求解多重线性系统的预条件张量分裂Gauss-Seidel迭代法

种园园，吕长青

(枣庄学院 数学与统计学院，山东 枣庄 277160)

0 引言

在数据挖掘、偏微分方程数值解和工程计算等科学领域，许多问题的计算往往归结为求解多重线性系统[1-5]

Axm-1=b，

(1)

其中：张量A∈R[m，n]，A=(ai1i2…im)，ik=1，2，…，n，k=1，2，3，…，m。已知向量b∈Rn，未知向量x∈Rn利用分裂法求解多重线性系统(1)时，由于储存和计算量大以及迭代法对系数张量谱分布的依赖，所以经常面临着收敛慢或不收敛等问题。为了解决这些问题，通常将迭代张量进行一次预处理后再用分裂迭代法求解。

LI 等[6]提出了预处理多重线性系统PAxm-1=Pb，并证明它与多重线性系统(1)同解，文中还提出了预条件子P=I+Sα，其中

经过正则分裂PA=εp-Fp，提出了如下预处理张量分裂的迭代算法：

其中：ki=min{j|max|aij…j|，i

ZHANG 等[8]根据A的优矩阵[9]构造了一个新的预条件子I+Gα，其中

同时提出了预处理Jacobi迭代法，并证明了所提出预处理迭代方法的收敛性。论文针对张量的一般张量分裂，提出基于3种分裂方式的Gauss-Seidel迭代法，证明了收敛性并通过数值实验验证了它们的有效性。

1 收敛性分析

设A∈R[m，n]是强M-张量，为了符号的简单和不失一般性，假定A的对角线元素是1。考虑一般分裂A=I-L-U-F，这里I=IIm，L=LIm，U=UIm，Im是单位张量，-L、-U分别是优矩阵M(A)的严格下三角矩阵和严格上三角矩阵，其中M(A)∈R[2，n]，(M(A))ij=

(2)

其中：参数αi∈[0，1]，i=1，2，…，n，且αn=0。

考虑以下三种分裂方式：

(3)

基于上述3种分裂方式，得到相应的Gauss-Seidel迭代张量。

Tk=M(εk)-1Fk，k=1，2，3。

(4)

1.1 基本定义和基本引理

分别用O、O、0表示零矩阵、零张量、零向量。

定义1[10]设A∈R[m，n]，若A的所有非主对角线元素是非正的，则称A为Z-张量。

定义2[11]设A为Z-张量，且A满足A=ηI-B，其中B为非负张量，η为正实数。若η≥ρ(B)，则称A为M-张量。若η>ρ(B)则称A为强M-张量，这里ρ(B)为张量B的谱半径。

定义3[12-13]设A，ε，F∈R[m，n]若ε是左可逆张量，则称A=ε-F是A的一个分裂。

(i)若ε是左可逆张量，且M(ε)-1≥O，F≥O，则称A=ε-F是A的一个正则分裂。

(ii)若ε是左可逆张量，且M(ε)-1≥O，M(ε)-1F≥O，则称A=ε-F是A的一个弱正则分裂。

(iii)若ρ(M(ε)-1F)<1，则称A=ε-F是收敛的分裂。

定义4[14]设矩阵A∈Rn×n，且A=sI-B，s>0，B≥O，若s>ρ(B)，则称矩阵A为非奇异M矩阵，这里ρ(B)为矩阵B的谱半径。

引理1[15]若矩阵A为非奇异M矩阵，则A-1≥O。

引理2[12]设A∈R[m，n]是Z-张量，则下列条件等价：

(i)A是强M-张量；

(ii)存在一个实向量x>0，使得Axm-1>0；

(iii)所有A的正则(弱正则)分裂都收敛。

当(i1，i2，…，im)≠(j，…，j)时，因为A∈R[m，n]是强M-张量，所以ai1i2…im≤0。又由于αi∈[0，1]，i=1，2，…，n且αn=0，可知：

(i)若i1=1，则bi1i2…im=ai1i2…im≤0；

(ii)若i1=n，则bi1i2…im=ai1i2…im-αi1ai1i2…im=(1-αi1)ai1i2…im≤0；

(iii)若i1≠1，n，则bi1i2…im=ai1i2…im-αi1ai1n…nani2…im≤0。

引理4[6]设A∈R[m，n]是强M-张量，若A=ε1-F1=ε2-F2是2个(弱)正则分裂，且F2≥F1≠O，则ρ(M(ε2)-1F2)≥ρ(M(ε1)-1F1)。

1.2 收敛定理

由引理3，可以得收敛定理1。

定理1 设A∈R[m，n]是强M-张量，则对任意的αi∈[0，1]，i=1，2，…，n且αn=0，(3)式中的(Ⅰ)和(Ⅱ)均是收敛的分裂。

定理2 已知A∈R[m，n]是强M-张量，当αi∈[0，1]，αn=0且1-αiain…nani…i>0，i=1，2，…，n时，式(3)中的(Ⅲ)是收敛的分裂。

证明M(ε3)=I-L+Lα-Dα=I-L-(Dα-Lα)，由于αn=0，则

1.3 比较定理

根据引理4可以得到如下比较定理。

定理3 已知A∈R[m，n]是强M-张量，当αi∈[0，1]，αn=0且1-αiain…nani…i>0，i=1，2，…，n时，ρ(T1)≥ρ(T2)≥ρ(T3)，其中 Tk=M(εk)-1Fk，k=1，2，3。

由式(3)，通过比较得到F1≥F2≥F3≠O，则ρ(M(ε1)-1F1)≥ρ(M(ε2)-1F2)≥ρ(M(ε3)-1F3)，即ρ(T1)≥ρ(T2)≥ρ(T3)。

2 数值验证

这里将给出2个数值算例来验证的上述理论结果，以下2个例题均采用算法Ⅰ计算迭代张量的谱半径。

算法Ⅰ 输入x0，最大迭代次数K，容许误差ε=10-6，迭代张量T；

k=1；

p1=min(p0)；

p2=max(p0)；

ε0=p2-p1；

ifε0≤ε；

break；

end

k=k+1；

y0=y1；

end

输出迭代张量T的谱半径p。

例1[7]设张量

第一组取α1=α2=0.9，计算结果如下：

第二组取α1=0.9，α2=0.4，计算结果如下：

第三组取α1=0.2，α2=0.8，计算结果如下：

例1结果表明，当变化参数αi(i=1，2)取值时，文中所给3种分裂方式都是收敛的，且每组取值结果均满足ρ(T1)≥ρ(T2)≥ρ(T3)。与文献[8]中的结果相比较，第二组和第三组所计算出的谱半径均小于ρ(Tmax)=0.338 6，收敛速度更快。

例2 设张量=A=I-B，其中I为单位张量，张量B=(bi1i2i3)∈R[3，5]，i1，i2，i3=1，2，3，4，5，其中

表1 参数αi与对应迭代张量的谱半径

例2结果表明，当变化参数αi取值时，3种分裂方式也都是收敛的，且每组结果均满足ρ(T1)≥ρ(T2)≥ρ(T3)。同时还可以发现ρ(Tk)(k=1，2，3)随参数αi变大而减小，即参数αi越大，三种分裂方式的收敛速度均是越快。

3 总结