矩阵最高阶非零子式的精确定位法

范飞亚 杨泽辉 龙全贞

(武警海警学院 浙江宁波 315801)

矩阵的秩是代数学中一个基本的概念，在解决线性方程组的求解、向量组的线性相关性等相关问题上都有着重要的应用[1-2]。教材通常是用非零子式的最高阶数来定义矩阵的秩，且概念比较抽象，不易于理解[3-4]。大部分学生知道要去寻找最高阶非零子式，来计算矩阵的秩，但是却不知道如何寻找。蔡慧萍等人[5]与陈洪海等人[6]对最高阶非零子式的求法进行了粗略探讨，给出了用初等行变换寻找最高阶非零子式的简易算法，但是没有给出严格的证明与精确的求解步骤。本文阐述了最高阶非零子式在初等行变换下是如何变化的，进而给出用初等行变换的逆变换精确定位最高阶非零子式的方法。

1 概念准备

1.1 初等行变换

以下3种变换称为矩阵的初等行变换[7]。

（1）对换两行（对换i、j两行，记作ri↔rj）。

（2）以数k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作ri×k）。

（3）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj）。

1.2 行阶梯型矩阵

引理 设A与B行等价，则A与B中非零子式的最高阶数相等[8]。

非零矩阵若满足以下条件：（1）非零行在零行的上面；（2）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵[9]。

1.3 矩阵的秩

设在矩阵A中有一个不等于0 的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)[10]。

2 最高阶非零子式的精确定位法

设Bm×n经过一次初等行变换化为矩阵Am×n(1 ＜i＜j＜r＜s＜t＜m)，由引理知，B与A非零子式的最高阶数相等。

假设A的左上角r阶子式Ar为其最高阶非零子式，下面从初等行变换的3种变换来说明如何精确定位原矩阵B的最高阶非零子式Br。

2.1 对换两行

（1）当B经过第i行与第j行互换形成A，此时A的第i行与第j行互换便形成B，且有

因Ar≠0，故有Br≠0。

（2）当B经过第i行与第t行互换形成A，此时A的第i行与第t行互换形成B，且有

因Ar≠0，故有Br≠0。（3）当B经过第s行与第t行互换形成A，此时A的第s行与第t行互换形成B，且有Ar=Br≠0。

2.2 某一行的k倍（k ≠0）

2.3 某一行的k倍加到另一行上

（1）当B经过第j行的k倍加到第i行形成A，此时A的第j行的-k倍加到第i行上形成B，且有Ar=Br≠0。

（2）当B经过第i行的k倍加到第s行形成A，此时A的第i行的-k倍加到第s行上形成B，且有Ar=Br≠0。

（3）当B经过第t行的k倍加到第s行形成A，此时A的第t行的-k倍加到第s行上形成B，且有Ar=Br≠0。

（4）当B经过第t行的k倍加到第i行形成A，此时A的第t行的-k倍加到第i行上形成B：

其中：Dr的绝对值与B的r阶子式B*r的绝对值相等。因为Ar=Br+kDr≠0，故要么Br≠0，要么Dr≠0。从而Br与B*r至少有一个是B的最高阶非零子式。

3 例题讲解

因为初等行变换是可逆的[11]，则有

在上述例题中，通过初等行变换的逆变换[11]，可从矩阵A一步步走回原矩阵B，进而定位出最高阶非零子式。实际上，还可以简化计算。在A中，D10位于A的第一列、第二列、第四列的子块中，因此只需要对A的这个子块进行分析就可以。

4 结语

寻找一个矩阵的最高阶非零子式，只需把矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。写出行阶梯形矩阵到原矩阵的所有逆变换，接着在行阶梯形矩阵中选定一个最高阶非零子式，根据逆变换，逐步定位出原矩阵的最高阶非零子式。正是如此，可以让学生对矩阵的最高阶非零子式更加清晰明了，对矩阵秩的定义理解更透彻。