数学小实验：赋予学生数学素养生长的力量

任衍兰

摘要：发展学生的数学素养是现代数学教学的根本性诉求。在此过程中，数学小实验能够引导学生充分经历数学化、形式化、公理化的学习过程。操作性的数学小实验能还原数学学科知识之态；理解性的数学小实验能探究数学的内在之理；思维性的数学小实验能让学生欣赏数学知识之美；而创造性的数学小实验能呈现数学学科知识的生发、生长之序。

关键词：小学数学；数学小实验；数学素养；生长力量

在小学数学教学中，教师不仅要引导学生认知，还要引导学生实践。数学小实验兼具“理论”与“实践”的品质，是提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养的重要载体。小学生的数学思维是直观的、形象的，他们对于数学概念的理解、规律的推导、命题的判定等都离不开直观形象思维的支撑。教师引导学生进行数学小实验，能够帮助学生在实验过程中发现知识、建构知识、创造知识，赋予学生数学素养自然生长的力量，是数学教学的应有之义、应然之举。

一、操作性小实验：还原数学知识之“态”

在小学数学教材中，数学知识是以一种“压缩化”的形态呈现的。教师必须善于“解压缩”[1]，让学生去经历数学知识形成历程，重走人类探索数学知识的关键步伐。操作性的数学实验，能引导学生在数学学习过程中主动观察，主动动手做、主动尝试。通过操作性的数学实验，能有效还原数学知识的“过程之态”，让数学知识得到过程性的确证与表征。在实验过程中，学生能追溯数学知识的源头，把握数学知识的本质。

操作性小实验，是数学实验的一种最为常见的类型，但操作不是简单地让学生“动手做”，而是要融入学生的数学思维和想象。从这个视角来说，操作性数学小实验是学生的一种具身性认知。比如教学“有余数的除法”时，当学生第一次接触“余数”，对于“余数”的理解仅仅是“除法计算最后不够除而剩下的数”。而对于“余数”和“除数”之间的关系、“被除数”与“除数”和“余数”的关系，学生往往不能有效建构。为了助推学生的关系性理解、建构，教师可以在教学中以小实验的方式，设计学生活动———分物品。在活动中，学生开始会像发牌那样一个一个地发，当学生在分发的过程中感觉疲惫的时候，便会积极主动地想着几个一起发，以提高发放速度。进而，学生就会积极主动地思考：能否一次分到位？这种“求简”的意识正是创新的源泉。在这个过程中，教师应及时组织学生研讨：怎样才能把牌最快分发完？由此，引导学生“试商”。当学生经过多次的数学小实验成功分完东西之后，不仅建构了“商”的概念，同时也深刻理解了“余数”的内涵。学生发现，剩下来的数也就是余数，必须要比除数小。因为如果不比除数小，就可以再分，商就可以变大，商最大之后，余数一定是小于除数的。在这个过程中，学生有效地建构了被除数、除数、商和余数之间的关系。

操作性的数学小实验，不仅能够引导学生操作，还能启迪学生思维，是一种“做思共生”的数学学习活动。在实验中，学生不仅要用眼睛看，还要用手做、用大脑思考、用嘴巴表达。学生积极地观察、模仿、实验、猜想，能不断地完善学生的认知方式、思维方式和行为方式。

二、理解性小实验：探究数学知识之“理”

理解包括三个层面的内容：理解数学、理解学生、理解教学。理解数学是基础，理解学生是前提，只有理解了数学、理解了学生，才能理解教学。在小学数学学科教学中，教师要设计研发理解性小实验，引导学生探究数学学科知识之理。在设计研发理解性数学小实验时，教师不仅要把握教学重点、难点，还要了解学生的具体学情，通过调查、访谈把握学生数学学习的困惑、障碍、问题，把握学生的数学学习疑点、盲点。

设计研发理解性小实验，关键是要揭示数学知识的本质，促进学生直观性、形象性的理解，是学生数学学习的“脚手架”，能促进学生对数学概念的深度理解。比如教学“圆柱的体积”这一部分内容时，学生遇到了这样的一个问题：用同样大小的长方形纸卷成一个圆柱，有两种卷法，这两种卷法所形成的圆柱的体积相等吗？为什么？面对这样的一个问题，很多学生都认为可以采用举例子计算的方法来判断。但举例法是一种不完全归纳法，有着偶然性。为此，教师可以组织学生开展理解性小实验，目的是让学生借助于圆柱体体积推导学具，重新展开一次拼接活动。当学生将圆柱体切拼成近似的长方体之后，引导学生将长方体按照不同的方向摆放，形成不同的底面积和高，由此建构不同形态的圆柱体体积公式。通过这一数学小实验，促进了学生对问题结论的深度理解，学生发现圆柱的体积还可以表示成侧面积的一半乘以半径。如此，一张长方形纸无论怎样卷，其侧面积是不变的，圆柱体的体积大小的决定性变量就是圆柱的底面半径，而一张长方形纸卷成圆柱，显然是以长为底底面积大。由此，学生对于数学结论不仅“知其然”，还“知其所以然”。在实验过程中，有学生还富有创意地将以长方形长为底的圆柱称之为“矮胖胖”，并且认为“矮胖胖”的体积更大。

设计研发理解性的数学小实验，要让学生以发现者的姿态参与数学探究，既要关注抽象性的数学知识，关注数学知识的数学化属性，又要关注学生数学学习的经验化、具体化。教师要精心组织学生的理解性小实验，为学生的数学新知建构奠定坚实的基础。从某种意义上说，理解性的数学小实验不仅是一种教学手段、教学工具，还是教学内容的重要组成。

三、思维性小实验：欣赏数学知识之“美”

西方著名思想家罗素曾说：“数学具有至高无上的美，正如雕刻的美，是一种‘冷而严肃的美[2]。”在小学数学教学中，教师不仅要引导学生理解知识，还要让学生能领略到数学学科知识之美。数学学科知识之美，不仅表现在知识的形态美，还体现在知识的本质之美、关系之美、结构之美上。这种“美”是和谐的、圆融的、互摄的。为此，教师要引导学生开展思维性小实验，让实验能体现出数学学科知识的内在之美。

思维性小实验，是要引导学生在数学实验过程中经历“理智的历险”。学生的数学学习是一种探险，随时都有可能遭遇悬崖峭壁。思维性小实验，就是要思考、想象“经历”的可能性，从而呈现学生数学学习的丰富性，体现数学学科学习的开放性。思维性数学实验，往往不需要借助于过多物质性实验仪器，仅仅需要学生对实验的过程、实验的结果作出一种可能性的分析。借助于思维性小实验，能让学生领略到数学学科知识之美、数学问题解决方法之妙。比如学生在六年级总复习的过程中遇到了这样的一道题：3条直线两两相交，最多会有3个交点；4条直线两两相交，最多会有6个交点；100条直线相交，最多有多少个交点？1000条呢？n条呢？对于这样的一个找规律性的问题，教师不可能让学生一条一条地去画，而需要在操作实物性数学实验的基础上展开数学的思想性、推理性、想象性的思维实验。如有学生分别探究了3条直线两两相交、4条直线两两相交、5条直线两两相交，等等。在此基础上，引導学生发现了每增加一条直线增加的交点个数的规律，引导学生发现“直线的条数和交点的个数的关系”，等等。由此引导学生建构反映规律的相关数学雏形，并依托数学雏形进行想象。学生在头脑中“操作”，在头脑中“下盲棋”。通过思维性的数学实验，学生不仅能发现数学规律，找到大数据直线条数两两相交所形成的交点数，还能建构相应的数学模型。

思维性数学小实验是根据研究目的展开人为假设，并通过改变和控制某些变量而研究数学现象、规律的一种实验，往往是在学生的头脑中完成的，而不是依靠具体的物质性的实验器材。思维性实验是一种抽象分析和归纳综合性的实验，能充分展现数学学科知识的形式之美、逻辑之美、抽象之美。通过思维性数学小实验，学生能领略到数学学科知识的神奇，能感悟到数学学科知识的秘妙旨趣。

四、创造性小实验：呈现数学知识之“序”

创造是学生数学学习的最高境界。小学生的数学创造不同于科学家、数学家的原始创造，其主要是数学知识的“再创造”，也就是由学生本人将所要学习的内容再造出来[3]。创造性小实验，一方面要遵循数学学科知识的逻辑演进、发展的顺序而展开；另一方面要遵循学生的数学认知特点，遵循学生的具体学情。

创造性的数学小实验，能呈现、凸显数学学科知识之“序”，要求教师要引导学生“做数学”“学数学”“用数学”，只有充分地做、充分地学，才能让学生在数学学习中展开积极地迁移，主动地提炼、激活相关的数学经验、知识，展开富有个性的创造。创造不仅是学生数学实验的一种重要方式，还是学生数学实验的根本性目的、追求。创造兼具工具性意义和价值性意义的双重属性。比如教学“长方形的面积”这一部分内容时，教师可以引导学生做创造性小实验，通过实验，学生缓慢地建构长方形的面积公式。一开始，教师可以给学生提供单位面积的小正方形，让学生用这些单位面积的小正方形去密铺，这个时候，单位面积的小正方形的个数是足够的。通过密铺，引导学生认识长方形的面积就是单位面积小正方形的个数；接着，教师可以让学生还是用这些单位面积的小正方形密铺，但这个时候，长方形变大了，单位面积的小正方形的个数就不能铺满长方形了，变得“缺斤少两”。至此，可以激发学生的数学思考：长方形中一共有多少个单位面积的小正方形？由此催生学生发现长方形的长也就是单位面积小正方形的每行的个数，长方形的宽也就是单位面积的小正方形的行数；最后，教师可以给学生提供一个更大的长方形，由此引导学生自主建构长方形的面积公式，即长方形的面积公式等于底乘高，也就是单位面积的小正方形的总个数等于每行的个数乘行数。

创造性的小实验，有助于深化学生的数学理解，教师要把握学生创造性实验的起点和发展，更好地引导学生进行数学实验。数学实验不是数学知识的简单再现，而是必须打开数学知识的发生、发展过程。著名数学教育家波利亚曾经这样说：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，更多的是一种实验性的科学、归纳性的科学。”创造性的数学小实验，就是要引导学生展开直觉的猜想、想象，就是要引导学生进行归纳、概括。

数学小实验要引导学生经历数学化、形式化、公理化的学习过程，能充分地发挥和彰显数学学科的育人价值，能让学生的数学学习真正发生、深度发生。

参考文献：

[1]$吴响铃.重视数学实验教学对学生的影响[J].基础教育课程，2011（5）.

[2]$孙朝仁.数学实验教学内部支持系统的构建[J].数学通报，2020（8）.

[3]$張波，徐玥.我国中学数学实验研究：现状与展望[J].课程·教材·教法，2019（2）.

$见习编辑/张婷婷