、角及其之间可能存在的关系. 如果现在给你一个圆，那么在这个圆上要构建角的话，应画出怎样的角？

这个问题的好处在于，可以让学生面对圆和角时，不带有明显的倾向性（常规设计是先给出圆周角的图形，然后下定义，这样的倾向性就非常强），这可以让学生的思维处于开放状态. 而且上述问题还有一个功能，即可以驱动学生去动手作图，而且大多数学生在最初作图时，大脑中的表象是不清晰的，他们只能一边摸索、一边作图. 教师此时就可以让学生先独立完成，然后合作交流，这样学生最终会发现，在一个圆上要想构建出有意义的角，无非是角的顶点要么在圆周上，要么在圆心处——两种相对较为简单的情形；也有学生将角的顶点画在圆内或圆外，教师对学生的这种表现应予以积极评价，并且告知学生，前者的研究更为简单.

有了这样的引导后，学生大脑中的表象也就清晰了——这两个表象实际上就是圆周角和圆心角，只不过学生此时并不知道它们的定义而已. 但是有经验的教师都知道，当学生大脑中的表象清晰时，下定义（即用数学语言来描述概念）实际上是水到渠成的事情了. 在这里学生的思维从一般走向特殊，实际上就有了化归思想，只不过此时的体验是隐性的.

同样，在圆周角定理的教学中，化归思想也是存在的. 当学生目测圆周角和圆心角时，他们未必能够准确发现两角间的数量关系——这里涉及两个重要的研究点：一是从量的角度来研究角的关系，实际上就是用“数”来描述“形”，这当中有化归思想；二是学生的目测更多的是一种几何直观，这是感觉的产物，而最终的目标是寻找两角间的数量关系，这是逻辑推理的产物. 此中有直觉向逻辑的转换，也有直观向推理的转换，本质上是化归思想的体现. 在具体的教学中，让学生应用等腰三角形以及“三角形的外角等于不相邻的两个内角之和”等知识来证明，实际上需要学生在不同的数学知识之间进行切换，学生所经历的是一个个的转换过程.

综合以上分析可以发现，在“圆周角”知识的教学中，要让学生体验化归思想的应用是有着较大空间的. 只要教师细心设计、敢于放手，那么學生就能够在这样的空间里体验化归思想. 与此同时，从上述分析还可以发现，当学生应用化归思想时，化归思想其实并不是孤立存在的，其中涉及数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等，而这些正与数学学科核心素养密切相关，有助于培养学生敏锐的数学眼光、严谨的数学思维；当学生准确地说出圆周角概念、准确地阐述圆周角定理时，本质上用数学语言概括学习收获，此时概念与定理均可以视为数学模型. 所以从这个角度来看，说化归思想教学驱动学生数学学科核心素养的发展，一点都不夸张.

化归思想教学的反思

初中数学知识涉及的数学思想方法非常多，在某一个具体的教学过程中，通常涉及多个数学思想方法，这是一种现实情形. 当教师面临应试和发展学生核心素养的双重任务时，一个睿智的教师应当能够在两者间取得平衡，也就是在保证学生应试能力得到发展的同时，能够为学生数学学科核心素养的落地创造更多的机会.

带着这样的思路来看化归思想教学，笔者认为就算在日常教学中，要让化归思想落地生根也并非难事. 像上述例子一样，其实优化教学所用的时间以及花费的精力，并不比传统教学多，但从教学效果来看，无论是学生对圆周角理解的程度，还是利用圆周角定理解题的水平，都比传统教学好. 更理想的一种情形是：学生在这样的课堂上，自主性能够得到充分发挥，他们愿意参与到学习的过程中来，无论是在草稿纸上的作图细节，还是在证明圆周角定理的推理过程中，几乎所有学生的参与度都非常高. 哪怕是数学基础非常薄弱的学生，也能够在自己的努力以及在他人的帮助下学得有声有色. 如果注意观察学生的学习过程，就可以发现他们对化归思想的体验是非常深刻的，当面对众多复杂的角时，寻求思路的切换变得自然；当用数量关系描述角的大小时，也是自然的……尽管学生此时并不能说出化归思想的概念，但是实实在在的体验过程，已经足以帮助学生塑造化归思想的认识. 而由化归思想带动的数学学科核心素养其他要素的体验，其实也进行得非常自然，这种数学知识建构、数学思想方法体验以及数学学科核心素养培育的过程，有机地融合在一起，营造出了一个良好的初中数学教学样态. 核心素养背景下的初中数学追求，意义正能体现.