合理改编试题,实现问题价值的提升

⦿ 江苏省如东县掘港高级中学 张必荣

问题是激发思维的火种.提出一个问题远比回答一个问题有难度,一个有价值的问题的诞生,需要经过深思熟虑的思考[1].如何根据已有的试题,改编出更适合学生的问题?这是笔者近些年一直在探索的课题之一.实践证明,面对一道试题,可从它的出处、背景着手,通过不同的角度去观察与分析,进行改造与编排,亦可用变式训练来强化学生的理解程度.

1 观察试题背景,合理改编

当我们拿到一道新的试题时,首先要观察题从何处来,分析试题产生的背景及其待考查的目标.一般我们从题目的条件与结论着手进行分析,根据试题条件与结论所提供的信息,发现它的出处.根据它的背景条件进行合理改编,能加深学生对基础知识的认识,夯实基本功,为解题能力的提升奠定基础.

观察本题,可见这是一道解析几何的基础题,问题的背景为圆锥曲线与直线的位置关系.一般此类问题涉及到的知识点有距离、弦长、两直线夹角、多边形面积、最值、定值或轨迹等.因此,改编本题时,可以这些知识点为问题的基础,进行适当的改造.

经改编后,本题由一道封闭的问题,变成了一道开放性问题.这给学生的思维提供了更为广阔的空间,让学生的思维具有更大的弹性.每个层次的学生都能在自己的认知基础上添加适当的条件,从而获得不同的结论.

学生在添加条件时,不仅会复习圆锥曲线与直线位置关系的相关知识,还能形成良好的提问能力.笔者在巡查时发现,也有少部分学生提出的问题具有科学性的错误,但在教师及时点拨下,学生通过思辨,不仅及时纠正了错误,还纠正了原有的认知结构,这也是促进学生个人成长的历程.

对于例1的改编题,学生添加的条件主要有以下几种:①直线l过原点;②直线l经过椭圆C的左顶点;③椭圆C与直线l相交于点A与点B,且|AB|=2;④弦AB的中点为M(1,1);⑤弦AB的中点在y轴上;⑥AB的三等分点为点P(1,1);⑦∠BOA为直角;⑧△ABC的面积是1.

本题经开放性条件的补充后,看起来问题难度并不大,但所蕴含的信息量却很多,所包含的知识也比较全面.教师在此时可借力打力,鼓励学生根据大家所添加的条件进行思考,解题过程即是对圆锥曲线与直线位置关系进行复习与建构知识体系的过程.在此过程中,不论是条件的添加,还是问题的解决,都以学生的自主探究为主,从真正意义上践行了“以生为本”的现代数学课堂教学模式.

2 延伸试题内容,深度开发

数学是一门系统性的学科.观察高考试题,会发现大部分试题都具有显著的综合性特征,往往一道题考查多方面的知识.因此,在面对一道试题时,不能以题论题,而应根据试题所呈现的内容进行前后知识的链接,以帮助学生更好地建构知识体系[2].编题前,应观察原题所包含的内容,并根据原知识点延伸到与之相关的其他章节内容,进行深度开发与改变,帮助学生提高解决综合性问题的能力.

例2如图1,已知正四棱锥V-ABCD中,AB=2,且AB⊂平面α,正四棱锥围绕着AB任意旋转,CD平行于平面α.求正四棱锥在平面α内的投影面积的取值范围.

图1

根据本题所提供的信息,笔者鼓励学生先进行小组合作学习,经讨论后再改编本题.要求改编后的问题要涵盖到其他章节的内容,所提出的问题不仅要有一定的宽度,还要具有一定的深度.

学生经讨论后,提出了以下几种改编方法:

(1)如图2所示,假设I为棱AD的中点,H为棱BC的中点,N为线段IV的中点,M为线段HV的中点,正四棱锥V-ABCD围绕直线NM进行旋转的时候,点V在平面α上的射影是O,若底面ABCD的中心是V1,则|OV1|的最大值是多少?

图2

(2)如果P为侧面VAB上的动点,且点P到点V的距离与到底面ABCD的距离相等,那么点P的运动轨迹为( ).

A.是椭圆的一部分 B.是双曲线的一部分

C.是圆的一部分 D.是抛物线的一部分

(3)如图3所示,若长方体EFRT-E1F1R1T1内接于正四棱锥V-ABCD,求该长方体的最大值.

图3

(4)在第(3)题的条件下,已知几何体EFRT-E1F1R1T1是一个正方体,S为正方形E1F1R1T1及其内部的一个动点,若直线SE与底面E1F1R1T1所形成的角与直线SR和底面E1F1R1T1所构成的角互余,则点S的运动轨迹为( ).

A.一点 B.线段

C.圆的一个部分 D.两点

以上四种改编方法,适用于综合复习课中的教学.例2经改编后,不仅突破了单元教学内容的局限性,还延伸到了其他章节的相关内容.随着问题的拓展、深入,学生的思维也跟着试题变得更为广泛、深刻.这些改编方法建立在合作学习的基础上,不仅体现了学生的自主意识,还有效地开发了学生的思维,为创新意识的形成奠定了基础.

3 衍变试题价值,适当推广

面对一道试题,除了要观察其产生的背景及与其相关联的知识,还要从问题的来龙去脉来判断本题是否值得推广与衍变,是否能通过改编产生新的教学价值.

例如,我们可将题目中所呈现的定量改编为变量,将定点改编为动点,将椭圆改编为双曲线等.这种推广方式,不仅能体现出改编的价值,还能有效地激发学生的想象能力,拓宽学生的视野,培养学生形成良好的发散思维,为核心素养的提升奠定基础.

本题为一道基础的线性规划问题,所涉及到的直线y=1+x为定直线.若想让本题变得更具价值,可以改编定直线这个条件,使它成为一条动直线,此时问题所表达的平面区域也会随之变化.那么,在什么情况下可以使得平面区域转化为封闭的三角形呢?

基于这个理念,学生经讨论,获得如下问题:

此问所表达的变化的量为平面区域面积,而变化的面积有可能会产生最值.观察并研究图形,发现平面区域存在最小值的可能,但无最大值.由此,又联想到一个新的问题:

学生的思维容量随着问题的逐渐深入而扩大,无需使用大量例题,即可快速提高教学效率.因此,将原题进行推广与衍变是提升学生思维深度与广度的良好方式,也是提高学生综合应用能力的有效方法[3].

总而言之,合理改编试题,实现问题价值的提升,需在“以生为本”的基础上,让原题成为交流的媒介,通过对试题背景的观察、知识点的延伸与推广等方式,进行合理改编.学生在万变不离其宗的试题中,逐渐深化对知识的理解,获得良好的数学思想方法,为创新能力的形成与核心素养的提升奠定基础.