平均曲率半径对电磁波测距三角高程测量的影响分析

张成增,丁 璐,李增星,芦小勇

(1. 中国电建集团西北勘测设计研究院有限公司,西安 710065;2. 陕西岚河水电开发有限责任公司,陕西 安康 725000)

0 前 言

电磁波测距三角高程测量(EDM-Trigonomeric Leveling)的高差改正计算与地球平均曲率半径和折光系数有关[1-6]。现行的不同测量规程规范中,对计算中地球曲率半径取值的规定有所不同,或未作具体要求,虽然有的规范给出了唯一取值,但是在实际作业中,测量人员取值的方式多种多样,有按地球平均半径取值,有按地球平均曲率半径取值,有按椭球长半轴半径取值,有通过查询表查询,也有通过公式具体计算,有的取值精确到1 km,有的取值精确到1 m,总体上没有明确的取值标准。本文通过分析地球曲率半径取值精度对三等三角高程测量精度的影响,获得三等及以下测距三角高程测量对地球曲率半径取值的精度要求,为测距三角高程测量计算中地球平均曲率半径的取值精度提供明确、可靠的技术依据。

1 地球平均曲率半径

由于地球平均曲率半径计算的数据量较大,为了便于应用,本文给出CGCS2000参考椭球体不同纬度的地球平均曲率半径索引表,具体见表1。

表1 地球平均曲率半径索引表 /m

2 测距三角高程测量误差来源分析

GB/T 12898—2009《国家三、四等水准测量规范》给出四等水准路线或支线采用电磁波测距三角高程导线测量时,每点设站法测站高差的计算中,相邻测站间单向观测高差计算公式为:

(1)

式中仅考虑了地球曲率对高差观测值的影响,明确指出式中R为地球平均曲率半径,采用6 369 000 m,公式中没有考虑大气垂直折光对高差的影响。

CJJ/T 8-2011《城市测量规范》给出的四等三角高程导线测量相邻测站间对向观测的高差计算公式,以及NB/T 35029-2014《水电工程测量规范》给出三、四、五等电磁波测距三角高程观测时,单向观测高差计算为式(2):

(2)

式中:S为观测边的斜距;α为垂直角;K为垂直折光系数;R为地球平均曲率半径;i为仪器高;l为标高。

公式中同时考虑了地球曲率和大气折光系数K对高差观测值的影响,但对地球平均曲率半径R的取值精度没有做出明确规定。

电磁波测距三角高程测量在实际工程测量应用中,测距边一般较长,地球曲率和大气折光都会对高差产生影响[1]。下面的分析计算以式(2)为基础进行。式(2)可表示为:

(3)

对式(3)进行微分,根据误差传播定律可得:

(4)

由以上电磁波测距三角高程测量高差误差公式可知,影响高差测量精度的主要因素为垂直角α的测量误差和大气垂直折光系数K的测量误差,其他影响因素还有边长、地球平均曲率半径、仪器高、标高等误差。其中,与地球平均曲率半径误差相关的改正项为:

(5)

3 大气垂直折光系数变化范围

测距三角高程测量中的大气折光一般属于近地层的垂直折射,这种折射主要由温度梯度致使大气密度发生变化而产生[8]。而折光系数K与气温、气压特别是大气密度有关,其值不易测定[9]。

一般地区观测条件较好的情况下(成像清晰、信号稳定、视线高度离开地面1.5 m以上、观测时避开日出日落时段等),这时的垂直折光系数K随着地理位置条件的不同,约变化于0.09～0.16[10]。

文献[11]针对不同观测条件(含地面温度变化梯度大,视线离开地面较近等恶劣观测条件),通过大量实测资料统计分析得知,各种地形条件下的大气折光系数的变化范围很大。阴天,视线悬空为下限,晴天,接近地面为上限的情况下,高山峡谷地形条件、视线悬空时,K为-0.10～0.15;一般山区、视线离开地面5 m以上时,K为-0.40～-0.20;丘陵地区、视线离开地面1.5 m以上时,K为-0.60～-0.30;平原水网、视线平行地面时,K为-0.80～-0.40;沙漠戈壁、视线平行地面时,K为-2.50～-0.60;铁路既有线、视线平行地面时,K为-4.00～-0.80[11]。

由此可见,其数值变化很大,如果作业中K值取值不当,将会使观测高差值出现较大误差。结合文献[10]和文献[11]的统计分析,可知在不同观测条件下,K值变化于-4.00～0.16。为了简化式(5)的运算,K值分别取0、-1、-2、-3、-4,进行计算分析。

4 地球平均曲率半径误差的影响

《国家三、四等水准测量规范》规定,三、四等水准测量每公里水准测量的偶然中误差限差分别为3.0 mm和5.0 mm。首先来分析R的取值精度对三等水准测量精度的影响,满足三等水准测量精度后,自然满足四等及以下等级的精度要求。

由式(4)可见,测距三角高程测量高差的误差是采用方和根合成的,根据微小误差取舍准则[12],当测量不确定度的有效数字取1位时,被舍去的某个分量引起的误差δk必须小于或等于测量结果总标准差δ的1/3;当δk≤(1/3)δ时,则δk可视为微小分量。

故此,对于代替三等水准测量的测距三角高程测量,如果某改正项引起的误差不大于偶然中误差的1/3,即不大于1 mm时,可视其为微小分量,计算总误差时即可舍去。也就是说,如果与地球平均曲率半径误差相关的改正项mc≤±1.0 mm时,mc项即可舍去。

即当地球曲率半径误差(mR)满足如下条件时,由其引起的测量误差可以舍去:

(6)

为了简化计算,上式中,当垂直角α为0°,视线长度S取《国家三、四等水准测量规范》规定最大长度1 000 m时,式(6)可转化为:

(7)

即:对于三等电磁波测距三角高程测量,当满足式(7)的条件时,由地球平均曲率半径R取值误差引起的改正项可以忽略不计。

针对不同的垂直折光系数K,可利用式(7)计算不同纬度位置地球平均曲率半径取值的最大允许偏差值。

CGCS2000椭球体不同纬度三等测距三角高程测量中,计算高差改正值时,地球平均曲率半径取值的最大允许偏差值如表2所示。

表2 三等测距三角高程测量平均曲率半径取值最大允许偏差值

根据不同的垂直折光系数K所对应的R最大允许偏差,可计算不同纬度处地球平均曲率半径R的允许取值范围,具体如表3所示。由表3生成相应的R允许取值范围随纬度变化的曲线如图1所示。

表3 三等测距三角高程测量平均曲率半径最大允许取值范围

由表2、3及图1可知,在CGCS2000参考椭球下:

(1)K值相同时,随着纬度的增加,R的允许偏差值逐渐增大,但增大幅度较小;

(2) 相同纬度,随着K值的减小,R的允许偏差值逐渐减小,且减小幅度较大;

(3)K值不小于-2.0时,可取用椭球长半径近似值6 378.1 km代替全球各地的地球平均曲率半径,进行三、四等(或以下)测距三角高程测量计算;

(4) 当工程区观测环境较恶劣(K值较小)时,R应取当地地球平均曲率半径。

事实上,一般观测条件下(排除地面温度变化梯度大,视线离开地面较近等恶劣观测条件),大气垂直折光系数K的变化于0.09～0.16[10]。最大视线长度1 000 m范围内,经过验算可知:

(1) 使用纬度45°处的地球平均曲率半径R=6 378.1 km(近同于CGCS2000椭球体长半径6 378.137 km),来代替地面各点的平均曲率半径,计算高差变化值,其引起的变化范围在±0.24 mm之间,远小于三等水准测量每公里水准测量的偶然中误差限差±3.0 mm,完全满足三等及以下水准测量精度要求;

(2) 常有的几种椭球体(克拉索夫斯基椭球体、1975年国际椭球体、WGS-84椭球体、CGCS2000椭球体等)之间,所获得的R值变化范围较小,可以不考虑椭球体间曲率半径的差异,高差计算中可取相同的近似值;

(3) 地表高程值与地球曲率半径允许偏差值相比,高程值较小时,可以不考虑当地高程值引起的曲率变化。

事实上,经过验算还可得知,当观测条件稍差(如当折光系数K=-2)时,使用纬度45°处的地球平均曲率半径R=6 378.1 km,来代替地面各点的平均曲率半径,计算高差变化值,其引起的变化范围在±0.81 mm之间,此时对于三等水准测量精度要求来说,理论上仍可将其视为微小分量。实际应用中,考虑到高海拔、大高差等对观测边所处位置平均曲率半径的的影响,谨慎起见,特别是当K≤-2时,应采用当地平均曲率半径。

5 结 论

通过以上对测距三角高程测量高差计算中,由于地球平均曲率半径误差所致高程测量精度变化的分析,可得出如下结论:

(1) 一般观测条件(成像清晰、信号稳定、视线高度离开地面1.5 m以上、观测时避开日出日落时段等)下,为了计算方便计算和减少R值对高差改正的影响,建议采用纬度45°处地球平均曲率半径R=6 378.1 km,进行三等及以下测距三角高程测量中的高差计算。

(2) 恶劣观测条件(如地面温度变化梯度大,视线离开地面、水面或障碍物较近等)下,特别是当观测边超长或折光系数K≤-2时,应查表或计算工程区相对应的地球平均曲率半径值,进行高差计算。

(3) 常用的椭球体(克拉索夫斯基椭球体、1975年国际椭球体、WGS-84椭球体、CGCS2000椭球体等)之间,所获得地球平均曲率半径R的差异值与其允许偏差值相比较小,可以不用考虑椭球体间曲率半径的差异。