转子圆度误差对四自由度AMB的稳定性影响

丁翔宇, 范启富

(1.上海交通大学 电子信息与电气工程学院,上海 200240; 2.昕诺飞(中国)投资有限公司,上海 200233)

相比传统轴承,主动磁悬浮轴承(Active Magnetic Bearing,AMB)具有无摩擦、无污染、允许转速高和使用寿命长等优点,性能显著优于传统轴承,被广泛应用于航空航天领域和半导体制造等工业领域[1]。

为了减小磁浮电流从而减少线圈发热,大多数AMB系统中,电磁铁与转子的间隙都在0.5 mm以下。为了保证稳定的主动悬浮, AMB对机械部分的加工精度以及定子与转子之间的装配精度提出很高的要求,但这些高要求极大地增加了电磁轴承的加工难度和成本。分析常见的加工误差对AMB性能的影响,以及分析通过改进控制方式降低加工误差的影响,具有重要的意义。

转子圆度误差是AMB加工误差中的常见形式。但是前人在转子圆度误差对AMB控制系统稳定性的影响方面的研究成果较少。崔东辉等[2]对位移传感器检测面的圆度误差进行了分析,给出了转子转动时干扰电流的形式,得出了圆度误差越大干扰电流越大的结论,但是没有分析圆度误差对稳定性的影响。胡林福等[3]研究了存在圆度误差的转子在不同转速下的振动响应,并尝试通过调整PID参数对振动进行抑制,但没有说明调整参数的理论依据。

因为AMB是开环不稳定的系统,必须通过闭环控制才能实现转子的稳定悬浮,所以控制器的设计是AMB设计的关键环节。目前,虽然有多种控制方法用于AMB的控制,例如线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator,LQR)控制[4]、滑模控制[5]、无模型控制[6]、鲁棒控制[7]和模态解耦控制[8]等,但是这些控制方法均有不足之处。例如LQR控制器的加权矩阵难以选取;鲁棒控制方法的控制器阶数高,不易实现;模态解耦采用比例微分(Proportional Derivative,PD)控制,而实际应用中通常需要积分环节消除静态误差。因此PID控制仍然是AMB中使用最广泛的控制方法,也是本文所采用的控制方法。

由于前人在工作中并未研究转子圆度误差对四自由度AMB稳定性的影响,也没有给出转子圆度误差导致不稳定的解决方法,因此,本文的目标是研究转子圆度误差对四自由度AMB的稳定性影响,若圆度误差导致四自由度AMB不稳定,须研究如何使系统恢复稳定。本文通过建立四自由度AMB的转子数学模型,基于PID控制方法推导了四自由度AMB的闭环特征方程,通过闭环特征方程系数的性质,分析了转子圆度误差和PID控制参数对四自由度AMB稳定性的影响,最终通过仿真和实验证实了理论的正确性。成果既可为四自由度AMB转子容许圆度误差的确定提供参考,同时为四自由度AMB中PID参数的确定和优化提供了依据。

1 四自由度AMB刚体转子的建模

四自由度AMB采用了立式AMB装置,转子可以简化成理想的物理模型[9],如图1所示。转子两端所受电磁力作用于转子,A端和B端是电磁力作用于转子的位置,径向4个自由度分别为XA、YA、XB、YB,轴向的自由度为Z。OA和OB分别是转子在A端和B端的质心,O为转子的质心。

从图1可以看出,Fxa、Fxb、Fya、Fyb分别为四个自由度所受的电磁力合力;la、lb分别为A端和B端质心到转子质心O的距离;θx、θy、ω分别为转子绕x轴和y轴转动的角度以及绕z轴转动的角速度。

从图1可以看出,由转子的牛顿第二定律,根据转子A端和B端受力和力矩的作用,可以推出四自由度AMB转子理想情况下的动力学模型[10]为

(1)

式中:m为转子的质量;J、Jz分别为转子径向和轴向的转动惯量;x、y分别为转子质心在x轴和y轴方向的位移。

由图1中转子平动和转动的关系[11]可得:

(2)

式中:xa、xb、ya、yb分别为转子在XA、XB、YA、YB自由度上的位移。

对各自由度在平衡位置附近进行线性化[12],得到:

{Fxa=kx_xaxa+ki_xaixaFxb=kx_xbxb+ki_xbixbFya=kx_yaya+ki_yaiyaFyb=kx_ybyb+ki_ybiyb

(3)

式中:ixa、ixb、iya、iyb分别为XA、XB、YA、YB自由度上电磁铁的差分电流;kx_xa、kx_xb、kx_ya、kx_yb分别为转子在XA、XB、YA、YB自由度上的力-位移系数;ki_xa、ki_xb、ki_ya、ki_yb分别为转子在XA、XB、YA、YB自由度上的力-电流系数。

整理式(1)～式(3)可得:

(4)

式中:

式(4)描述的状态空间模型中,因为qi产生电磁力,电磁力决定了输出量qx,所以该状态空间模型的输入为qi=[ixa,ixb,iya,iyb]T,输出为qx=[xa,xb,ya,yb]T。

2 理论分析与推导

为研究转子圆度误差对稳定性的影响,首先,分析圆度误差对四自由度AMB参数的影响;然后,推导四自由度AMB的闭环特征方程,分析四自由度AMB的闭环稳定性与哪些参数相关;最后,分析圆度误差对四自由度AMB稳定性的影响。

2.1 转子圆度误差的影响分析

转子的圆度误差用于描述转子在垂直于转轴的截面上,轮廓相对其理想圆的偏差量。本文中假设轴承由于圆度误差,截面形状为椭圆形,且转子模型中A端和B端位置的圆度误差一致。

需要注意的是,当每个自由度只有一个位移传感器时,会产生干扰电流。为了消除圆度误差产生的干扰电流,每个自由度用一对位移传感器,而不是一个位移传感器[2]。

图2为转子的圆度误差示意图。A端截面应为半径为R的圆,但由于机械加工的圆度误差,实际转子表面的x方向直径比y方向直径长2ε,则圆度误差为ε。

图2 转子的圆度误差示意图

图3为转子相对水平位置转动θ后电磁铁与转子间隙示意图。

图3 转子转动后电磁铁与转子间隙示意图

从图3可以看出,电磁铁到转子的间隙g随转子转动的角度θ发生变化[2],为

g=x0-εcos2θ,θ∈[0,2π]

(5)

式中:x0为转子在平衡位置时电磁铁与转子的间隙。

转子在平衡位置处的线性化模型中,力-电流系数ki和力-位移系数kx的表达式如下:

(6)

根据式(5)和式(6), 当ε>0时,可得:

(7)

式中:k为电磁力系数;α为电磁铁与中轴的夹角的半角;I为电磁铁的偏置电流。

(8)

根据式(6)～式(8),可得出力-电流系数ki、力-位移系数kx与圆度误差的关系,如图4所示。

图4 不同圆度误差下ki和kx的增大倍数

因为AMB的转子是车床加工,如果加工误差中只有圆度误差,则加工误差等于圆度误差的2倍,为2ε。

随着加工精度降低,圆度误差迅速增大。当加工精度不高时,即使是细转子,圆度误差也会对ki和kx产生显著影响。

因此,关于圆度误差对ki和kx影响的研究,当AMB转子加工精度较低,尤其是AMB转子尺寸较大时,是非常必要的。

2.2 单自由度AMB的闭环稳定性分析

由于分析四自由度AMB的稳定性需要参考单自由度AMB,并且四自由度AMB的控制参数选取需要参考单自由度AMB,因此,必须先分析单自由度AMB的稳定性,然后在此基础上分析四自由度AMB的稳定性。

单自由度AMB的物理模型如图5所示。

图5 单自由度AMB的物理模型

图5中,x为转子实际位置相对于平衡位置的位移;i为电磁铁中的差分电流。

吸引力的合力为

(9)

式中:∑F(x,i)为转子相对平衡位置位移为x,电磁铁差分电流为i时,所受的电磁力合力;N为电磁铁的圈数;μ0为空气的磁导率,大小为4π×10-7(H/m);Ae为电磁铁的截面积。

在x=0,i=0处,将∑F(x,i)进行线性化可得:

∑F(x,i)=kii+kxx

(10)

当不考虑外界扰动,对于AMB系统,输入为电流i,输出为位移x,可得:

(11)

由式(11)和式(9)可得AMB开环传递函数为

(12)

图6 单自由度AMB的闭环控制框图

图6中,R(s)为参考信号;X(s)为AMB转子的位移;I(s)为AMB线圈的差分控制电流;Gc(s)为控制器的传递函数;Ga为功放的放大倍数;Gs为传感器的放大倍数;Fd为外界扰动力。

不考虑外界扰动,则Fd=0,则有

I(s)=(R(s)-X(s)Gs)Gc(s)Ga

(13)

将式(12)代入式(13)可得:

(14)

因为采用PID控制,可得:

(15)

式中:kP为比例项;kI为积分项;kD为微分项。

将式(15)代入式(14)后整理可得单自由度AMB闭环传递函数为

(16)

劳斯表第1列如表1所示。

表1 劳斯表第1列

根据劳斯判据,单自由度AMB闭环系统稳定的充分必要条件为第1列系数全为正。根据表1可得单自由度AMB稳定的充要条件为

(17)

分析式(17)中各式的成立条件,具体如下。

不等式(1)、不等式(2)、不等式(4):kI>0,kD>0即可。

2.3 四自由度AMB的闭环稳定性分析

基于对单自由度稳定性的分析,将分析扩展到四自由度AMB。

分析基于以下前提条件:

① 四自由度AMB转子为质量均匀分布的刚体,适用于式(4)的数学模型。

② 扰动较小,此时才能近似成线性系统分析。

③ 由于研究的是转子静止状态,并且AMB系统径向转动惯量一般为轴向转动惯量的10倍左右,忽略陀螺效应,X方向和Y方向解耦。

四自由度AMB的闭环控制框图如图7所示。

图7 四自由度AMB的闭环控制框图

图7中,R(s)为参考信号向量;P(s)为四自由度AMB的数学模型对应的传递函数矩阵;Gc(s)为控制器的传递函数矩阵;Ga为功放的放大倍数矩阵;Gs为传感器的放大倍数矩阵;Fd为外界扰动力向量,不考虑外界扰动,则Fd=0。上述变量的表达式为

(18)

式中:Gxa(s)为XA自由度的控制环节的传递函数;kP_xa、kI_xa、kD_xa为XA自由度的PID控制参数;Ga_xa为XA自由度功放的放大倍数;Gs_xa为XA自由度传感器的放大倍数;其余参数分别是其他3个自由度的对应参数,不加赘述。

式(4)通过拉氏变换并整理可以得到:

qx=(ML1s2-LKx)-1LKiqi

(19)

设:

P(s)=(ML1s2-LKx)-1LKi

(20)

则式(19)可写为

qx=P(s)qi

(21)

因为四自由度AMB要求转子在4个自由度都处在平衡位置,因此输入R(s)=[0,0,0,0]T,代入得到:

qi=(0-Gsqx)Gc(s)Ga

(22)

由式(21)和式(22)可推得:

qx=P(s)qi=-GsGaP(s)Gc(s)qx

(23)

由此可得:

qx(I+P(s)GsGaGc(s))=0

(24)

令A=I+P(s)GsGaGc(s),则A为四自由度AMB的闭环特征方程矩阵。

(25)

式中:

2.4 PID参数设计与圆度误差影响的分析

四自由度AMB系统稳定的必要条件是D(s)各项系数大于0,于是分析式(25)中系数a0～a6均大于0的条件。其中,a0、a1和a6的形式比较简单;为了简化a2～a5的分析,分析基于以下两个假设。

①XA自由度和XB自由度的各参数相同;

② 由式(6),若cosθ=1,则有

(26)

将式(26)代入式(25)中,简化后a2～a5为

(27)

通过分析式(25)～式(27),可以得到以下结论。

① 根据式(25),由a0的表达式,a0>0一定成立;由a1的表达式,若a1>0,则4个自由度各自的PID的微分项必须不全为0;由a6的表达式,若a6>0,4个自由度各自的PID的积分项必须各自大于0。

② 根据式(27),a2和a4表达式中含有大的正项,因此容易满足大于0;但圆度误差ε仍然不能太大。当ε增大至接近x0,式(26)迅速变大,a2和a4可能小于0,导致四自由度AMB系统进入不稳定状态。

③ 根据式(27),a3>0,则kP_xa不能太小,且最重要的是kx_xa不能太大,也即圆度误差ε不能太大。

④ 根据式(27),a5>0,则kP_xa不能太小,且圆度误差ε不能太大。

⑤ 由于a3和a5的表达式不包含较大的正项,因此a3和a5比其他参数更难满足大于0的条件。为保证系统稳定,kP_xa不能太小,且圆度误差ε不能太大。

⑥ 由a2～a5的表达式均可发现:当圆度误差过大而导致系统进入不稳定状态时,可以通过增大PID参数中的kP_xa使系统恢复稳定。

3 仿真

3.1 仿真参数的选取

仿真参数按照实际AMB系统的参数选取,如表2所示。

在确定四自由度AMB的PID控制参数时,可以先选取单自由度的参数,初始状态下将4个自由度设为相同。

代入表2的参数,根据式(10)计算得到平衡位置处ki=19.22,kx=32683。根据式(17)中单自由度系统稳定的充分必要条件,代入参数计算得到:PID参数的取值范围是:kP>0.03,kI>0,kD>0。

根据前文的分析,kP可以在满足取值范围的基础上略微加大。初始PID参数不妨选取为:kP=0.1,kI=0.01,kD=0.01,并将每个自由度的初始PID参数设为相同。

由于转子在平衡位置时的间隙为0.25 mm,为了避免机械上的干涉和电磁铁饱和,仿真中圆度误差ε的取值不大于0.2 mm。

由于AMB为镇定系统,为考察其稳定性,采用单位阶跃信号[13]作为外部扰动,因此外部扰动的大小取单位阶跃信号。

3.2 圆度误差对四自由度AMB稳定性的影响

当ε分别为0 mm、0.1 mm和0.2 mm时,代入式(25)计算A11的行列式,四自由度AMB的特征多项式D(s)的系数的正负,如表3所示。

表3 不同圆度误差下D(s)的各项系数正负

由表3可以看出,当ε为0 mm或0.1 mm,系数全为正数,系统满足稳定的必要条件;当ε为0.2 mm,系数a3和a5为负数,系统不稳定。

假设外部干扰为单位阶跃信号,0.1 s时施加在AMB仿真模型的XA自由度。对无圆度误差,圆度误差ε为0.1 mm、0.2 mm时的系统稳定性进行仿真,得到的结果如图8所示。

图8 圆度误差分别为0 mm、0.1 mm、0.2 mm时的稳定性比较

图8中,XA、XB、YA、YB为qx=[xa,xb,ya,yb]T中的4个自由度的位移,是系统的输出量;ixa、ixb、iya、iyb为qi=[ixa,ixb,iya,iyb]T中的4个自由度的差分电流,是系统的控制输入。

由图8的仿真结果可知:

① 当单位阶跃信号于0.1 s施加之后,只有XA自由度产生位移变化和差分电流变化,XB、YA、YB自由度没有产生位移变化和差分电流变化。

② 当圆度误差ε为0 mm或者0.1 mm时,四自由度AMB系统可以稳定;ε为0.1 mm时,由于更大的力-电流系数和力-位移系数,达到平衡时位移更小,差分电流也更小,说明系统刚度大,更容易稳定。

③ 当ε达到0.2 mm时,XA自由度不收敛,系统不再稳定。

④ 参照表3,当ε为0.2 mm时,闭环特征方程的分母多项式系数不全大于0,四自由度AMB无法稳定;仿真中ε为0.2mm时也是不稳定的。仿真结果和理论分析是吻合的。

3.3 调整PID参数使四自由度AMB系统稳定

基于3.2节中的仿真结果,当圆度误差过大,四自由度AMB会不稳定;由2.4节的结论⑥可知,当圆度误差过大而导致系统进入不稳定状态时,可以通过增大PID参数中的kP使系统恢复稳定。

将kP从0.1调至1,此时的PID参数为:kP=0.1,kI=0.01,kD=0.01。通过计算,这套PID参数下D(s)所有系数为正。

当ε为0.2 mm,仿真比较kP=1和kP=0.1系统的稳定性,得到仿真结果,如图9所示。

图9 圆度误差同为0.2 mm时,kP为1的仿真结果

将图9的仿真结果与图8(e)和图8(f)进行对比,可以看出,当圆度误差ε同为0.2 mm时,通过将kP从0.1增大到1,XA自由度的位移由发散变为收敛,四自由度AMB恢复稳定。仿真结果和理论分析是吻合的。

4 实验

4.1 实验平台介绍

采用了AMB实验平台,如图10所示。实验平台由上位机、磁悬浮装置、控制板(搭载DSP28335)、信号处理板、信号转接板和功率放大电路等组成;此系统中转子存在较大的圆度误差,定子和某些位置的传感器存在其他类型的加工误差和装配误差;系统的主要参数如表2所示。

4.2 复现圆度误差导致的不稳定

先调节推力盘自由度的控制电流,使转子在轴向达到悬浮;再将径向4个自由度的PID参数均设置为kP=0.1,kI=0.01,kD=0.01。转子旋转一周,在此过程中XB自由度的位移波形如图11所示。

图11 转子旋转一周XB的位移波形

实验结果表明,转子在转动一圈的过程中,大部分区域稳定,8～13 s发生了振荡。

基于图11中实验中转子旋转了一周,XB自由度大部分时间都是稳定的,说明PID参数的选择没有问题。XB自由度在转至特殊位置附近不稳定,说明转子这个位置附近加工误差比较大。转动过程中,当转子的这个位置正对XB自由度电磁铁时,系统进入不稳定状态。此转子的加工过程中,圆度误差是主要的机械误差,于是认为实验中的不稳定状态是由转子圆度误差引起的。

4.3 调整合适的PID参数

根据前文仿真的结果,增大kP能够更好地保证四自由度AMB的特征多项式D(s)所有系数为正,对系统稳定有帮助,因此将kP从0.1调为1。

由于实际系统采用数字控制,信号的采样、保持和处理均有延时,电磁铁的电流滞后于电压,因此需要增大微分环节,抵消各种延时对系统稳定性的影响,将kD从0.01调为50。

将4个自由度的PID参数设置为:kP=1,kI=0.01,kD=50。

将转子位于图11中振荡的区域,转子初始时就处于不稳定状态;更新PID的参数,观察XB自由度的波形的变化。PID参数改变前后,XB的位移波形如图12所示。

图12 PID参数改变前后XB的位移波形

由图12可以看出,在PID参数改变前,该自由度一直在振荡;在PID参数改变完成后,XB自由度在改变参数后恢复稳定。

重新将转子旋转一周,转速和4.2节中实验的转速相近,得到新的PID参数下的XB的位移波形,如图13所示。

图13 PID参数调整后,转子旋转一周XB的位移波形

由图13可以看出,振荡发生的时间段为25～31 s,转动经过振荡区域的时间共6 s,与图9中的振荡时间5 s相近,因此转速和实验4.2节的转速相近。这说明了两次实验条件是相近的,保证了实验结果的可信度。

对比图11和图13可以发现,调整PID参数之后,转子在相同区域仍然有振荡,但是振荡幅度在-0.1～0.1 mm,比调整PID参数之前的-0.29～0.25 mm显著减小。因此合理选取PID参数可以帮助四自由度AMB在圆度误差较大时仍然保持稳定。

5 结束语

提出了一种可用于分析圆度误差对四自由度AMB稳定性影响的方法,过程如下。

① 基于四自由度AMB转子的数学模型和PID控制,推导四自由度AMB的闭环特征方程A。

② 计算闭环特征方程A的子块A11的行列式det(A11),通过其分母多项式D(s)的系数的正负,判断是否满足系统稳定的必要条件。

③ 圆度误差ε会通过力-电流系数和力-位移系数影响D(s)系数的正负,PID控制参数会直接影响D(s)系数的正负,两者都影响四自由度AMB的稳定性。

④ 当圆度误差ε过大时,D(s)系数中出现负项,四自由度AMB的仿真结果不稳定;但是通过调节PID参数,D(s)系数全正,四自由度AMB的仿真结果重新稳定,仿真结果与理论分析一致。

⑤ 实验使用了较大圆度误差的AMB实验平台,发现在某些区域存在不稳定的现象。通过参考理论分析中提出的方法,调整了PID参数,系统重新稳定,证实了理论分析和仿真的准确性,也证实了所提出的方法的实用价值。

但是本文提出的方法存在改进的空间,具体如下。

① 对高速旋转的转子,不同自由度存在着陀螺效应带来的耦合,该方法不能用于分析圆度误差对高速旋转的AMB稳定性的影响。

② 建立的数学模型基于转子质量均匀的理想状况,如果转子质量分布不均匀,几何中心和质心不重合,该方法需要进一步改进。