学生数学高阶思维培养的有效途径研究

李敏杰

【摘 要】数学高阶思维，主要是指在数学的教学活动中根据特定的、具体的目标培养学生高水平的、复杂的思维。高阶思维具有严谨性、概括性、批判性等特点，其在小学生的成长与学习中具有至关重要的作用。本文首先对数学高阶思维进行了相关研究，在此基础上对其培养的有效途径进行了一定的探究，以更好地促进学生的学习与成长。

【关键词】数学教学 高阶思维 严谨思维 概括思维 批判思维

高阶思维是相对低阶思维而言的，它们刻画了儿童思维水平的高低，而高阶思维是儿童高水平的思维活动。按照布卢姆的认知目标分类建立对应关系，通常将思维过程中的分析、综合、评价统称为高阶思维。数学新课标指出，要培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，重视学生高阶思维能力的培养。教师在教学中，培养学生的高阶思维，是学生数学核心素养发展中不可缺少的重要组成部分。在当前的数学教学中，对培养学生高阶思维能力的方式与方法进行探究与实践，已经成了重要的研究领域。

一、数学高阶思维的概述

高阶思维这一概念的提出和使用主要基于一种学习理论。高阶思维的主要提出者之一——布卢姆针对认知视角下的教育问题进行了深入的思考，他将教学领域中的主要目标分为几种不同的类别，其中包括记忆、理解、应用、分析、综合和评价，记忆、理解和应用被界定为低阶思维；分析、综合和评价则被界定为高阶思维，能够在较高的层次上体现人们的认知能力，并使问题的处理效果达到最佳。高阶思维可以用来解决新的问题和特定领域的问题，且解决问题不能只寻求一种路径和方式，要采取多样化的思维，而高阶思维恰恰可以满足这个条件，能够运用多元方案将问题进行合理处理，从而提升学习和工作的实际效率。在高阶思维的作用下，人们解决问题通常是需要通过心智努力来实现的，因为整个过程涉及对问题的理解、方法的调整和运用、对问题的思考和解决等。

本文探讨的内容是小学阶段的数学高阶思维培养的主要途径这一现实性问题，笔者结合数学高阶思维的几个重要特征进行分析，将其与小学数学学科特征结合，以便提升学生的数学高阶思维能力。

二、培养数学高阶思维的有效途径研究

（一）严谨性思维：让数学学习从“直觉”转向“说理”

通常来说，思维的严谨性是指研究问题时要严格遵守逻辑规则，做到概念清晰、判断正确、推理有据。严谨性思维属于布卢姆目标体系中的“分析”层面，是一种高阶思维形态。在数学教学中，教师要给予学生充分的独立思考、合作交流和反思的时间，帮助学生从“直觉思维”向“说理思维”过渡。

例如，在教学苏教版数学五年级上册“平行四边形的面积”时，教师呈现了长方形和平行四边形的花坛各一个，并给出长方形长和宽的数据以及平行四边形相邻两边和其中一条高的数据。教师抛出核心问题：“长方形花坛和平行四边形花坛相比，哪个面积更大？”学生独立思考后，交流想法。

生1：长方形的面积公式是长×宽，由此可求出面积为6×4=24平方米。平行四边形有两个尖角，种的花会少一点。我认为长方形面积大。

生2：因为长方形面积是用乘法计算，我猜想平行四边形的面积也是用乘法计算。

生3：我猜平行四边形的面积公式是底×高，则它的面积为6×4=24平方米。

师：你们的猜想有一定道理，你们准备怎样验证呢？

生4：我用数格子的方法，有20个整格，8个半格，2个半格算一个整格，面积是20+8÷2=24（平方米）。

生5：我是沿着线剪开，把三角形平移到右边，拼成了长方形，所以面积就是6×4=24（平方米）。

生6：我把平行四边形剪成了2个梯形，把左边的梯形平移到右边，也变成一个长方形。

师：这两位同学都是沿着平行四边形的什么剪开，平移后拼成长方形的？

生7：都是沿着高剪开的。

师：先观察，再思考转化后的长方形和原来的平行四边形有什么聯系。在小组内交流你的想法。

生8：长方形是平行四边形剪拼转化得到的，它们的面积相等，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的宽等于平行四边形的高，所以平行四边形的面积=底×高。

师：是呀，通过把平行四边形转化成长方形，得到了平行四边形的面积=底×高。回顾探究的过程，你们有什么体会？

生9：知识之间是有联系的，我们可以把新知识转化成旧知识进行研究学习。

生10：在学习新知识时，可以勾连与之相关的旧知，通过先观察、猜想，再操作、验证的方法探究新知识。

学生学习新知识的时候，多数都不是零起点的。不管他们对新知的直觉是对是错，教师都不要提前干预，在学生学习的过程中扮演好组织者和引导者的作用，让他们自己去探究，在说理的过程中，学生会逐步明晰对错。学生一如既往地用说理的方式阐述数学问题、学习数学知识，他们的思维就会不断走向严谨。

（二）概括性思维：让数学学习从“表象”转向“本质”

概括性思维指对知识体系和知识结构的概括，从一类题中概括出数学思想方法。概括有归纳、提炼和抽象的意思，概括性思维属于布卢姆目标体系中的“综合”层面，也是一种高阶思维形态。数学思想方法的领悟和概念的习得显然离不开概括性思维。学生在概括的过程中，数学知识的学习从“表象”转向“本质”。

例如，学生在解决数学教材中题目时的交流分析。

先计算，再观察每组中的得数，你有什么发现？

（1）1—2－1—3=              1—2×1—3=

（2）1—3－1—4=                  1—3×1—4=

（3）1—4－1—5=                  1—4×1—5=

生1：通过计算，我发现第一组的答案都是1—6，第二组的答案都是1—12，第三组的答案都是1—20。

生2：我发现这些分数的分子都是1。

生3：我还发现了每组中2个分数的分母相差1。

师：你们能把刚才三位同学的发现概括成一句话吗？

生4：分母是相邻的非零自然数，且分子都是1的两个分数，它们的差等于它们的积。

师：是不是所有的这样的两个分数相减都符合这句话的规律呢？你有什么办法验证？

生5：再举几个例子，只要这些例子都符合，那么说明结论是正确的。

师：可是例子是举不完的，说不定会有不符合的例子，只是没有发现而已。

生6：可以用字母来表示这里的分母，这样就有一般性了。

生6：在1— n－1 —（n+1）这个算式中，1— n的分子和分母同时乘n+1，分数值不变，变成（n+1）— n（n+1）；1 —（n+1）的分子和分母同时乘n，分数值也不变，变成n — n（n+1）。同分母分数相减，算出差是1— n（n+1），也就是1— n×1 —（n+1）。

师：用字母表示分母这两个非零自然数的方法非常巧妙，并验证了结论是正确的，真了不起！

当学生具有较好的概括性思维能力时，由原来对数学对象的感性认识上升到理性认识，从而让知识的本质属性暴露出来。理解了数学对象的本质和规律，数学学习才能走向深入，才能培养学生的数学高阶思维能力。

（三）批判性思维：让数学学习从“定势”走向“开放”

批判性思维是一种基于充分的理性和客观事实而进行理论评估与客观评价的思维方式。批判不是意味着否定，它更多地表现为对问题的进一步思考和分析，是对他人想法的补充和提升。批判性思维属于布卢姆认知目标体系中的“评价”层面，也是一种高阶思维形态。具有批判性思维的人，会审视问题的本质，质疑和补充不完整的想法，反思自己的想法，从而让数学知识的学习从“定势”转向“开放”。

例如，学生在解决数学教材中题目时的交流分析。

用分数表示图（图1）中的涂色部分。

生1：把涂色的正方形旋转一点，使它“正过来”，这样就正好是9格。所以涂色部分占9—16。

生2：正方形的边长要比3格多一些，转过来后并不能得到3×3的正方形，而是比这个大。

生3：从涂色正方形中割下2个三角形，把左上角和右下角的2个直角三角形空白处补上（图2），我发现正好是10格。所以涂色部分占10—16 =  5—8 。

生4：割补法解答这道题很实用。

生5：我发现了在原来算成9格的基础上加上1格就是正确答案了。

师：你们提出了一个很好的猜想，这种猜想具有普适性吗？小组合作，再画几个这样的图形，试试看。

生6：我画了5×5的方格（图3），用割补法发现它的阴影部分是17格（图4）。如果按照猜想，转过来的错误答案是4×4=16，再用16+1=17，和正确的格数是一样的。

生7：我也试了，这个猜想的确是正确的，好神奇啊！

师：你们能用算式把發现的规律表示出来吗？如果正方形的边长是n，涂色部分的面积是多少呢？

生8：我观察了图，发现割补后，涂色部分都是左下角一个正方形再加1格。左下角正方形的边长正好比大正方形的边长少1，所以斜着的正方形面积可以表示为（n-1）²+1。

师：你们的发现真了不起，原来数学中藏着这么多有趣的奥秘！

批判是一种反思，既是反思别人的行为，也是自省的行为。教师在教学中，要善于抓住学生的争辩处，给予学生充分的时间展开深入讨论、质疑和反思，当学生成为真正的“学习者”时，课堂定会绽放精彩！

在数学教学中，对学生高阶思维的培养是一个长时间的、系统的过程，需要教师结合教学实践进行不断的探索。在信息技术快速发展的今天，知识的传播速度不断加快，教师不仅要教知识，更要教学生自主思考，后者更能体现出教育的本质。数学教师要充分发挥学科优势，为学生的学习与成长创造条件，不断培养学生的高阶思维。

【参考文献】

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[2]付才喜.指向高阶思维命题，促进学生真实学习——以人教版小学数学教材为例[J].数学教学通讯，2019（10）.

[3]冯剑，周庆忠.指向高阶思维的数学课堂教学策略——基于“直角三角形全等的判定”的教学实践[J].中国数学教育，2018（19）.

[4]强震球.培养数学高阶思维——苏教版六上“分数乘整数”的教学实践[J].江苏教育，2017（81）.