基于“设而不求”下的导函数零点合理构设

巨小鹏 彭文琴

(1.四川师范大学实验外国语学校 2.陕西省汉中市龙岗学校)

1 问题提出与解决

点评本题主要考查了利用导数研究函数的单调性从而得到函数的极值,考查了二次函数的图像及性质.解题的关键在于两点:

1)证明函数存在唯一极小值,通过零点代换将复杂的函数简单化;

2)证明函数值范围,通过逆向思维分析零点所在大致区间,从而得到函数值范围,与所证明结果契合.

2 隐零点问题构设与思考

在导函数解答题求解过程中,常常利用“设而不求”解决导函数零点问题,即对隐零点进行合理构设,其思路是形式上虚设,运算上代换,数值上估计,策略上等价转化.

2.1 直接代换

例2(2020年新高考Ⅰ卷21)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.

(1)当a＝e时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

解析(1)因为f(x)＝ex－lnx＋1,所以f′(x)＝ex－,即k＝f′(1)＝e－1.又f(1)＝e＋1,所以切点的坐标为(1,1＋e),故函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y－e－1＝(e－1)(x－1),即y＝(e－1)x＋2,所以切线与坐标轴交点的坐标分别为,则所求三角形面积为

当x∈(0,x0)时f′(x)＜0,当x∈(x0,＋∞)时,f′(x)＞0,而,故lna＋x0－1＝－lnx0,因此

当0＜a＜1 时,f(1)＝a＋lna＜a＜1,所以f(1)＜1,不符合题意.

综上,实数a的取值范围是[1,＋∞).

点评第(2)问借助导数判断函数f(x)的单调性,通过指对代换将函数简单化,求出其最小值,进而通过fmin(x)≥0即可求出a的取值范围,此法是本题的通性通法;本题也可以利用同构思想将原不等式化成elna＋x－1＋lna＋x－1≥elnx＋lnx,再根据函数h(m)＝em＋m的单调性,利用分离参数法即可求出a的取值范围.

2.2 参数代换

例3已知函数f(x)＝eλx－λlnx.

(1)当λ＝－1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若0＜λ＜e,函数f(x)的最小值为h(λ),求h(λ)的值域.

当x∈(0,x0)时,t(x)＜0,即f′(x)＜0,故f(x)单调递减;当x∈(x0,＋∞)时,t(x)＞0,即f′(x)＞0,故f(x)单调递增,所以

点评本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力与逻辑推理能力,细心计算、合理转化是解题的关键,将参数进行代换,然后构造新函数,利用新函数的性质解决问题.

2.3 隐零点同构

当a＜0,x＞0时,ax－ex＜0,所以当x＞1时,f′(x)＜0;当0＜x＜1时,f′(x)＞0,故函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减.

2.4 隐零点估计

例5(1)讨论函数的单调性,并证明:当x＞0时,(x－2)ex＋x＋2＞0;

(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)＝有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.

解析(1)易知f(x)的定义域为(－∞,－2)∪(－2,＋∞),且

当且仅当x＝0 时,f′(x)＝0,所以f(x)在(－∞,－2),(－2,＋∞)上单调递增,而当x∈(0,＋∞)时,f(x)＞f(0)＝－1,所以(x－2)ex＞－(x＋2),故(x－2)ex＋x＋2＞0.

点评第(1)问先求定义域,再用导数法求函数的单调性,进而证明当x∈(0,＋∞)时,f(x)＞f(0).第(2)问用导数法求函数g(x)的最值,再构造新函数,利用导数法求解.

(完)