基于深度学习的数学例题教学策略

朱敏敏

［摘  要］ 深度学习视角下的数学学习，不只是解题，还应探查知识背后的方法、思想，进而浸染数学的思维方式、理性精神. 文章结合数学教材中的一道例题，从深度理解、深度体验、深度思维和深度评价四个方面，阐述了深度学习视角下数学例题教学的基本策略，这对学生深度理解知识、提升分析问题和解决问题的能力、促进思维能力的进阶提供了有益的启示.

［关键词］ 深度学习；数学例题；教学策略

深度学习，指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的知识和思想，将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的学习［1］. 具体表现为学生的学习不能仅停留在知识本身，还应深入到知识背后，获取背后所蕴含的思维价值，实现知识、能力和思维的同步发展. 数学教材上的例题是知识呈现的重要载体，看似简单的题目都是专家精心挑选的，不过受书面形式和篇幅的制约，试题呈现时隐藏了蕴含在其中的思维过程. 面向核心素养时代的诉求，例题教学已不能仅停留在解决试题本身，还要体悟到专家的编写意图，还原知识的生长过程. 教师应该让例题教学成为学生深度学习的支撑点和生长点，带领学生走进专家设计例题的思维过程，培养学生分析问题、探究问题的能力，从而领悟数学本质. 下面，笔者结合苏科版八年级上册第157页的例题，从深度理解、深度体验、深度思维和深度评价四个方面探究深度学习视角下的数学例题教学策略.

例题 某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，现有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：

请问：该基地选择哪种运输方式更合适？

整合信息，深度理解

整合信息，是指学生与问题对话，对题目的文字进行解读. 也就是，逐字、逐词、逐句地分析，圈出关键词或关键信息，明确每个条件、每个数据的意义指向，把头脑中的已有知识与试题信息加以整合，获得新的发现，从而达到对问题的深度理解.

试题中的众多信息之间具有一定的逻辑性、结构性，学生可在教师的引导下，联想、调动、激活已有的学习经验，以融会贯通的方式重新组织问题，弄清楚试题中各种量之间的关系. 问题“哪种运输方式更合适”是学生生活中常见的购物选择问题，与实际联系紧密；试题的条件以表格形式呈现，认真分析表格，弄清每个数据表示的意义，有助于真正理解问题. 运输方式选择的关键是比较汽车、火车两种运输方式总费用的多少. 由表格可知，运输的总费用由装卸费和途中综合费用两部分产生，装卸费是常量，不发生变化，但途中综合费用是变量，按小时收费，与运输时间有关，运输时间又取决于运输路程的长短，这样层层分析便能确定问题的关键量：运输路程. 这是学生突破认知障碍的关键点.

问题解决，深度体验

深层次的问题理解，能为下一步的问题解决做铺垫. 问题解决强调学生深度参与，经历独立思考、探索讨论、质疑观点、形成共识的过程，从而获得深度学习体验. 其起点是独立思考，自主认知. 在这个环节，教师要留给学生充足的时间，让他们思考、加工、书写想法，从而培养学生的主动思考能力. 此外，教师还要遵循学生的认知规律，设置问题串，帮助有困难的学生小步前行.

问题1：运输路程为60 km时，选择哪种运输方式更合适？运输路程为100 km呢？120 km呢？

问题2：设运输路程为x km，汽车、火车的运输总费用分別为y1元、y2元，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式.

问题3：该基地到底选择哪种运输方式更好？请给出你的方案.

问题是思维的引擎，学生课堂上的思维是围绕问题展开的［2］. 渐进式的问题设计，引领学生愿想、愿思、愿学、愿做，激发了学生的学习动力，推进了学生深度学习探索活动的开展. 学生带着自己的思考成果，与同伴交流讨论，教师则适时引导、点拨，给学生创造深度体验的学习氛围.

“问题1”的设置面向全体学生，根据前面的信息整合，由已知运输路程可确定运输时间，进而分别计算出汽车、火车两种运输方式的总费用，比较总费用的多少从而做出选择. 给出运输路程的具体数值，能帮助学生获得对问题最初的直观认识，从而为后面问题的解答做铺垫.

“问题2”的设置体现了从特殊到一般的思想——通过确定问题中的变量，建立函数模型. 在运输路程为x km的条件下，分别表示出汽车、火车两种运输方式所用的时间，这对部分学生来讲是个难点. 表格中的信息体现了运输总费用随运输时间的变化而变化，所以在这个难点上教师可组织学生思考讨论、交流观点、深化认识，从而得出y1，y2与x之间的函数关系式为y1=4.5x+200，y2=2.4x+410.

“问题3”是本例的核心，涉及核心知识——建立数学模型，把生活问题数学化. 在已经得知y1=4.5x+200，y2=2.4x+410的基础上，如何进行运输方式的选择呢？此时可把思维过程再次还给学生，组织学生交流互助、讨论争辩，激发学生的灵感，从而产生新观点、新思路，使理解走向深入. 运输方式的选择就是比较两个函数值的大小. 由“问题1”“问题2”的解答可知，y1，y2的大小关系并不固定，随着x取值的不同，y1，y2的大小关系也随之发生变化. 比较y1，y2的大小关系时，可采用如下两种方法.

方法一，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，结合函数图象，分段讨论，可以获取直观的解释，如图1所示.

两个函数图象产生交点，即产生特殊值x=100. 接着，教师引导学生弄清楚x=100的实际意义，从而顺利地将比较y1，y2的大小问题转化为自变量x与特殊值100的大小关系，最终得出解决问题的方案：

当x=100时，y1=y2，即当运输路程为100 km时，两种运输方式的总费用相同，此时选择汽车运输或火车运输均可；

当x＜100时，y1＜y2，即当运输路程不足100 km时，选择汽车运输更划算；

当x＞100时，y1＞y2，即当运输路程超过100 km时，选择火车运输更划算.

方法二，通过“作差法”来比较y1，y2的大小，即把y1，y2的比较大小问题转化为一元一次方程和一元一次不等式，通过解方程和解不等式来求解. 这种方法不需要画图，通过运算就能解决，操作过程简捷，更受学生的欢迎.

当y1-y2=0时，（4.5x+200）-（2.4x+410）=0，解得x=100. 所以，当运输路程为100 km时，两种运输方式的总费用相同，此时选择汽车运输或火车运输均可；

当y1-y2＜0时，（4.5x+200）-（2.4x+410）＜0，解得x＜100. 所以，当运输路程不足100 km时，选择汽车运输更划算；

当y1-y2＞0时，（4.5x+200）-（2.4x+410）＞0，解得x＞100. 所以，当运输路程超过100 km时，选择火车运输更划算.

核心问题承载着学生对知识的整体建构，其他外围问题是在帮助学生逼近核心知识，最终消化理解，体现深度学习的着力点. 问题解决的过程，体现出课堂因“赋权”而“增能”，学生在完成问题解决和知识建构的同时，能力、思维和情感都得到了发展，从深度学习的角度来看，学生获得了更为深刻的学习体验.

迁移应用，深度思维

在课堂学习中，核心知识具有很强的再生力. 核心知识的习得能够帮助学生获得解决一类问题的能力［3］，这就是我们常说的迁移应用能力. 迁移应用需要学生具有综合能力和实践创新意识. 学生通过问题的解决，快速整合资源产生新的问题，这是迁移，迁移是经验的扩展与提升. 教师的追问可以帮助学生迁移出更多的问题，引发学生更多的想法，增大学生的思维容量，促进思维的进阶发展，促进学生批判性思维和创新能力的发展. 学生能在听懂的基础上，利用所学知识解决新生问题，这是应用. 应用是将内化的知识外显化，是学生学习成果的体现.

问题4：若飞机的运输速度为500 km/h，装卸费为500元，途中综合费用为3600元/h，此时应怎样选择呢？

问题5：结合自己生活中熟悉的方案选择问题，如购物、配送、上网等，利用数学知识分析最佳方案的选择，写出有关的活动报告.

有价值的问题能不断地转化学生的学习能力，为学生的深度学习铺设台阶. 给出问题4之后，教师要把时间留给学生，引导学生带着刚收获的经验再判断，再思考，再交流，再讨论.

“问题4”的设计链接了新情境，形成了新任务，能让学生积累新经验. 航空运输方式的介入让学生感到新奇，解答“问题4”能很好地反映学生对刚刚习得知识的掌握情况，且能让学生进一步体会、感悟函数图象法和代数作差法两种思想. 设运输路程为x km，飞机的运输总费用为y3元. 由题意得y3=7.2x+500. 在同一平面直角坐标系中画出y1，y2，y3的图象，如图2所示. 观察图象，发现直线y3与直线y1，y2并没有交点，此时教师可组织学生结合实际生活想想这是为什么，并让他们说说汽车、火车、飞机三种运输方式的优缺点. 函数图象直观地告诉我们，飞机运输虽然速度快，但费用明显高于汽车运输和火车运输，这点与实际生活情境一致. 三种运输方式的选择同“问题3”的答案. 此时教师还可以让学生通过作差法验证结论，再次感受到函数图象法与代数作差法都可以作为解决购物选择类问题的通法. 从而体会到数学来源于生活，又服务于生活.

“问题5”要求学生类比例题，自编自解，目的是引导学生在生活中学习，在学习中思考，在思考中树立正确的价值判断. 受课堂时间的限制，“问题5”留在课后解决，教师第二天收集每个学生的活动报告，并张贴在教室，供全班交流、评议.

例题学习的背后蕴含着丰富的思维和智慧. 实际问题的解决，能让学生体会到函数在解决实际问题中的建模作用；用函数图象法解题，能强化数形结合思想的应用，并从新的高度挖掘学生的思维潜能，促进学生形成勇于创新的思维品质. 在平时的教学中，教师要帮助学生迁移所学，创造性地解决问题，让学生在“学会”和“会学”上有所提升，从而引领学生走向深度学习. 深度学习重视学生的实践意识和迁移应用能力. 迁移应用能激活和增进学生的深度理解，其价值取向是将获取的核心知识当作一粒种子，使其生发出思维的生长力，这也正是问题背后所蕴含的价值.

反思认知，深度评价

深度学习本身具有反思特征. 学生对学习过程保持良好的批判精神，有利于深度学习的实现. 质疑是为了更好地相信，反思是为了更健康地成长. 一些教师总认为反思是学生自己的事，其实要使反思增值，作为教师，要善于捕捉课堂上的各种信息，重视学生对各种方法的理解，倾听他们的想法，感受他们想法的由来，以此作为引导学生反思的途径，从而培养学生的反思能力和自我批评能力.

“基于例题的解决过程，你能用自己的语言，叙述学习过程中的收获吗？”“在问题解决的过程中，你是否关注到了重要信息并合理应用？”“今天的例题学习涉及以前所学的什么知识？蕴含了哪些数学思想？”“在学习过程中，你是如何调动已有经验的？”“面对问题，你是否会主动地思考？”“你的一些新奇想法是在他人想法基础上的改进还是自己的创新？”“你们小组成员合作得如何？在挑战性的问题下你为小组活动做了哪些贡献？”……随着反思的不断深入，学生对知识的理解更加深刻，思维能力更加深广，数学核心素养的培育更深、更实.

数学素以简捷美而著称. 数学教材中的例题虽然形式简单、呆板，却是数学知识呈现的主要载体，其背后蕴含着深刻的思维. 在平时的教学中，教师只有钻得深，研得透，方能引导学生学得深，学得透，给学生带来更加满意的学习体验. 深度学习是“真”的教学，内含学生积极主动地学习，关注学生深层次的思考，是培养学生核心素养的有效途径之一. 问题情境、知识建构、问题解决、迁移应用、反思改进的过程，能促使学生实现知识上的高层次认知目标，达到思维上的进阶. 深度学习是“好”的教学，每一位教师都要致力于教学态度上一往情深，教学方法上探索创新，教学过程上体验动心，教学效果上唤醒求真. 要让学生的深度学习在课堂上真正发生！教育需要“阿凡达”，去开启学生眼中的“创新亮光”.

参考文献：

［1］何玲，黎加厚. 促進学生深度学习［J］. 现代教学，2005（05）：29-30.

［2］余文森. 核心素养导向的课堂教学［M］. 上海：上海教育出版社，2017.

［3］龙宝新. 走向核心知识教学：高效课堂教学的时代意蕴［J］. 全球教育展望，2012，41（03）：19-24+62.