简论逻辑条件及其自然语言表达

何 霞，宗 慧，洪 龙

（1. 淮阴工学院外国语学院，江苏 淮安 223001；2. 南京航空航天大学计算机学院，南京 210016；3. 淮阴工学院计算机与软件工程学院，江苏 淮安 223003；4. 南京邮电大学计算机学院，南京 210003）

必要条件、充分条件和充分必要条件是逻辑学中的重要概念，也是日常生活、理论研究和工程技术领域中经常用到的概念，我们将这3种条件称作逻辑条件，正确应用它们，能加深人们的相互理解、增进友谊，能促进科学发现和技术创新。正确应用基于准确理解，因此，准确描述这三种条件，并用自然语言进行合适的表达将有益于我们的工作、学习和生活。然而，在以传统逻辑为主要内容的“逻辑学”课程的教学过程中，往往对逻辑条件的理解发生困难。其主要原因是传统逻辑主要以自然语言叙述，而自然语言存在歧义。B Russell从语言研究的角度指出，“除了逻辑与纯粹数学，具有准确意义的字是没有的”［1］，这里的“逻辑”是指以符号为主进行描述的现代逻辑（数理逻辑）。因此，采用现代逻辑描述必要条件、充分条件和充分必要条件是避免歧义并达到一般性的有效路径。本文回顾了对这三个条件的已有的描述并对它们初步讨论后，基于现代逻辑中的命题概念和蕴涵联结词分别描述它们，以期建立具有一般性的、无歧义的定义；之后，用真值表简要讨论条件之间的关系，以及应用中需要注意的问题。

1 逻辑条件的简述

1.1 必要条件

必要条件是逻辑学理论和应用中的重要概念，也是教与学中的难点。

1.1.1 描述及其含义

逻辑学、数学和哲学的部分专著中对必要条件的描述如下。

描述1：如果事物情况p 不存在，事物情况q就不存在，则称p是q的必要条件［2］。摘自《形式逻辑》，这是金岳霖于20世纪60年代编写，1979年出版，并于2006年重版之书。

描述2：一个特定事件发生的必要条件是指，在缺乏它的情况下，该事件不能发生［3］。摘自《Introduction to Logic，thirteenth edition》的译本。

描述3：每当B 不发生，A 就不能发生时，B 被说成是A的一个必要条件［4］。摘自《A Concise Introduction to Logic，10e》的译本。

描述4：如果p 是q 的必要条件，那么q 不能为真，除非p 为真［5］。摘译自《The Oxford dictionary of philosophy》。

描述5：当q ←p 成立时，那么p 是q 的必要条件［6］。摘译自《Concise dictionary of mathematics》。

描述1 至描述3 都具有形式“如果不…，那么不”；因描述4 中的“除非p 为真”与“p 不为真”同义，故其与描述1至描述3的语义相同。我们将这4种描述统一为：

如果非p，那么非q，则称p是q的必要条件。

汉语中的“非”，在逻辑学中用否定联结词“¬”表示，“如果，那么”用蕴涵联结词“ →”表示。采用联接词方法，很自然地就有：¬p →¬q。这里的¬p →¬q与描述5中的q ←p逻辑等值，故它们是相容的。

例1. 如果没有车轮，那么汽车就不能开动。这里的车轮是汽车能开动的必要条件。

理解必要条件需要注意以下两点：

（1）没有规定p 的数量，故符合q 的必要条件的数量大于等于1。

例2. 三角形的定义如下：平面上三条线段构成的封闭图形。现分析下面的语句。

a. 如果没有三条线段，那么就没有三角形。该句中的“三条线段”是“三角形”的必要条件。

b. 如果图形不是封闭图形，那么该图形就不是三角形。显然，“封闭图形”也是“三角形”的必要条件。可见，该例给出了三角形成立的两个必要条件。

（2）有了必要条件p，q未必成立。

例3.“封闭图形”是“三角形”的必要条件。然而，四边形也是封闭图形，但不是三角形。所以有了“封闭图形”这个必要条件，这个图形仍然不是三角形。

无之必不然，有之不必然。这是对必要条件的另一种描述，即没有它肯定不成，有了它也未必能成。故必要条件主要用于否定的证明。

1.1.2 自然语言表达

在应用中，采用“如果非p，那么非q”形式表达必要条件是清晰的。除此之外，还有一些自然语言常见的语句形式。

（1）“只有p，才q”语句形式

该形式是说，只有p为真，q才为真。

例4. 只有认识到自己的缺点，才能改正自己的缺点［2］。

这里的“认识到自己的缺点”是“改正自己的缺点”的必要条件，又是唯一的条件，故无歧义。因为社会中存在“认识到自己的缺点”但不“改正自己的缺点”的现象，故应将该例中的“能”理解为“可能”。这也体现了必要条件的特征——“有之不必然”。

“只有”往往给人以“仅仅有”的认知。《现代汉语词典》的释义如下：“只有”是连词，表示唯一的条件（下文常用“才”或“方”呼应）［7］。因此，使用这种形式时，需谨慎。

例5. 只有年满18周岁，才有选举权。

该例的“年满18 周岁”是“有选举权”的必要条件。

根据《现代汉语词典》对“只有”的释义，该例容易产生歧义。因为“年满18 周岁”不是“有选举权”的唯一条件。根据《中华人民共和国宪法》第三十四条规定：“中华人民共和国年满十八周岁的公民，不分民族、种族、性别、职业、家庭出身、宗教信仰、教育程度、财产状况、居住期限，都有选举权和被选举权；但是依照法律被剥夺政治权利的人除外。”所以，不是中华人民共和国公民，未年满十八周岁和被剥夺政治权利的人都没有选举权。该例的无歧义的较好的表达是“未年满18周岁，就没有选举权。”此外，还可以有：

例6. 被剥夺政治权利，就没有选举权。该例中的“政治权利”是“有选举权”的必要条件。

（2）“q，仅当p”语句形式

该形式表示：q为真，仅当p为真。

例7. 你会钓到鱼，仅当你的鱼钩上有鱼饵［4］。

该例的“你的鱼钩上有鱼饵”是“你会钓到鱼”的必要条件。当然，鱼钩上有鱼饵，也未必会钓到鱼。

这里的“仅当”译自英语的“if and only if”（数学中表示充分必要的用语，汉语译为“当且仅当”）中的“only if”。作为用作定语的形容词，“only”有多种释义，其中，“most worth considering”［8］用来修饰“if”是合适的，因为必要的条件是非常值得考虑的条件。所以，“仅当”应理解为很值得考虑的情形、条件等，而不应见“仅”而理解为“唯一”。

例8. 人能行走，仅当存在引力。

该例从物理学原理解释了人能行走的必要条件。

例9. 人能行走，仅当他有两条腿。

该例从生物学解释了人能行走的必要条件。

（3）“除非p，非q”语句形式

该形式是说：除非p为真，q不会为真。

例10. 除非水有颜色，水不会是红的。

该例的“水有颜色”是“水会是红的”的必要条件。

将此例改为“水不会是红的，除非水有颜色。”这也许更符合阅读习惯。

例11. 长明灯没有熄灭，除非断电。

例12. 长明灯没有熄灭，除非它有故障。

上述的几种表达必要条件的语句形式体现了自然语言丰富多彩，但在应用时必须谨慎，以努力避免歧义。

1.2 充分条件与充分必要条件

1.2.1 充分条件

与必要条件相比，充分条件较易理解，对它的几种描述如下：

描述1：如果事物情况p 存在，事物情况q 就存在，则称p是q的充分条件［2］。

描述2：一个事件发生的充分条件是，它出现的情况下，事件必定发生［3］。

描述3：每当发生A是发生B所必需的全部时，A被说成是B的一个充分条件［4］。

描述1具有“如果…，那么”的显性形式。改写描述2 如下：如果条件出现了，那么事件必然发生。所以它也具有“如果…，那么”的形式，但不是显性的。

可以将这两种描述统一为：如果p，那么q，则称p是q的充分条件。

例13. 如果天下雨，那么地面就有水。

这里的“天下雨”是“地面有水”的充分条件。理解充分条件需要注意：

（1）有了充分条件p，q一定成立。

例14. 设x 为正整数。如果x 能被9 整除，那么x能被3整除。

（2）没有充分条件p，q未必不成立。这表明符合q的充分条件的数量大于等于1。

例14 中的“能被9整除”是“能被3整除”的充分条件。除此之外，还有许多“能被3整除”的充分条件。如：

例15. 设x 为正整数。如果x 能被6 整除，那么x能被3整除。

例16. 设x为正整数。如果x能被12整除，那么x能被3整除。

有之必然，无之不必不然。这是对充分条件的一种描述，即有它肯定成，没有它也未必不成。故充分条件主要用于肯定的证明。

“如果p，那么q”是常用的表达充分条件的自然语言语句形式。除此之外，还有其它形式，例如“只要p，就q”。依此，例14可以改写为：

例17. 设x为正整数。只要x能被9整除，x就能被3整除。

评注. 描述3 将A 当作B 的充分条件时，要求“A是发生B所必需的全部”，这里的“全部”的说法是有问题的。描述一、描述二未提及充分条件的数量；从上述的讨论中知，充分条件的数量大于等于1。如果根据“全部”的说法，那么就需要将所有的充分条件合而为一，结果只有一个充分条件，产生矛盾。故要求“全部”既不符合客观与实践，也不符合描述1 和描述2，因为它们并不要求“全部”。依其行文风格，试将描述3改写如下：

描述3’. 每当发生A时，必然出现发生B，A被说成是B的一个充分条件。

当然，描述3 也是一种对充分条件概念的叙述，一种与主流叙述有差异的叙述。

1.2.2 充分必要条件

将必要条件与充分条件结合，就有充分必要条件。对它的描述如下：

如果p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么称p是q的充分必要条件。

p与q要么同时存在，要么同时不存在，这是充分必要条件的基本特征。

人们往往用自然语言“当且仅当”表达充分必要条件。

例18. x是偶数，当且仅当x能被2整除。

显然，“x 是偶数”是“x 能被2 整除”的充分条件。现设x 不是偶数，那么x 就不能被2 整除。故“x是偶数”又是“x能被2整除”的必要条件。

需要注意，符合q的充分条件p的数量也大于等于1。

例19. 一个三角形是等腰三角形，当且仅当它有两条边相等。

例20. 一个三角形是等腰三角形，当且仅当它有两个内角相等。

“当且仅当”是目前惯用的表达充分必要条件的自然语言语句形式。除此之外，还有其它形式，例如“如果而且只有p，就q”，“如果而且仅仅如果p，那么q”，等等。但因“当且仅当”朗朗上口，所以它们很少使用。

有之必然，无之必不然。这是对充分必要条件的一种描述。有之必然体现了充分条件；无之必不然体现了必要条件。然而，理解它们时需要注意：对事物的必要条件或充分条件的数量都是大于等于1。

2 逻辑条件的定义

为了避免歧义并达到一般性，本节将立足现代逻辑中的命题和蕴涵联结词，采用符号建立逻辑条件的定义。

2.1 命题概念简介

我们首先简单介绍现代逻辑中有关命题的概念。

命题是指能区分真假的陈述句。据此，一个命题或为真或为假，二者必居其一，且为惟一。这里的“真”与“假”称作命题的真值。

疑问句（如“你好吗？”）、祈使句（如“请进！”）等都不是命题。含混不清的陈述句也不是命题。例如，陈述句“天气太热”就不是命题，因为该语句说不清何谓“太”热，即热的程度，其语义是模糊的。

我们能用一个字母表示命题。

例21. p：南京是一座城市。

例22. q：篮球是方的。

一般认为，符合客观现实的命题的真值为真，否则为假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。所以，例21是真命题，例22是假命题。

这里的p和q都是原子命题，即不可再分的命题。通过联结词将原子命题联结起来就构成了复合命题。例如，¬p，p →q，p ↔q，等。这里的符号¬是否定联结词，读作“非”；符号→是蕴涵联结词，读作“如果，那么”，故“p →q”读作“如果p，那么q”；符号↔是等值联结词，读作“当且仅当”。有了复合命题，就能表示复杂的语句。例如，根据例21，复合命题¬p表示：南京不是一座城市。

当然，我们也可以用否定句表示命题。例如，

例23. p：辣椒不是蔬菜。

那么，¬p就表示：辣椒不是不是蔬菜，即辣椒是蔬菜。这显得别扭。

命题是现代逻辑的基本概念之一，它是以联结词进行逻辑演算的基本对象。

注. a. 本小节中的“联结词”“原子命题”和“复合命题”均为现代逻辑中的基本概念，它们在以传统逻辑为主要内容的一些文献中均未提及，例如文献［2］、文献［9］的第一章等。b. 从真值看，本小节中的复合命题“¬p”等价于传统逻辑中的“负判断”［2］。；复合命题p →q 等价于传统逻辑中的“假言判断”［2］。c. 传统逻辑将判断分为性质判断、关系判断等多种类型；现代逻辑强调以命题形式进行推理及推理过程，只在应用时涉及具体内容。

2.2 基于蕴涵词的条件定义

我们已用自然语言描述了必要条件、充分条件和充分必要条件。为了准确地刻画逻辑条件，下面用命题和蕴涵联接词进行描述，并给出应用示例。

定义1. 若p →q，则称p是q的充分条件。

例24. 设p：x是动物，q：x有新陈代谢。那么p→q可以“翻译”为：如果x是动物，x就会有新陈代谢。这里的“x 是动物”是“x 有新陈代谢”的充分条件。

例25. 试题：如果x能被11整除，那么8x能被11整除。请问，这是充分条件蕴涵表达式（传统逻辑中的假言判断），还是必要条件蕴涵表达式？

设p：x能被11整除；q：8x能被11整除，则题设可以“翻译”为：p →q。根据定义1，“x 能被11 整除”是“8x能被11整除”的充分条件。

定义2. 若¬p →¬q，则称p是q的必要条件。

例26. 已知化学中水的分子式为H2O，其中H是氢的原子符号，O是氧的原子符号。设p：该物质含有氧；q：该物质是水。则¬p →¬q表示：如果该物质没有氧，那么该物质就不是水。此处的“该物质有氧”是“该物质是水”的必要条件。

例27. 试题：如果甲、乙两物体之间没有作用力，那么甲、乙两物体之间就没有反作用力。请问，这是充分条件蕴涵表达式，还是必要条件蕴涵表达式？

物理学中牛顿第三定律表示为F=-F′其中F为作用力，F′为反作用力。设p：甲、乙两物体之间存在F；q：甲、乙两物体之间存在F′，则题设可以“翻译”为：¬p →¬q。根据定义2，“甲、乙两物体之间有作用力”是“甲、乙两物体之间有反作用力”的必要条件。

注. 为了讲清楚如何应用，例24 至例27 中用了“翻译”一词，并且是从符号到自然语言或从自然语言到符号的双译。翻译法是现代逻辑（数理逻辑）教学中的常用方法。

定义2 中采用：¬p →¬q，这较直观地表达了必要条件的“无之必不然”的特质。当然，也可以用q →p，但显性不如前者。

定义3. 若p ↔q，则称p 是q 的充分必要条件。

例28. 设p：这个月少于30 天，q：这个月是二月。则p ↔q表示：这个月少于30天，当且仅当这个月是二月。这里的“这个月少于30 天”是“这个月是二月”的充分必要条件。

上述三个定义均采用命题符号和蕴涵连接词符号进行刻画，且条件均采用p，较好地实现了无歧义和一般性。

注. 这三个定义未用蕴涵式的前件和后件进行描述，避免了易产生的误读。若采用前件和后件进行条件的辨识，即前件是后件的条件，那么下面两条表达式均可认为是充分条件的蕴涵表达式：

p →q；

¬p →¬q.

然而，它们的真值表的不同已表明它们绝不会是同一种逻辑条件。因此，在应用时，特别在学生应试时，容易出现似是而非的结果。

3 简单的讨论

3.1 条件之间的关系

如表1 所示，我们根据真值表，讨论条件之间的关系。

表1 充分条件、必要条件和充分必要条件中用到的联结词真值

从表1 中，我们首先注意到，¬p →¬q 与q →p的真值相同，故有

定义2′. 若q →p，则称p是q的必要条件。

我们又注意到在p →q和q →p中，仅仅是字母符号的位置互换，而前者的p 是q 的充分条件，后者的p是q的必要条件。

根据定义1，我们注意到，在q →p 形式中，q是p的充分条件；根据定义2，在¬q →¬p形式中，q是p的必要条件。由于p →q和¬q →¬p的真值相同，q →p 与¬ p →¬ q 的真值相同，所以，有结论：

若p是q的必要条件，则q是p的充分条件；若p是q的充分条件，则q是p的必要条件。

该结论是必要条件与充分条件之间的基本关系，记作RN-S。

例29. 如果你不识字，那么你就不能阅读《逻辑学》。

根据RN-S，该例中的“识字”是“能阅读《逻辑学》”的必要条件；而“能阅读《逻辑学》”是“识字”的充分条件。

我们还注意到，根据定义3，p ↔q 中的p 是q的充分必要条件，依表1知，当p、q同真或同假时，p ↔q才为真，故p、q可以互换位置。记RSN表示充分必要条件p ↔q中的p与q的基本关系，RSN的描述如下：

若p 是q 的充分必要条件，则q 也是p 的充分必要条件。

例30. 已知一天的最高气温达到或超过35℃就是高温天气。设p：今天是高温天气，q：今天最高气温不低于35℃。则p ↔q表示：今天是高温天气，当且仅当今天最高气温不低于35℃；而q ↔p表示：今天最高气温不低于35℃，当且仅当今天是高温天气。

注. 充分必要条件中命题之间的基本关系RSN不同于必要条件与充分条件之间的基本关系RN-S，应当仔细辨识。

3.2 应用中建立条件的基本原则

（1）使用命题作为条件。定义1、定义2和定义3 是以p、q 和蕴涵联结词→描述逻辑条件的。故作为条件的p是命题。如果应用中没使用命题，那么会出现难以预料的结果。

例31. 如果机动车行驶太快，那么驾驶者就违反了道路安全法。

这是充分条件的具体应用。但该例中的“太快”是模糊的，这里的太快是指每小时50公里还是每小时60 公里呢？还是其它？所以无法判断“机动车行驶太快”的真假，故其不是命题。若以此作为交通执法的依据，则给执法人员带来了不便，也会出现执法的随意性。

根据《中华人民共和国道路安全法实施条例》，对具有不同特征的城市道路和公路，都有明确的机动车限速规定，例如，同向只有一条机动车道的道路，城市道路的最高行驶速度为每小时50公里，公路为每小时40 公里。依此，改写例30如下：

例31. 如果机动车行驶超过限速，那么驾驶者就违反了道路安全法。

（2）条件尽量不使用负命题。文献［1］在讲述定义的规则时指出：“定义项，除非必要，不应包括负概念”，这里的负概念是指不具有某种属性的事物。在拟定条件时，也应遵循这条规则，尽量不使用真值为假的命题（特别是在设计试题时），以避免误判。

例32. 试题：“如果不下雨，那么我不会打伞。”请问，这是充分条件蕴涵表达式，还是必要条件蕴涵表达式？

在没有明确指定条件是什么、或未理解本文定义的情形下，该题往往会有不同的答案。分析如下：如果将“不下雨”当作条件，那么根据定义1，它就是“不会打伞”的充分条件；如果将“下雨”当作条件（正命题），那么根据定义2，它就是“打伞””的必要条件。

根据本文引用的描述1 至描述5，以及本文的描述和定义，必要条件假言判断是正确答案，不赘述。

（3）蕴含式中的p和q必须符合客观现实或已有的理论。

例33. 设p：x 大于6，q：x 的绝对值小于0。充分条件p →q的自然语言表达如下：如果x大于6，那么x的绝对值小于0。

显然，在“x大于6”的情形下，“x的绝对值小于0”不符合“绝对值”的概念。故该例是荒唐的陈述，应力求避免。

（4）应用中的p和q必须有关联。为了达到一般性和无歧义，本文中的定义都采用了符号p 和q。在应用时，只要是能辨识真假的陈述句都能替代它们。然而，在逻辑条件的应用中，p和q必须有关联，否则会出现不该发生的怪论。

例34. 设p：今天天晴，q：煤是黑的。那么充分条件p →q的自然语言表达如下：

a. 如果今天天晴，那么煤是黑的。

必要条件¬p →[¬]q的自然语言表达如下：

b. 如果今天不是天晴，那么煤不是黑的。

众所周知，黑色是煤的自然属性，天晴与其没有任何联系。

再看充分必要条件p ↔q的语言表达：

c. 今天天晴，当且仅当煤是黑的。

这更令人啼笑皆非。

上例的怪论均由p与q之间缺少关联而出现，这种情形应力求避免。

3.3 其他

（1）再论充分必要条件。作为表达充分必要条件的自然语言语句形式，“当且仅当”具有简明的特征。然而，有些情形下，充分必要条件是非显性的出现，这就需要作全面地分析。

例35. 如果她是母亲，那么她就有子女。

该例是应用充分条件的自然语言语句，其中“母亲”是“有子女”的条件。

例36. 如果她不是母亲，那么她就没有子女。

该例显然是应用必要条件的语句，其中“母亲”是“有子女”的条件。

例35 和例36 中的“有子女”的条件都是“母亲”，所以这两个例均是隐性的充分必要条件表达语句。

（2）非逻辑条件。如前所述，本文将必要条件、充分条件和充分必要条件称作逻辑条件。除此之外，在自然语言表达中还有其它类型的条件。

例37. 假如我是你，那么我正在潜水。

“我是你”是“我正在潜水”的条件，但它与现在的事实矛盾，即与“我不是你”相反；另外，从语义看，“我正在潜水”也不符合事实。这种表达属于英语中的虚拟语气。

例38. 如果他不太高，那么他就不能当篮球运动员。

该例中的“不太高”具有模糊性，故不是本文所讨论的逻辑条件。这类条件应属模糊条件，它们在模糊数学中有详尽的叙述。

例39. 欲穷千里目，更上一层楼。

该例出自唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》，这是一首千古传诵脍炙人口的诗。诗句中“欲穷千里目”是“更上一层楼”的目的；“更上一层楼”是“欲穷千里目”的条件。诗的前两句是“白日依山尽，黄河入海流。”可见，诗人将奋发进取、积极探索的精神交融于壮阔的自然景观，从多维视角、艺术地表达了易被忽略的人生哲理。

例40. 假如给我三天光明，那么我最希望看到在我的黑暗岁月里最令我珍惜的东西。

该例的语句摘译自世界著名的盲人女作家Helen Keller 的名篇《Three Days to See》。语句中“给我三天光明”的条件和作者“最希望看到”的东西是一种文学的叙事架构。Helen 身残志坚，致力残疾人事业，是世界著名的慈善家。在人生最初的十九个月时，疾病使Helen 失明失聪，所以一个曾经五官健全的但被剥夺了天赋官能的人更会珍惜所失去的。正因这样，Helen 才能将自己的爱心、体验、联想和幻想集成于文学创作。

上面列举了虚拟条件、模糊条件和文学艺术中所展现的条件。当然，如果淡化命题概念，它们也可能成为充分条件或必要条件。

有一类条件语句——不符合客观现实或已有的理论的语句——必须避免，如例33。否则会引出谬误。下面再举一例。

例41. 如果x是素数，那么x是奇数。

该例中的“x是素数”貌似是“x是奇数”的充分条件。然而，根据素数的定义，2是素数，但它是偶数。故此例是一种违背科学的预设谬误。

4 结语

采用现代逻辑建立逻辑条件的定义，力求准确描述必要条件、充分条件和充分必要条件的概念是本文的写作目的。准确理解概念是教学中能讲清楚的基本要求，也是使学生能听明白的重要前提。在教学过程中，用合适的应用示例分析逻辑条件的自然语言表达，对学生深入理解概念至关重要。故本文讨论了表达逻辑条件的自然语言语句形式。与此同时，本文也评判了一些已存在的表述，以期能尽量避免歧义，不出现或少出现概念混淆的谬误。

金岳霖［2］的补记指出：“自然语言所说的充分条件、必要条件缺少严格的定义。”本文采用符号对它们及充分必要条件进行定义是一种“补缺”的努力，以期有益于逻辑学的理论研究和实际应用。